Géométrie
Affine, projective, euclidienne et anallagmatique
Yves Ladegaillerie
Ellipses
Introduction3
Table des matières5
I Géométrie affine
1. Espace affine13
2. Variété affine (sous-espace affine)15
Définition, parallélisme15
Propriétés d'incidence des variétés affines (positions relatives, régionnement)16
3. Repère affine. Mesure algébrique. Aire, volume20
Repère affine. Rapports. Mesure algébrique20
Triangle, quadrilatère, parallélogramme, tétraèdre22
Aire et volume algébriques24
4. Barycentre. Indépendance affine. Base affine. Convexité24
Barycentre et fonction de Leibniz24
Indépendance affine. Base affine27
Éléments de convexité29
5. Les grands theorèmes affines classiques31
Le théorème de Thalès31
Les théorèmes de Desargues et Pappus (forme affine faible)35
Les théorèmes de Ménélaüs et Ceva36
6. Coordonnées et équations cartésiennes39
Changement de repère cartésien. Degré d'une courbe algébrique39
Équations de droites dans le plan, régionnement, faisceaux40
Équations de plans dans l'espace, régionnement, faisceaux45
Coordonnées plückériennes d'une droite47
Équations cartésiennes en dimensions supérieures48
7. Coordonnées et équations barycentriques49
Expression des coordonnées barycentriques en termes de déterminants49
Condition d'alignement, équation barycentrique d'une droite, faisceaux50
Théorèmes de Ménélaüs et de Ceva en coordonnée barycentriques51
8. Birapport en géométrie affine54
Birapport de scalaires, de points, de droites54
Birapport de quatre plans ou hyperplans56
Birapport de quatre vecteurs et de quatre droites57
Diverses expressions analytiques du birapport58
Opérations sur le birapport59
9. Normes, topologie, limites. Notions différentielles61
Norme et distance. Topologie61
Droite et plan tangents. Étude locale et à l'infini63
Fonctions convexes, caractérisations66
Équation tangentielle et enveloppe68
10. Complexifié et points imaginaires69
II Applications affines
1. Propriétés générales des applications affines73
Définitions. Propriétés fondamentales (invariants, déterminations, points fixes)73
Produit semi-direct. Structure et topologie du groupe affine GA(E)76
Application ponctuelle et vectorielle : conservation des milieux et parallélogrammes78
Caractérisation par conservation des rapports vectoriels ou du barycentre79
Conservation du contact79
2. Homothéties et translations81
Le groupe des homothéties et translations81
Produits d'homothéties et de translations81
Propriétés des homothéties et translations, caractérisations83
Applications aux théorèmes classiques (Thalès, Desargues, Pappus, Ménélaüs, Ceva)84
3. Projections, symétries affines. Affinités. Transvections90
Projections, symétries, affinités90
Dilatations et transvections vectorielles, affines. Génération du groupe affine93
4. Le théorème "fondamental" de la géométrie affine97
Caractérisation des bijections affines par la conservation de l'alignement97
Caractérisation d'applications affines non bijectives99
5. Expression analytique des applications affines99
III Géométrie projective
1. Prolongement vectoriel d'un espace affine101
Les théorèmes fondamentaux sur le prolongement vectoriel101
Prolongement vectoriel et coordonnées barycentriques105
2. Points à l'infini. Complétion projective106
Point à l'infini d'une droite. Droite projective. Cas de R106
Complétion projective d'un plan affine108
Points à l'infini et coordonnées barycentriques de somme nulle109
Espaces projectifs généraux109
Complété projectif d'un espace affine en dimension quelconque111
Structure affine sur le complémentaire d'un hyperplan dans un espace projectif111
Changement d'hyperplan de l'infini, versions affines et projectives des configurations112
Les théorèmes de Desargues et Pappus : versions projectives et avatars affines113
3. Birapport, conjugaison, polaire117
Birapport de quatre points et quatre droites, faisceau harmonique117
Points conjugués par rapport à deux droites. Polaire120
Étude générale du birapport : birapport d'hyperplans, conjugaison, polaires123
4. Repérage projectif : coordonnées homogènes124
Repérage d'un point dans un espace projectif124
Indépendance projective. Repère projectif125
