Rudiments de dynamique holomorphe

Auteur(s) :

Berteloot, François (1961-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Une introduction à l'itération rationnelle. On y passe en revue les propriétés essentielles des ensembles de Julia et de Fatou et le théorème de non-errance de Sullivan. Sont ensuite étudiées le fractions chaotiques et hyperboliques, puis les familles holomorphes de fractions rationnelles.

Éditeur(s)
- Société mathématique de France
- EDP sciences
Date
- 2001
Notes
- Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 160 p. : ill. ; 24 x 17 cm
Collections
- Cours spécialisés
Sujet(s)
- Itération (mathématiques)
- Systèmes, Théorie des
ISBN
- 2-86883-521-X
Indice
- 518 Calcul et analyse numériques
Quatrième de couverture
- Ce livre est une introduction à l'itération rationnelle. Les aspects les plus classiques de cette théorie font l'objet des quatre premiers chapitres. On y passe en revue les propriétés essentielles des ensembles de Julia et de leurs complémentaires, les ensembles de Fatou avec, comme point d'orgue, la classification des composantes de Fatou périodiques et le théorème de non-errance de Sullivan. La seconde partie du livre présente quelques thèmes plus spécifiques. Deux classes d'exemples sont ensuite étudiées : les fractions chaotiques et les fractions hyperboliques. Les derniers chapitres sont plus ouverts ; l'étude des familles holomorphes de fractions rationnelles met en perspective le célèbre problème de Fatou sur la densité des fractions hyperboliques, quant à l'exposé des méthodes potentialistes, il effleure les aspects ergodiques et prépare aux généralisations en dimension supérieure.
  Certains des développements traités le sont pour la première fois sous forme de livre et plusieurs démonstrations sont originales.
Tables des matières
- - Rudiments de dynamique holomorphe
  - Cours spécialisés collection SMF
  - François Berteloot/Volker Mayer
  - EDP Sciences/Société Mathématique de France
  - Introduction1
  - I. La dichotomie dynamique de Fatou et Julia5
  - 1. La sphère de Riemann5
  - 2. Applications holomorphes dans (...)6
  - 3. Familles normales ; principe de renormalisation de Zalcman et théorème de Montel8
  - 4. La dynamique holomorphe11
  - 5. Quelques propriétés de l'ensemble de Julia14
  - 6. Notes17
  - II. Dynamiques locales et composantes de Fatou19
  - 1. Points fixes non neutres19
  - 2. Points fixes paraboliques ou rationnellement neutres27
  - 3. Points fixes irrationnellement neutres et domaines de rotation33
  - 4. Notes41
  - III. Ensemble de Julia43
  - 1. La dynamique est chaotique sur (...)f43
  - 2. Connexité globale et locale des ensembles de Julia48
  - 3. Notes57
  - IV. Classification des composantes de Fatou59
  - 1. Classification de Fatou-Cremer59
  - 2. Théorème de Sullivan61
  - 3. Non trivialité de la famille ft65
  - 4. Notes68
  - V. Fractions rationnelles chaotiques69
  - 1. Exemples de Lattès69
  - 2. Fractions rationnelles strictement critiquement finies73
  - 3. Les exemples de Lyubich75
  - 4. Notes81
  - VI. Fractions rationnelles hyperboliques83
  - 1. Expansivité et hyperbolicité83
  - 2. Estimations de distorsion et zoom85
  - 3. Majoration de la dimension de Hausdorff88
  - 4. Géométrie des Julia hyperboliques91
  - 5. Stabilité dans le cadre hyperbolique95
  - 6. D'autres formes d'expansivité96
  - 7. Notes97
  - VII. Familles holomorphes de fractions rationnelles99
  - 1. Familles holomorphes99
  - 2. Mouvement holomorphe et Lambda-Lemma101
  - 3. J-stabilité103
  - 4. Stabilité et hyperbolicité105
  - 5. Champs de droites invariants106
  - 6. Notes112
  - VIII. Le point de vue potentialiste113
  - 1. Relevé polynomial à C2 d'une fraction rationnelle113
  - 2. Bassins polynomiaux de C2 et fonctions de Green115
  - 3. Mesures positives finies sur P1118
  - 4. Images réciproques de mesures121
  - 5. Mesure de Green d'une fraction rationnelle122
  - 6. Equirépartition des cycles129
  - 7. Notes130
  - A. Mesure et dimension de Hausdorff131
  - 1. Quelques notions de théorie de la mesure131
  - 2. Mesure et dimension de Hausdorff131
  - 3. La courbe de Von Koch133
  - B. Applications quasiconformes et structures conformes137
  - 1. Quasirégularité et théorème d'Ahlfors-Bers137
  - 2. Métriques riemanniennes mesurables et structures conformes140
  - 3. Quasicercles142
  - C. Quelques points de théorie du potentiel145
  - 1. Fonctions sous-harmoniques145
  - 2. Fonctions pluri-sous-harmoniques (p.s.h.)148
  - Bibliographie151
  - Index159
Origine de la notice:
- Electre