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La théorie de Markoff et ses développements

Résumé

Expose une démarche de recherche conduite autour de la théorie de Markoff (branche de la "géométrie des nombres"), ainsi que les résultats qu'elle a fournis. Evoque aussi des perspectives pour la théorie des groupes quantiques et la théorie quantique de l'information.


  • Éditeur(s)
  • Date
    • 2002
  • Notes
    • Bibliogr.
  • Langues
    • Français
  • Description matérielle
    • VII-326 p. ; 25 x 17 cm
  • Sujet(s)
  • ISBN
    • 2-909467-05-8
  • Indice
    • 513.3 Géométrie projective, géométrie différentielle, géométries non-euclidiennes
  • Tables des matières
      • La théorie de markoff et ses développements

      • Serge Perrine

      • 1. Remerciements3
      • 2. Présentation générale4
      • Chapitre 1 : Un formalisme général11
      • 1. Sur les suites et les fractions continues11
      • 2. Sur les matrices de suites13
      • 2.1. Première décomposition13
      • 2.2. Seconde décomposition15
      • 3. Sur les formes quadratiques18
      • 3.1. La théorie de la réduction des formes18
      • 3.2. L'application aux formes entières indéfinies21
      • 3.3. Extrema positif et négatif23
      • 4. L'équation de Markoff généralisée26
      • 4.1. Calcul par les formes quadratiques26
      • 4.2. Calcul par les traces de matrices28
      • 4.3. Calcul par les fractions continues32
      • 4.4. Calcul par les suites avec les sommes de Dedekind34
      • 5. Quelques conséquences36
      • 5.1. Valeurs de la forme de Markoff37
      • 5.2. Diviseur commun à m, m1, m238
      • Chapitre 2 : Bouquets, forêts et arbres41
      • 1. Le principe d'analyse41
      • 2. Les involutions conservant l'équation43
      • 2.1. La transformation Z43
      • 2.2. La transformation Y45
      • 2.3. La transformation X47
      • 3. Les bouquets de solutions48
      • 3.1. Notion de T3-espace48
      • 3.2. Une forêt de solutions par équation50
      • 3.3. Les involutions N et P51
      • 4. Finitude du nombre de bouquets53
      • 4.1. Hauteur et réduction des triplets de solutions53
      • 4.2. Solutions fondamentales dans (N\{0})354
      • 4.3. Solutions minimales dans (N\{0})356
      • 5. Equations équilibrées et triplets de Cohn58
      • 5.1. Constructions à droite et à gauche sur les suites59
      • 5.2. Conséquence pour les solutions62
      • 6. Le lien entre bouquets et arbres63
      • 6.1. Expressions de G, DD, et GD64
      • 6.2. Application aux cas où Epsilon1 = Epsilon2 = 166
      • 6.3. Structure sous-jacente du groupe T367
      • 6.4. Cas plus généraux pour Epsilon1 et Epsilon268
      • Chapitre 3 : Analyse du spectre de Markoff69
      • 1. Première décomposition69
      • 1.1. Constante multiplement atteinte71
      • 1.2. Constante uniquement atteinte73
      • 1.3. Application à l'analyse du spectre autour de 1/373
      • 2. Seconde décomposition75
      • 2.1. Construction des suites associées77
      • 2.2. Cas où T = 078
      • 2.3. Autres cas pour la suite T81
      • 2.4. Quelques exemples d'application81
      • 2.4.1. Equation M++ (2, 1, 2)81
      • 2.4.2. Les équations M++ (2, 0, u)82
      • 3. Dépendance mutuelle des suites X2 et T82
      • 3.1. Construction des suites X282
      • 3.2. Construction des suites T84
      • 4. Recollement des arborescences85
      • Chapitre 4 : Vers les courbes elliptiques87
      • 1. Approche par les corps quadratiques87
      • 1.1. La condition de divisibilité équivalente87
      • 1.2. Une interprétation par les Z-modules complets88
      • 1.3. Conséquences pour les idéaux associés91
      • 1.4. Une décomposition en produit de réseaux92
      • 2. Equations pointues et dégénérées94
      • 2.1. Cas pointus94
      • 2.2. Cas dégénérés96
      • 2.3. Possibilité d'associer un corps quadratique96
      • 3. Equation d'un réseau97
      • 4. Lien avec les courbes elliptiques99
      • 4.1. Examen d'un cas particulier99
      • 4.2. Cas singuliers102
      • 4.3. Cas général103
      • 5. Compléments sur la surface cubique105