Cas d'un complété projectif : coordonnées homogènes relatives à un repère affine126
Cordonnées homogènes dans le plan. Équations de droites. Faisceaux127
Courbe algébrique en coordonnées homogènes. Tangentes. Équation tangentielle129
Coordonnées homogènes et birapport de points, de droites d'un faisceau131
5. Dualité projective133
Dualité projective canonique133
Dualité projective associée à un repère. Étude du cas plan134
Birapport et dualité136
Quelques théorèmes duaux136
6. Applications projectives. Homographies137
Définitions. Propriétés générales, image d'un repère, détermination137
Exemple fondamental : les projections coniques ou perspectives141
Homologies et élations. Génération du groupe projectif142
Perspectives dans le complété projectif de l'espace affine. Dessins en perspective145
Homographies entre droites projectives148
Homographies d'une droite sur elle-même148
Homographies entre deux droites coplanaires. Axe d'homographie150
Définition d'un birapport sur un ensemble : structure de droite projective à h. p151
Théorème fondamental de la géométrie projective153
7. Complexification d'un espace projectif réel154
IV Géométrie vectorielle euclidienne
1. Espaces vectoriels euclidiens et orthogonalité157
Produit scalaire et norme euclidiens157
Orthogonalité de vecteurs et de parties. Bases orthonormées. Procédé de Gram-Schmidt159
Projections orthogonales vectorielles161
Complexification d'un espace vectoriel euclidien. Espace vectoriel hermitien163
2. Applications orthogonales et groupe orthogonal164
Applications et matrices orthogonales. Propriétés générales164
Changement de base orthonormée. Déterminant dans une base orthonormée directe167
Groupe orthogonal du plan euclidien168
3. Angles dans un plan vectoriel euclidien169
Les angles orientés de vecteurs et leur mesure169
Cosinus et sinus d'un angle. Angle polaire. Produit scalaire et déterminant173
Les angles orientés de droites et leur mesure175
Utilisation conjointe de mesures d'angles modulo Pi et modulo 2Pi178
Angles géométriques178
Les angles de secteurs plans181
Les angles dans l'espace181
4. Groupe orthogonal en toutes dimensions182
Structure des applications orthogonales182
Classification des applications orthogonales en dimension 3183
5. Similitudes vectorielles187
Étude générale187
Exemple : similitudes vectorielles du plan euclidien188
6. Représentation complexe du plan vectoriel euclidien189
Affixes de vecteurs. Norme, angles, produit scalaire et déterminant189
Forme complexe d'une application vectorielle. Les similitudes190
7. Produit mixte et produit vectoriel191
Produit mixte191
Produit vectoriel192
8. Appendice : construction des fonctions trigonométriques197
Construction à partir de la série exponentielle complexe197
Formulaire de trigonométrie, fonctions réciproques199
Principe de la construction à partir d'une intégrale200
V Géométrie affine euclidienne
1. Espace affine euclidien. Notions de base201
Espace euclidien201
Angles dans le plan affine euclidien. Bissectrices201
Couples de droites antiparallèles205
Inégalité triangulaire et formules d'Al Kashi206
Triangles, quadrilatères et polyèdres euclidiens. Théorème de Pythagore207
Produit scalaire et orthogonalité de vecteurs et de droites208
Projection orthogonale sur une droite. Rapport de projection, trigonométrie208
Expression du produit scalaire en termes de projections orthogonales210
Caractérisation des bissectrices par équidistance211
2. Orthogonalité des variétés affines212
Projection et symétrie orthogonales en dimension quelconque. Distance212
Translations. Affinités orthogonales213
Hyperplan médiateur. Médiatrice et plan médiateur213
Médiatrices et hauteurs d'un triangle215
Orthogonalité de droites et de plans dans l'espace216
Projections orthogonales en dimension 3217
Plans perpendiculaires dans l'espace219
3. Géométrie analytique euclidienne. Équations des variétés221
Les différents types de coordonnées euclidiennes221
Équations cartésiennes des droites du plan euclidien dans un repère orthonormé222
Équation d'une droite du plan en coordonnées polaires225
Équations de plans dans l'espace226
