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Géométrie : affine, projective, euclidienne et anallagmatique : licence, Capes, agrégation

Livre

Résumé

Un cours complet de géométrie classique avec plus de 800 figures. Une étude détaillée des géométries affine, projective, euclidienne et des applications correspondantes, des configurations du plan et de l'espace, des triangles, cercles et quadrilatères aux pavages, polyèdres réguliers, de tous les classiques euclidiens et des grands théorèmes, de l'inversion, des homographies et anti-homographies.


  • Éditeur(s)
  • Date
    • 2003
  • Notes
    • Bibliogr. Index
  • Langues
    • Français
  • Description matérielle
    • 515 p. ; 26 x 20 cm
  • Sujet(s)
  • ISBN
    • 2-7298-1416-7
  • Indice
  • Quatrième de couverture
    • Cet ouvrage est un cours complet de géométrie classique. Après une construction cohérente de toutes les notions de base à partir de l'algèbre linéaire, on y fait de la «vraie» géométrie, avec plus de 800 figures. Il contient, en particulier :

      • l'étude très détaillée des géométries affine, projective, euclidienne et de toutes les transformations correspondantes,
      • l'étude des configurations du plan et de l'espace, des triangles et cercles aux pavages, polyèdres réguliers et leurs groupes,
      • tous les classiques euclidiens et les grands théorèmes, de Pythagore à Feuerbach et Morley,
      • les coniques projectives, affines et euclidiennes, et les théorèmes célèbres, d'Apollonius à Pascal et Poncelet,
      • l'étude du groupe circulaire - ou de Moebius - engendré par les inversions et constitué par les homographies et anti-homographies complexes : c'est la géométrie «anallagmatique».

      Ce livre peut être utilisé par les étudiants des premier et second cycles universitaires, par les élèves-professeurs ainsi que par les professeurs des lycées et collèges, dans le cadre de leur formation continue et, notamment, la préparation de l'agrégation interne de mathématiques.

      De façon générale, il est destiné et dédié à tous les amateurs de géométrie et, par son abord élémentaire des notions, est accessible à tous ceux qui connaissent les bases de l'algèbre linéaire.


