L'outil mathématique pour la physique
Roger Petit
Dunod
Avant-proposXI
Avant-propos à la deuxième éditionXIII
Au sujet des deux dernières éditionsXIV
NotationsXV
0 Rappels et compléments d'analyse1
Sous-ensembles de IR1
L'intégrale de Riemann et ses extensions3
Convergence des suites de fonctions7
Séries de fonctions10
Fonctions définies par des intégrales : f(x) = intégrale deba K (x,t) dt12
Fonctions définies par des intégrales généralisées13
Convergence uniforme d'une intégrale généralisée14
Critère de convergence uniforme pour les intégrales généralisées14
Intégrales à limites variables : f(x) = intégrale deb(x)a K (x,t) dt15
Notions sommaires sur l'intégrale de Lebesgue16
Le théorème de la convergence dominée (Lebesgue)19
L'intégrale de Lebesgue dans IRn21
Questions et conseils25
I. Espaces fonctionnels, fonctionnelles, distributions26
Espace fonctionnel26
Fonctionnelle26
Dual27
L'espace (...)28
Les distributions de L. Schwartz30
Support d'une distribution34
L'espace (...) et les distributions à support borné34
Trois remarques importantes36
II. Opérations sur les distributions38
Combinaison linéaire de distributions38
Dérivation d'une distribution38
Translation d'une distribution42
Distributions paires et impaires43
La distribution T (x/a)44
Produit de deux distributions44
Suites et séries de distributions47
Utilisation des distributions pour énoncer les lois physiques50
Questions et conseils54
III. Distributions de «plusieurs variables»56
Généralités56
Les distributions associées aux fonctions localement sommables56
Les distributions singulières Delta (Vecteur r - Vecteur a) et Alpha Delta s57
Dérivées partielles d'une distribution T57
Un exemple très utile : dérivation des fonctions discontinues58
Les distributions vectorielles dans IR360
Quatre formules à bien connaître60
Application à l'analyse vectorielle62
Laplacien de f(Vecteur r) = 1/r63
Solutions élémentaires de l'équation de Helmholtz dans IR364
Utilisation des distributions pour l'énoncé des lois physiques65
Produit direct de distributions66
Questions et conseils69
IV. Produit de convolution70
Produit de convolution de deux fonctions d'une variable70
Produit de convolution de deux distributions71
Commutativité et distributivité du produit de convolution72
Support de S * T72
Produit de convolution de plusieurs distributions72
Résultats importants pour les applications73
Autres propriétés importantes sur le plan théorique75
Produit de convolution de distributions de plusieurs variables77
Algèbre de convolution79
Quelques applications de l'algèbre (...)80
Les filtres linéaires83
Questions et conseils85
V. Transformation de Fourier des fonctions86
Définition86
Premiers exemples de transformées87
Formule d'inversion88
Propriétés souvent utilisées89
Transformation de Fourier et produit de convolution93
Formule de Parseval-Plancherel94
Remarque utile pour la suite94
VI. Transformation de Fourier des distributions95
Introduction95
L'espace (...)95
L'espace (...) des distributions tempérées96
Exemples de distributions tempérées97
Transformée de Fourier d'une distribution tempérée98
Recherche des transformées de Fourier101
VII. Notions sur la transformation des fonctions et distributions de plusieurs variables106
La transformée des fonctions106
Le cas des fonctions radiales107
La transformée des distributions tempérées109
Recherche des transformées110
VIII. Notions sur la transformation de Fourier des distributions périodiques112
Rappel112
Transformée de Fourier du peigne de Dirac112
Transformée de Fourier d'une distribution périodique115
Série de Fourier116
Théorème d'échantillonnage (Shannon-Wittaker)119
IX. Compléments sur quelques familles de fonctions et leurs transformées de Fourier122
Les fonctions de carré sommable. L'espace L2122
La transformée de Fourier dans L2125
Les fonctions de L2 en physique126
Espace L2 (a,b)129
Les fonctions dont la transformée de Fourier est à support borné131
La transformée de Fourier des fonctions causales132
Questions et conseils135
X. Transformation de Laplace des fonctions138
L'intégrale de Laplace138
Transformée de Laplace d'une fonction140
Propriétés fondamentales141
Transformées de Laplace de quelques fonctions usuelles145
XI. Transformation de Laplace des distributions147
Définition147
Transformation de Laplace et produit de convolution148
Autres théorèmes constamment utilisés148
Complément au formulaire du chapitre X, § 4151
Applications à la physique mathématique151
Original d'une fonction rationnelle153
XII. Commentaires sur les transformations de Fourier et de Laplace. Inversion de la transformation de Laplace154
Rappels et commentaires154
Relations entre la T.F. et la T.L. d'une même fonction155
Inversion de la transformation de Laplace156
Questions et conseils158
XIII. Fonctions d'une variable complexe159
Définitions159
Dérivée d'une fonction de variable complexe. Conditions de Cauchy161
Fonction holomorphe dans un domaine164
Fonctions usuelles168
Intégration dans le plan complexe177
Intégration des fonctions holomorphes181
Série de fonctions d'une variable complexe191
Séries entières193
Série de Laurent201
Points singuliers isolés d'une fonction de variable complexe203
Théorème des résidus et applications206
Questions et conseils214
XIV. Fonctions eulériennes216
La fonction Gamma(z), dite "fonction gamma"216
La Fonction B(p,q)218
Formule des compléments220
Etude de la fonction y = Gamma(x) pour x réel221
La formule de Stirling223
Développement de 1/Gamma en produit infini224
Développement de sin z en produit infini226
Exercice227
Formulaire227
Annexe 1 : Produits infinis229
Définitions et généralités229
Etude de la convergence230
Produit infini de fonctions232
Annexe 2 : Compléments sur les points singuliers et le prolongement analytique234
Point-frontière isolé234
Point-frontière singulier234
Points singuliers et coupures236
Quelques exercices sur la série de Taylor d'une fonction237
Prolongement analytique et calcul numérique238
Principe de réflexion (ou de symétrie) de Schwarz239
Annexe 3. Représentation conforme241
Rappels et généralités241
Définition d'une représentation conforme242
Le problème fondamental de la représentation conforme242
La représentation conforme et l'équation de Laplace244
Quelques compléments utiles en pratique246
Annexe 4. La pratique de la transformation de Fourier248
Définition de la T.F. et formule d'inversion248
Règles de calculs249
Transformée d'une fonction constante et de la distribution de Dirac249
Produit de convolution250
Formule de Parseval-Plancherel250
Conclusion250
Bibliographie252
Index alphabétique des matières254