Faisceaux de plans et couples d'équations d'une droite227
4. Cercles et sphères228
Le cercle dans le plan euclidien228
Cercle circonscrit, orthoptique, d'Apollonius229
Puissance d'un point par rapport à un cercle231
Paramétrisation. Cercle trigonométrique231
Orientation du cercle et des arcs. Mesure d'un arc orienté232
Équation cartésienne d'un cercle233
Équation d'un cercle en coordonnées polaires234
Positions relatives de deux cercles235
La sphère en dimension 3 et en dimension n (n > 2)236
5. Angle inscrit. Cocyclicité. Cercle et arcs capables239
Angle inscrit, angle au centre et angle de la tangente239
Angles inscrits et arcs interceptés. Bissectrice d'un angle inscrit240
Condition angulaire de cocyclicité, applications242
Cercle et arc capables, applications245
Relation des sinus dans un triangle246
Caractérisation angulaire des quadrilateres convexes inscriptibles247
6. Aires et volumes euclidiens248
Aire euclidienne du triangle, des polygones convexes, du disque. Applications248
Volume euclidien du tétraèdre, du parallélépipède, de la boule250
7. Représentation complexe du plan euclidien251
Équations complexes des droites et cercles252
Forme complexe des homothéties et translations affines253
Birapport complexe et cocyclicité. Théorème de Ptolémée253
Birapport de points sur un cercle255
Birapport complexe harmonique256
8. Notions différentielles euclidiennes258
Abscisse curviligne258
Courbes cycloïdales. Hypocycloïdes et épicycloïdes259
Aires et volumes260
Courbure plane. Repère de Frenet. Cercle osculateur. Développée262
Courbes et surfaces de l'espace. Courbure, torsion. Courbure de Gauss264
9. Points cycliques et formule de Laguerre. Ombilicale267
Le plan euclidien et son complété projectif complexifié267
Formule de Laguerre268
VI Isométries et similitudes affines
1. Isométries affines269
Définition et caractère affine, exemples269
Le groupe des isométries, structure de produit semi-direct270
Déplacements et antidéplacements271
Détermination d'une isométrie, prolongements. Isométrie conservant une partie272
Génération du groupe des isométries par les réflexions274
Décomposition canonique d'une isométrie affine : théorème de structure275
2. Les isométries du plan276
Translation : exemple d'utilisation276
Réflexion. Produit de deux réflexions d'axes parallèles277
Rotation. Décomposition en produit de deux réflexions, produit de rotations279
Symétrie glissée282
Étude de quelques produits d'isométries planes283
La classification des isométries planes et ses démonstrations284
Expression complexe des isométries planes285
Actions sur les configurations et groupe d'une configuration286
Détermination des isométries planes et cas d'égalité des triangles287
Groupe d'un polygone régulier. Triangle équilatéral et carré288
Groupe du rectangle (groupe de Klein)291
Groupes de frises293
Groupes cristallographiques plans (pavages)294
3. Les isométries de l'espace297
Translation et réflexion, produit de deux réflexions de plans parallèles297
Rotation de l'espace, produit de deux réflexions de l'espace de plans sécants298
Produit de deux rotations d'axes coplanaires299
Vissage ou déplacement hélicoïdal300
Symétrie glissée301
Antirotation affine301
Étude de quelques produits d'isométries de l'espace302
Classification par la méthode linéaire303
Classification par la méthode géométrique303
Décompositions en produits de réflexions et retournements305
Action sur les configurations et groupes de configurations classiques306
Groupe diédral spatial306
Groupe du tétraèdre régulier307
Groupe du cube309
Groupes finis d'isométries de l'espace312
4. Similitudes affines312
Étude en toutes dimensions finies, caractérisations312
Similitudes planes, formes complexes315
Applications classiques des similitudes planes, cas de similitudes322
VII Classiques de géométrie euclidienne
1. Fonction scalaire de leibniz et applications327
La fonction scalaire. Théorème d'Apollonius et formule de Huygens327
Le cas SigmaLambdai = 0. Applications et exemples328
Formule de Stewart et applications329
Le cas SigmaLambdai 0. Applications et exemples331
2. Le triangle332
Droites remarquables ; points classiques et coefficients barycentriques332