  • Tables des matières
      • Géométrie

      • Affine, projective, euclidienne et anallagmatique

      • Yves Ladegaillerie

      • Ellipses

      • Introduction3
      • Table des matières5
      • I Géométrie affine
      • 1. Espace affine13
      • 2. Variété affine (sous-espace affine)15
      • Définition, parallélisme15
      • Propriétés d'incidence des variétés affines (positions relatives, régionnement)16
      • 3. Repère affine. Mesure algébrique. Aire, volume20
      • Repère affine. Rapports. Mesure algébrique20
      • Triangle, quadrilatère, parallélogramme, tétraèdre22
      • Aire et volume algébriques24
      • 4. Barycentre. Indépendance affine. Base affine. Convexité24
      • Barycentre et fonction de Leibniz24
      • Indépendance affine. Base affine27
      • Éléments de convexité29
      • 5. Les grands theorèmes affines classiques31
      • Le théorème de Thalès31
      • Les théorèmes de Desargues et Pappus (forme affine faible)35
      • Les théorèmes de Ménélaüs et Ceva36
      • 6. Coordonnées et équations cartésiennes39
      • Changement de repère cartésien. Degré d'une courbe algébrique39
      • Équations de droites dans le plan, régionnement, faisceaux40
      • Équations de plans dans l'espace, régionnement, faisceaux45
      • Coordonnées plückériennes d'une droite47
      • Équations cartésiennes en dimensions supérieures48
      • 7. Coordonnées et équations barycentriques49
      • Expression des coordonnées barycentriques en termes de déterminants49
      • Condition d'alignement, équation barycentrique d'une droite, faisceaux50
      • Théorèmes de Ménélaüs et de Ceva en coordonnée barycentriques51
      • 8. Birapport en géométrie affine54
      • Birapport de scalaires, de points, de droites54
      • Birapport de quatre plans ou hyperplans56
      • Birapport de quatre vecteurs et de quatre droites57
      • Diverses expressions analytiques du birapport58
      • Opérations sur le birapport59
      • 9. Normes, topologie, limites. Notions différentielles61
      • Norme et distance. Topologie61
      • Droite et plan tangents. Étude locale et à l'infini63
      • Fonctions convexes, caractérisations66
      • Équation tangentielle et enveloppe68
      • 10. Complexifié et points imaginaires69
      • II Applications affines
      • 1. Propriétés générales des applications affines73
      • Définitions. Propriétés fondamentales (invariants, déterminations, points fixes)73
      • Produit semi-direct. Structure et topologie du groupe affine GA(E)76
      • Application ponctuelle et vectorielle : conservation des milieux et parallélogrammes78
      • Caractérisation par conservation des rapports vectoriels ou du barycentre79
      • Conservation du contact79
      • 2. Homothéties et translations81
      • Le groupe des homothéties et translations81
      • Produits d'homothéties et de translations81
      • Propriétés des homothéties et translations, caractérisations83
      • Applications aux théorèmes classiques (Thalès, Desargues, Pappus, Ménélaüs, Ceva)84
      • 3. Projections, symétries affines. Affinités. Transvections90
      • Projections, symétries, affinités90
      • Dilatations et transvections vectorielles, affines. Génération du groupe affine93
      • 4. Le théorème "fondamental" de la géométrie affine97
      • Caractérisation des bijections affines par la conservation de l'alignement97
      • Caractérisation d'applications affines non bijectives99
      • 5. Expression analytique des applications affines99
      • III Géométrie projective
      • 1. Prolongement vectoriel d'un espace affine101
      • Les théorèmes fondamentaux sur le prolongement vectoriel101
      • Prolongement vectoriel et coordonnées barycentriques105
      • 2. Points à l'infini. Complétion projective106
      • Point à l'infini d'une droite. Droite projective. Cas de R106
      • Complétion projective d'un plan affine108
      • Points à l'infini et coordonnées barycentriques de somme nulle109
      • Espaces projectifs généraux109
      • Complété projectif d'un espace affine en dimension quelconque111
      • Structure affine sur le complémentaire d'un hyperplan dans un espace projectif111
      • Changement d'hyperplan de l'infini, versions affines et projectives des configurations112
      • Les théorèmes de Desargues et Pappus : versions projectives et avatars affines113
      • 3. Birapport, conjugaison, polaire117
      • Birapport de quatre points et quatre droites, faisceau harmonique117