      • 5.1. Points singuliers105
      • 5.2. Génératrices106
      • 5.3. Représentation rationnelle de la surface107
      • 6. Compléments géométriques109
      • Chapitre 5 : Tores percés conformes111
      • 1. Géométrie du demi plan de Poincaré111
      • 1.1. Points et géodésiques du demi plan111
      • 1.2. Les isométries du demi plan de Poincaré113
      • 1.2.1. Isométries directes113
      • 1.2.2. Isométries rétrogrades115
      • 1.2.3. Sous groupes continus d'isométries115
      • 1.2.4. Sous groupes discrets et surfaces de Riemann116
      • 2. Construction de tores percés conformes117
      • 2.1. Les matrices d'un tore percé conforme117
      • 2.2. Groupe fuchsien d'un tore percé conforme120
      • 2.2.1. Notion de groupe de Fricke121
      • 2.2.2. Cas plus général122
      • 2.3. Des matrices hyperboliques pour le tore percé123
      • 2.4. Relations de commutation125
      • 2.5. Tores percés paraboliques et hyperboliques126
      • 3. Représentations paramétriques128
      • 3.1. Une représentation à trois paramètres128
      • 3.2. Une représentation à quatre paramètres133
      • 3.3. Rôle des transformations anti-conformes135
      • 4. Cône attaché à un tore percé137
      • 4.1. Mise en évidence d'un cône137
      • 4.2. Lien avec l'approximation diophantienne138
      • 4.2.1. Un exemple de nouvelle équation139
      • 4.2.2. Mise en évidence d'un tore percé139
      • 4.2.3. Exemple d'application140
      • 5. Etude des tores percés paraboliques143
      • 5.1. Représentations à deux paramètres143
      • 5.2. Des exemples146
      • 5.3. Classification par les triplets de traces148
      • 5.4. Unicité de l'équivalence conforme149
      • 6. Réduction des tores percés paraboliques150
      • 6.1. Réduction des couples de générateurs150
      • 6.1.1. Rappel sur les involutions150
      • 6.1.2. Nappe principale et groupe principal151
      • 6.1.3. La réduction sur le groupe principal151
      • 6.1.4. La super-réduction153
      • 6.2. Exemple des tores percés de Klein et de Hecke154
      • 6.2.1. Tore de Klein154
      • 6.2.2. Tore de Hecke154
      • 6.3. Module d'un tore percé conforme parabolique154
      • 6.4. Lien avec les quaternions156
      • 7. Perspectives157
      • Chapitre 6 : La théorie de Markoff classique159
      • 1. Présentation matricielle de la théorie159
      • 1.1. Le problème de la présentation matricielle159
      • 1.2. Une solution partielle du problème précédent161
      • 2. D'autres présentations matricielles162
      • 2.1. Quelques remarques préalables162
      • 2.2. Nouvelles présentations matricielles de la théorie164
      • 3. Identification du groupe concerné165
      • 3.1. Le groupe et son domaine fondamental165
      • 3.2. Comparaison avec le domaine modulaire166
      • 3.3. Détermination du groupe166
      • 3.4. Image dans le groupe modulaire projectif167
      • 3.5. Remarques sur les présentations de groupes utilisées167
      • 3.6. Un domaine fondamental hexagonal169
      • 4. Relation avec le groupe libre F2169
      • 4.1. Introduction du groupe libre F2170
      • 4.2. Conséquences pour l'arbre complet de l'équation171
      • 4.3. Une conséquence pour le groupe libre172
      • 4.4. L'arbre construit sur les générateurs de F2174
      • 5. Equivalence des couples de générateurs175
      • 5.1. Caractérisation des couples fondamentaux175
      • 5.1.1. Interprétation des égalités issues des déterminants176
      • 5.1.2. Construction d'un automorphisme intérieur associé178
      • 5.1.3. Fin de la démonstration de la proposition 6.5.1180
      • 5.2. Généralisation aux autres couples de générateurs183
      • 6. Conséquences pour le groupe Aut(F2)184
      • 6.1. Précisions sur les automorphismes intérieurs186
      • 6.1.1. Les automorphismes intérieurs de GL(2, Z)186
      • 6.1.2. Restriction à F2187
      • 6.1.3. Les automorphismes intérieurs de F2188
      • 6.1.4. Relations entre les groupes d'automorphismes188
      • 6.2. Une tour de sous-groupes de Aut(F2)189
