par Buffoni, Boris
Presses polytechniques et universitaires romandes
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Disponible - 517.6 BUF
Niveau 2 - Sciences
Résumé
Introduction à l'étude globale des branches de solutions qui bifurquent de la solution triviale, pour des équations analytiques posées dans des espaces de Banach. Expose la théorie locale de la bifurcation, ainsi que le comportement global des branches bifurcantes pour des problèmes analytiques et la théorie des germes d'ensembles analytiques.
- Éditeur(s)
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Date
- 2002
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Langues
- Français
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Description matérielle
- 144 p. ; 21 x 15 cm
- Collections
- Sujet(s)
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ISBN
- 2-88074-494-6
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Indice
- 517.6 Équations différentielles, différences finies, équations intégrales et intégrodifférentielles, équations fonctionnelles, fonctions spéciales
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Quatrième de couverture
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L'ouvrage expose et justifie le principe de linéarisation, à savoir que les petites solutions d'une équation différentielle sont bien décrites par les fonctions propres du problème linéarisé. Le cadre abstrait est celui du calcul différentiel dans les espaces de Banach et le résultat principal est le fameux théorème de bifurcation de Crandall-Rabinowitz.
La théorie des germes d'ensemble analytique est ensuite présentée dans le langage des analystes afin d'étendre le principe de linéarisation aux solutions de grande taille.
Le matériel de cet ouvrage est issu d'un cours de 3e cycle en mathématiques de l'EPFL et constitue à ce jour le seul ouvrage francophone disponible en la matière. Ce livre, qui ne nécessite que des connaissances de base d'analyse et d'algèbre, est destiné aux étudiants avancés et aux chercheurs et professeurs en analyse non linéaire et à ses applications aux équations différentielles.
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Tables des matières
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Introduction à la théorie globale des bifurcations
Boris Buffoni
John Toland
Presses polytechniques et universitaires romandes
- Avant-proposV
- 1 Introduction1
- 1.1 Une tentative de définition1
- 1.2 Exemple: flexion d'une tige élastique2
- 1.3 Comparaison avec l'approximation linéaire5
- 1.4 Une autre tentative de définition6
- 1.5 Comportement global des branches bifurcantes6
- 1.6 Ondes de Stokes7
- 1.7 Remarques bibliographiques7
- 2 Calcul différentiel dans les espaces de Banach9
- 2.1 Espaces de Banach, opérateurs linéaires bornés10
- 2.2 Continuité, différentiabilité11
- 2.3 Exemple12
- 2.4 Dérivées partielles12
- 2.5 Applications multilinéaires bornées13
- 2.6 Différentiabilité des applications multilinéaires14
- 2.7 Espaces duaux et existence de fonctionnelles bornées14
- 2.8 Une variante du théorème des accroissements finis15
- 2.9 Proposition sur les dérivées partielles16
- 2.10 Corollaire17
- 2.11 Formule de Taylor18
- 2.12 Applications analytiques19
- 2.13 Proposition concernant la dérivée19
- 2.14 Applications analytiques de plusieurs variables20
- 2.15 Fonctions analytiques21
- 2.16 Série de Neumann22
- 2.17 Théorème de la fonction inverse23
- 2.18 Théorème de la fonction implicite25
- 2.19 Théorème de la fonction implicite: cas analytique25
- 2.20 Théorème de la fonction inverse: cas analytique27
- 2.21 Composition d'applications analytiques27
- 2.22 Remarques bibliographiques28
- 3 Théorie locale des bifurcations29
- 3.1 Opérateurs de Fredholm et opérateurs compacts30
- 3.2 Un théorème "à la Fredholm"30
- 3.3 Un opérateur compact important30
- 3.4 Dérivée d'une application non linéaire compacte31
- 3.5 Réduction de Lyapunov-Schmidt32
- 3.6 Quelques calculs de dérivées34
- 3.7 Point de bifurcation35
- 3.8 Une condition nécessaire35
- 3.9 Théorème de Crandall-Rabinowitz35
- 3.10 Un contre-exemple en l'absence de transversalité37
- 3.11 Une propriété de la branche bifurcante37
- 3.12 Trans/sous/sur-criticalité39
- 3.13 Tige d'Euler-Bernoulli40
- 3.14 Bifurcation de solutions périodiques41
- 3.15 Remarques bibliographiques43
- 4 Germes d'ensembles analytiques45
- 4.1 Définition: germes d'ensembles analytiques46
- 4.2 Continuité des racines complexes d'un polynôme47
- 4.3 Théorème de préparation de Weierstrass48
- 4.4 Continuité des racines (suite)52
- 4.5 Théorème de prolongement de Riemann53
- 4.6 Une remarque sur les variétés analytiques connexes55
- 4.7 Résultant de deux polynômes56
- 4.8 Discriminant d'un polynôme57
- 4.9 Division de deux polynômes58
- 4.10 Le plus grand commun diviseur59
- 4.11 Simplification d'un polynôme61
- 4.12 Sur les germes définis par une seule fonction62
- 4.13 Lemme de projection (F = C)63
- 4.14 Ensembles analytiques de Weierstrass65
- 4.15 Branches d'un ensemble analytique de Weierstrass66
- 4.16 Un théorème de représentation66
- 4.17 Théorème de représentation: suite69
- 4.18 Remarque sur la dimension70
- 4.19 Un résultat sur les branches71
- 4.20 Remarque lorsque m = n - 173
- 4.21 Irréductibilité des branches73
- 4.22 Un théorème de structure (non optimal)74
- 4.23 Irréductibilité des branches (suite)75
- 4.24 Vers les germes d'ensembles analytiques réels76
- 4.25 Branches de dimension 1: représentation de Puiseux78
- 4.26 Intersection avec Rn80
- 4.27 Remarques bibliographiques81
- 5 Théorie globale de la bifurcation83
- 5.1 Rappels83
- 5.2 Théorème (bifurcation globale)84
- 5.3 Remarques85
- 5.4 Preuve du théorème 5.285
- 5.5 Corollaire89
- 5.6 Remarques90
- 5.7 Remarques bibliographiques90
- 6 Ondes à la surface d'un océan infini91
- 6.1 Equation d'Euler stationnaire91
- 6.2 Ondes de Stokes94
- 6.3 Opérateur de conjugaison en analyse complexe99
- 6.4 Analyse fonctionnelle de l'opérateur de conjugaison101
- 6.5 Symétries et conjugaison107
- 6.6 Equation principale107
- 6.7 Régularité109
- 6.8 Existence de bifurcations111
- 6.9 Bifurcation en lamdà = 1112
- 6.10 Propriété de Fredholm115
- 6.11 Structure gradient, indice de Morse et bifurcations116
- 6.12 Indice de Morse des ondes de Stokes118
- 6.13 Bifurcation globale des ondes de Stokes121
- 6.14 Remarques bibliographiques122
- Bibliographie123
- Index127
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Origine de la notice:
- Electre
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