      • Points conjugués par rapport à deux droites. Polaire120
      • Étude générale du birapport : birapport d'hyperplans, conjugaison, polaires123
      • 4. Repérage projectif : coordonnées homogènes124
      • Repérage d'un point dans un espace projectif124
      • Indépendance projective. Repère projectif125
      • Cas d'un complété projectif : coordonnées homogènes relatives à un repère affine126
      • Cordonnées homogènes dans le plan. Équations de droites. Faisceaux127
      • Courbe algébrique en coordonnées homogènes. Tangentes. Équation tangentielle129
      • Coordonnées homogènes et birapport de points, de droites d'un faisceau131
      • 5. Dualité projective133
      • Dualité projective canonique133
      • Dualité projective associée à un repère. Étude du cas plan134
      • Birapport et dualité136
      • Quelques théorèmes duaux136
      • 6. Applications projectives. Homographies137
      • Définitions. Propriétés générales, image d'un repère, détermination137
      • Exemple fondamental : les projections coniques ou perspectives141
      • Homologies et élations. Génération du groupe projectif142
      • Perspectives dans le complété projectif de l'espace affine. Dessins en perspective145
      • Homographies entre droites projectives148
      • Homographies d'une droite sur elle-même148
      • Homographies entre deux droites coplanaires. Axe d'homographie150
      • Définition d'un birapport sur un ensemble : structure de droite projective à h. p151
      • Théorème fondamental de la géométrie projective153
      • 7. Complexification d'un espace projectif réel154
      • IV Géométrie vectorielle euclidienne
      • 1. Espaces vectoriels euclidiens et orthogonalité157
      • Produit scalaire et norme euclidiens157
      • Orthogonalité de vecteurs et de parties. Bases orthonormées. Procédé de Gram-Schmidt159
      • Projections orthogonales vectorielles161
      • Complexification d'un espace vectoriel euclidien. Espace vectoriel hermitien163
      • 2. Applications orthogonales et groupe orthogonal164
      • Applications et matrices orthogonales. Propriétés générales164
      • Changement de base orthonormée. Déterminant dans une base orthonormée directe167
      • Groupe orthogonal du plan euclidien168
      • 3. Angles dans un plan vectoriel euclidien169
      • Les angles orientés de vecteurs et leur mesure169
      • Cosinus et sinus d'un angle. Angle polaire. Produit scalaire et déterminant173
      • Les angles orientés de droites et leur mesure175
      • Utilisation conjointe de mesures d'angles modulo Pi et modulo 2Pi178
      • Angles géométriques178
      • Les angles de secteurs plans181
      • Les angles dans l'espace181
      • 4. Groupe orthogonal en toutes dimensions182
      • Structure des applications orthogonales182
      • Classification des applications orthogonales en dimension 3183
      • 5. Similitudes vectorielles187
      • Étude générale187
      • Exemple : similitudes vectorielles du plan euclidien188
      • 6. Représentation complexe du plan vectoriel euclidien189
      • Affixes de vecteurs. Norme, angles, produit scalaire et déterminant189
      • Forme complexe d'une application vectorielle. Les similitudes190
      • 7. Produit mixte et produit vectoriel191
      • Produit mixte191
      • Produit vectoriel192
      • 8. Appendice : construction des fonctions trigonométriques197
      • Construction à partir de la série exponentielle complexe197
      • Formulaire de trigonométrie, fonctions réciproques199
      • Principe de la construction à partir d'une intégrale200
      • V Géométrie affine euclidienne
      • 1. Espace affine euclidien. Notions de base201
      • Espace euclidien201
      • Angles dans le plan affine euclidien. Bissectrices201
      • Couples de droites antiparallèles205
      • Inégalité triangulaire et formules d'Al Kashi206
      • Triangles, quadrilatères et polyèdres euclidiens. Théorème de Pythagore207
      • Produit scalaire et orthogonalité de vecteurs et de droites208
      • Projection orthogonale sur une droite. Rapport de projection, trigonométrie208
      • Expression du produit scalaire en termes de projections orthogonales210
      • Caractérisation des bissectrices par équidistance211
      • 2. Orthogonalité des variétés affines212
      • Projection et symétrie orthogonales en dimension quelconque. Distance212
      • Translations. Affinités orthogonales213
      • Hyperplan médiateur. Médiatrice et plan médiateur213