      • 7. Présentations du groupe Aut(F2)189
      • 7.1. La présentation classique du groupe Aut(F2)190
      • 7.2. Une autre présentation du groupe Aut(F2)191
      • 7.3. Quelques conséquences192
      • 7.4. Abélianisation et applications193
      • 7.4.1. Traduction dans une base particulière195
      • 7.4.2. Trois applications196
      • 7.5. Questions de normalité198
      • 7.5.1. Première question198
      • 7.5.2. Seconde question200
      • 7.5.3. Troisième question202
      • 8. L'interprétation de l'arbre de Markoff203
      • 8.1. Construction de l'arbre complet de l'équation204
      • 8.1.1. De nouveaux automorphismes204
      • 8.1.2. Construction des couples de générateurs de F2206
      • 8.1.3. Seconde construction et application208
      • 8.2. Questions de normalité dans Aut(F2)209
      • 8.3. Décomposition ternaire211
      • 8.3.1. Le théorème de décomposition ternaire dans Aut(F2)211
      • 8.3.2. Décomposition ternaire dans le groupe GL(2, Z)213
      • 9. Applications à GL(2, Z)215
      • 9.1. L'arbre de Markoff dans GL(2, Z)216
      • 9.2. Calcul du groupe dérivé de GL(2, Z)217
      • Chapitre 7 : Géométrie conforme des surfaces219
      • 1. La notion de surface de Riemann219
      • 1.1. Une définition à plusieurs facettes219
      • 1.2. Précisions catégoriques220
      • 2. Des exemples de surfaces de Riemann223
      • 2.1. Surfaces compactes223
      • 2.1.1. Plongement des surfaces dans R3 ou C2224
      • 2.1.2. Quelques exemples calculables224
      • 2.1.3. Uniformisation225
      • 2.1.4. Théorie de Galois des surfaces de Riemann228
      • 2.2. Cas elliptique des tores compacts de genre 1229
      • 2.2.1. Calcul de Weierstrass sur la cubique229
      • 2.2.2. Calcul de Jacobi sur une quadrique231
      • 2.2.3. Propriétés de l'invariant modulaire233
      • 2.3. Extraction de points et de disques235
      • 2.4. Surfaces de type fini236
      • 2.5. Plombage (ou couture), collage236
      • 3. Revêtements universels et groupes de Poincaré237
      • 3.1. Revêtement universel homéomorphe à S2 ou C238
      • 3.2. Revêtement universel homéomorphe à H239
      • 3.3. Automorphismes240
      • 3.4. Groupes de Klein241
      • 4. Groupes fuchsiens242
      • 4.1. Les surfaces de Riemann quotients du demi plan242
      • 4.2. Prolongement des surfaces et espèces de groupes fuchsien243
      • 4.3. Signature d'un groupe fuchsien244
      • 4.4. Invariant d'Euler-Poincaré246
      • 4.4.1. Homologie singulière247
      • 4.4.2. Cohomologie de De Rham et homologie singulière248
      • 4.5. Groupe de Poincaré248
      • 4.5.1. Données topologiques248
      • 4.5.2. Données conformes249
      • 4.5.3. Conséquence pour les groupes de matrices251
      • 4.6. Le théorème de Poincaré et quelques applications252
      • 4.6.1. Groupes de Coxeter253
      • 4.6.2. Base de l'homologie de la surface et jacobienne253
      • 4.6.3. Codage des géodésiques et approche ergodique256
      • 4.6.4. Géométrie symplectique257
      • 4.6.5. Groupes de triangles hyperboliques260
      • 5. La théorie de Teichmüller261
      • 5.1. Classes d'équivalence conforme262
      • 5.2. Classes d'équivalence difféomorphe262
      • 5.3. Espaces de Teichmüller262
      • 5.4. Groupe des classes d'applications et twists de Dehn263
      • 5.5. Espace des modules265
      • 5.6. Remarques sur les espaces de Stein266
      • 6. Quelques applications267
      • 6.1. Retour sur l'uniformisation des surfaces de Riemann267
      • 6.2. Fonctions automorphes268
      • 6.3. Fonctions thêta270
      • 6.4. Relations avec la théorie de Markoff classique275
      • 6.4.1. Sphère à trois piqûres et invariant modulaire276
      • 6.4.2. L'étude hypergéométrique des relations de H. Cohn278
      • 6.4.3. Des constructions plus directes281
      • 7. Cas du tore T283
      • 8. Cas du tore percé à une piqûre T\{p}291
      • 9. Approche par les fibrés vectoriels293
      • 10. Conclusion298
      • Bibliographie303

  • Origine de la notice:
    • Electre
  • Disponible - 513.3 PER

    Niveau 2 - Sciences