      • Médiatrices et hauteurs d'un triangle215
      • Orthogonalité de droites et de plans dans l'espace216
      • Projections orthogonales en dimension 3217
      • Plans perpendiculaires dans l'espace219
      • 3. Géométrie analytique euclidienne. Équations des variétés221
      • Les différents types de coordonnées euclidiennes221
      • Équations cartésiennes des droites du plan euclidien dans un repère orthonormé222
      • Équation d'une droite du plan en coordonnées polaires225
      • Équations de plans dans l'espace226
      • Faisceaux de plans et couples d'équations d'une droite227
      • 4. Cercles et sphères228
      • Le cercle dans le plan euclidien228
      • Cercle circonscrit, orthoptique, d'Apollonius229
      • Puissance d'un point par rapport à un cercle231
      • Paramétrisation. Cercle trigonométrique231
      • Orientation du cercle et des arcs. Mesure d'un arc orienté232
      • Équation cartésienne d'un cercle233
      • Équation d'un cercle en coordonnées polaires234
      • Positions relatives de deux cercles235
      • La sphère en dimension 3 et en dimension n (n > 2)236
      • 5. Angle inscrit. Cocyclicité. Cercle et arcs capables239
      • Angle inscrit, angle au centre et angle de la tangente239
      • Angles inscrits et arcs interceptés. Bissectrice d'un angle inscrit240
      • Condition angulaire de cocyclicité, applications242
      • Cercle et arc capables, applications245
      • Relation des sinus dans un triangle246
      • Caractérisation angulaire des quadrilateres convexes inscriptibles247
      • 6. Aires et volumes euclidiens248
      • Aire euclidienne du triangle, des polygones convexes, du disque. Applications248
      • Volume euclidien du tétraèdre, du parallélépipède, de la boule250
      • 7. Représentation complexe du plan euclidien251
      • Équations complexes des droites et cercles252
      • Forme complexe des homothéties et translations affines253
      • Birapport complexe et cocyclicité. Théorème de Ptolémée253
      • Birapport de points sur un cercle255
      • Birapport complexe harmonique256
      • 8. Notions différentielles euclidiennes258
      • Abscisse curviligne258
      • Courbes cycloïdales. Hypocycloïdes et épicycloïdes259
      • Aires et volumes260
      • Courbure plane. Repère de Frenet. Cercle osculateur. Développée262
      • Courbes et surfaces de l'espace. Courbure, torsion. Courbure de Gauss264
      • 9. Points cycliques et formule de Laguerre. Ombilicale267
      • Le plan euclidien et son complété projectif complexifié267
      • Formule de Laguerre268
      • VI Isométries et similitudes affines
      • 1. Isométries affines269
      • Définition et caractère affine, exemples269
      • Le groupe des isométries, structure de produit semi-direct270
      • Déplacements et antidéplacements271
      • Détermination d'une isométrie, prolongements. Isométrie conservant une partie272
      • Génération du groupe des isométries par les réflexions274
      • Décomposition canonique d'une isométrie affine : théorème de structure275
      • 2. Les isométries du plan276
      • Translation : exemple d'utilisation276
      • Réflexion. Produit de deux réflexions d'axes parallèles277
      • Rotation. Décomposition en produit de deux réflexions, produit de rotations279
      • Symétrie glissée282
      • Étude de quelques produits d'isométries planes283
      • La classification des isométries planes et ses démonstrations284
      • Expression complexe des isométries planes285
      • Actions sur les configurations et groupe d'une configuration286
      • Détermination des isométries planes et cas d'égalité des triangles287
      • Groupe d'un polygone régulier. Triangle équilatéral et carré288
      • Groupe du rectangle (groupe de Klein)291
      • Groupes de frises293
      • Groupes cristallographiques plans (pavages)294
      • 3. Les isométries de l'espace297
      • Translation et réflexion, produit de deux réflexions de plans parallèles297
      • Rotation de l'espace, produit de deux réflexions de l'espace de plans sécants298
      • Produit de deux rotations d'axes coplanaires299
      • Vissage ou déplacement hélicoïdal300
      • Symétrie glissée301
      • Antirotation affine301
      • Étude de quelques produits d'isométries de l'espace302
      • Classification par la méthode linéaire303
      • Classification par la méthode géométrique303
      • Décompositions en produits de réflexions et retournements305
      • Action sur les configurations et groupes de configurations classiques306
      • Groupe diédral spatial306
      • Groupe du tétraèdre régulier307
      • Groupe du cube309
      • Groupes finis d'isométries de l'espace312
      • 4. Similitudes affines312
      • Étude en toutes dimensions finies, caractérisations312
      • Similitudes planes, formes complexes315
      • Applications classiques des similitudes planes, cas de similitudes322
      • VII Classiques de géométrie euclidienne
      • 1. Fonction scalaire de leibniz et applications327
      • La fonction scalaire. Théorème d'Apollonius et formule de Huygens327
      • Le cas SigmaLambdai = 0. Applications et exemples328
      • Formule de Stewart et applications329
      • Le cas SigmaLambdai 0. Applications et exemples331
      • 2. Le triangle332
      • Droites remarquables ; points classiques et coefficients barycentriques332
      • Relations métriques dans le triangle335
      • Théorème de Morley336
      • Le triangle rectangle337
      • Problème de Napoléon : construction du centre d'un cercle au compas seul337
      • Triangles isocèles et équilatéraux338
      • Cercles inscrits et exinscrit339
      • Droite et cercle d'Euler. Théorème de Feuerbach342
      • Droites de Simson et Steiner344
      • 3. Le cercle345
      • Homothéties et similitudes entre cercles345
      • Cercles tangents à une droite et un cercle donnés, à deux cercles donnés347
      • Cercles et sphères orthogonaux348
      • Points conjugués, pôle et polaire par rapport à un cercle349
      • Incidences entre pôles et polaires. Transformation par polaires réciproques352
      • Axe radical de deux cercles352
      • Faisceaux de cercles353
      • Quadrangle harmonique356
      • Théorème de Pascal, cas du cercle ("hexagramme mystique")358
      • 4. Quadrilatère360
      • Quadrilatères convexes euclidiens360
      • Groupes plans des parallélogrammes361
      • Inégalité et théorème généraux de Ptolémée. Quadrilatères inscriptibles362
      • L'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible363
      • 5. Convexité364
      • Projection. Hyperplans d'appuis et génération par demi-espaces364
      • Propriétés topologiques des convexes365
      • Points extrémaux et théorème de Krein-Milman367
      • Facettes et polyèdres367
      • 6. Sphère et polyèdres de l'espace. Groupes finis d'isométries368
      • Géométrie sphérique. Formule d'Euler368
      • Polyèdres réguliers de l'espace euclidien370
      • Dodécaèdre et icosaèdre réguliers. Groupes de ces polyèdres371
      • Les cinq solides platoniciens375
      • Groupes finis d'isométries de l'espace, classification377
      • Étude détaillée des tétraèdres379
      • Tétraèdre orthocentrique380
      • Tétraèdre équifacial382
      • Tétraèdre régulier. Maximalité du volume384
      • 7. Inégalités et optimisation386
      • Somme des distances d'un point à plusieurs droites386
      • Somme et produit des distances aux sommets d'un triangle, point de Fermat387
      • Produit des distances aux sommets d'un triangle388
      • Théorème d'Erdös-Mordell388
      • Optimisation du périmètre : une application du théorème des trois tangentes389
      • Triangle inscrit de périmètre minimal : théorème de Fagnano389
      • VIII Coniques et quadriques
      • 1. Formes quadratiques393
      • Généralités. Expression polynomiale, différentielle, matricielle. Rang393
      • Décomposition en carrés. Méthode de Gauss394
      • Classification des formes quadratiques. Théorème d'inertie de Sylvester397
      • Noyau. Isomorphisme avec le dual398
      • Endomorphisme adjoint, auto-adjoint398
      • Diagonalisation des matrices symétriques réelles399
      • Diagonalisation simultanée des formes quadratiques400
      • 2. Coniques projectives401
      • Généralités. Classification, équations401
      • Classification réelle et complexe des coniques. Cas de dégénérescence402
      • Points doubles des coniques dégénérées403
      • Intersection avec une droite. Tangente. Équations et coniques tangentielles403
      • Différentes formes de l'équation. Bonne paramétrisation406
      • Intersection des coniques. Déterminations par points et intersections407
      • Détermination d'une conique par cinq points411
      • Détermination d'une conique par intersections412
      • Conjugaison par rapport à une conique. Dualité de polarité413
      • Conservation du birapport de points alignés et de droites concourantes414
      • Droites conjuguées par rapport à une conique415
      • Duale d'une conique par polarité. Théorème dual416
      • Conjugaison par rapport à une conique dégénérée en deux droites sécantes417
      • Toute corrélation plane est une polarité417
      • Birapport et homographie sur une conique418
      • Birapport de points et de tangentes. Homographie et génération418
      • Axe et centre d'homographie. Point de Frégier d'une involution420
      • Théorèmes de Pascal et Brianchon421
      • Faisceaux de coniques422
      • Involution de Desargues associée à un faisceau425
      • Théorème de Lamé. Transformation quadratique. Conique des neufs points425
      • Faisceaux tangentiels de coniques427
      • 3. Coniques affines428
      • Généralités : définition, dégénérescence, tangente428
      • Réduction de l'équation d'une conique du plan affine. Classification430
      • Conjugaison dans le cadre affine : centre, cordes et diamètres433
      • Diverses formes de l'équation d'une conique affine436
      • Faisceaux de coniques affines, nature des coniques437
      • Conique des centres. Conique des neufs points d'un quadrangle. Cercle d'Euler437
      • Les théorèmes de Pascal et Brianchon438
      • 4. Coniques euclidiennes439
      • Généralités. Directions principales. Réduction de l'équation. Classification439
      • Génération monofocale : détermination par un foyer, une directrice et l'excentricité442
      • Propriétés tangentielles. Premier théorème de Poncelet444
      • Formulaire des coniques ordinaires. Différentes équations446
      • Génération bifocale de l'ellipse réelle et de l'hyperbole448
      • Propriétés tangentielles des coniques ordinaires. Les théorèmes de Poncelet450
      • Courbe orthoptique. Cercle de Monge452
      • Générations tangentielles453
      • Particularités de la parabole454
      • Particularités de l'ellipse455
      • Ellipse et affinité orthogonale. Aire. Méthode de la bande de papier455
      • Théorèmes d'Apollonius457
      • Projection d'un cercle sur un plan458
      • Cercles osculateurs en les sommets458
      • Particularités de l'hyperbole459
      • Propriétés relatives aux asymptotes460
      • Hyperbole équilatère461
      • Diamètres et hyperboles conjugués. Théorèmes d'Apollonius462
      • Section planes d'un cône de révolution463
      • Génération monofocale des sections coniques463
      • Méthode de Dandelin : génération bifocale des sections coniques464
      • 5. Quadriques466
      • Généralités466
      • Classification euclidienne466
      • IX Géométrie anallagmatique et conforme
      • 1. L'inversion469
      • Propriétés générales ; exemple : la projection stéréographique469
      • Cercle ou sphère d'inversion470
      • Caractérisation par cocyclicité de deux couples de points homologues471
      • Prolongement en une transformation du compactifié par un point à l'infini471
      • Effet sur les configurations, les distances, les angles472
      • Application : démonstration du théorème de Ptolémée par inversion474
      • Dérivée et contact : l'inversion est conforme474
      • L'inversion plane et sa représentation complexe. Sphère de Riemann475
      • Conservation du birapport et des "cercles"476
      • Propriétés de contact et inversion des angles477
      • Réflexion par rapport à un cercle477
      • Transmuée d'une inversion par une inversion478
      • Applications classiques de l'inversion479
      • 2. Groupe circulaire direct : les homographies complexes483
      • Le groupe des homographies483
      • Génération du groupe des homographies par les involutions485
      • Détermination d'une homographie par les images de trois points distincts485
      • Conservation du birapport et des "cercles", images des quadruplets486
      • Conservation des angles orientés de courbes487
      • Points fixes. Homographies paraboliques et non paraboliques488
      • Méridiens et parallèles d'une homographie non parabolique490
      • Homographies elliptiques, hyperboliques, loxodromiques491
      • Formes canoniques493
      • Images des "cercles" et "disques"494
      • Homographies du disque unité495
      • Homographies du demi-plan de Poincaré495
      • 3. Le groupe circulaire : homographies et antihomographies498
      • Les transformations circulaires498
      • Involutions et génération du groupe circulaire499
      • Classification des transformations circulaires500
      • Notice biographique503
      • Bibliographie507
      • Index509

  • Origine de la notice:
    • Electre
  • Disponible - 513 LAD

    Niveau 2 - Sciences