Relations métriques dans le triangle335
Théorème de Morley336
Le triangle rectangle337
Problème de Napoléon : construction du centre d'un cercle au compas seul337
Triangles isocèles et équilatéraux338
Cercles inscrits et exinscrit339
Droite et cercle d'Euler. Théorème de Feuerbach342
Droites de Simson et Steiner344
3. Le cercle345
Homothéties et similitudes entre cercles345
Cercles tangents à une droite et un cercle donnés, à deux cercles donnés347
Cercles et sphères orthogonaux348
Points conjugués, pôle et polaire par rapport à un cercle349
Incidences entre pôles et polaires. Transformation par polaires réciproques352
Axe radical de deux cercles352
Faisceaux de cercles353
Quadrangle harmonique356
Théorème de Pascal, cas du cercle ("hexagramme mystique")358
4. Quadrilatère360
Quadrilatères convexes euclidiens360
Groupes plans des parallélogrammes361
Inégalité et théorème généraux de Ptolémée. Quadrilatères inscriptibles362
L'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible363
5. Convexité364
Projection. Hyperplans d'appuis et génération par demi-espaces364
Propriétés topologiques des convexes365
Points extrémaux et théorème de Krein-Milman367
Facettes et polyèdres367
6. Sphère et polyèdres de l'espace. Groupes finis d'isométries368
Géométrie sphérique. Formule d'Euler368
Polyèdres réguliers de l'espace euclidien370
Dodécaèdre et icosaèdre réguliers. Groupes de ces polyèdres371
Les cinq solides platoniciens375
Groupes finis d'isométries de l'espace, classification377
Étude détaillée des tétraèdres379
Tétraèdre orthocentrique380
Tétraèdre équifacial382
Tétraèdre régulier. Maximalité du volume384
7. Inégalités et optimisation386
Somme des distances d'un point à plusieurs droites386
Somme et produit des distances aux sommets d'un triangle, point de Fermat387
Produit des distances aux sommets d'un triangle388
Théorème d'Erdös-Mordell388
Optimisation du périmètre : une application du théorème des trois tangentes389
Triangle inscrit de périmètre minimal : théorème de Fagnano389
VIII Coniques et quadriques
1. Formes quadratiques393
Généralités. Expression polynomiale, différentielle, matricielle. Rang393
Décomposition en carrés. Méthode de Gauss394
Classification des formes quadratiques. Théorème d'inertie de Sylvester397
Noyau. Isomorphisme avec le dual398
Endomorphisme adjoint, auto-adjoint398
Diagonalisation des matrices symétriques réelles399
Diagonalisation simultanée des formes quadratiques400
2. Coniques projectives401
Généralités. Classification, équations401
Classification réelle et complexe des coniques. Cas de dégénérescence402
Points doubles des coniques dégénérées403
Intersection avec une droite. Tangente. Équations et coniques tangentielles403
Différentes formes de l'équation. Bonne paramétrisation406
Intersection des coniques. Déterminations par points et intersections407
Détermination d'une conique par cinq points411
Détermination d'une conique par intersections412
Conjugaison par rapport à une conique. Dualité de polarité413
Conservation du birapport de points alignés et de droites concourantes414
Droites conjuguées par rapport à une conique415
Duale d'une conique par polarité. Théorème dual416
Conjugaison par rapport à une conique dégénérée en deux droites sécantes417
Toute corrélation plane est une polarité417
Birapport et homographie sur une conique418
Birapport de points et de tangentes. Homographie et génération418
Axe et centre d'homographie. Point de Frégier d'une involution420
Théorèmes de Pascal et Brianchon421
Faisceaux de coniques422
Involution de Desargues associée à un faisceau425
Théorème de Lamé. Transformation quadratique. Conique des neufs points425
Faisceaux tangentiels de coniques427
3. Coniques affines428
Généralités : définition, dégénérescence, tangente428
Réduction de l'équation d'une conique du plan affine. Classification430
Conjugaison dans le cadre affine : centre, cordes et diamètres433
Diverses formes de l'équation d'une conique affine436
Faisceaux de coniques affines, nature des coniques437
Conique des centres. Conique des neufs points d'un quadrangle. Cercle d'Euler437
Les théorèmes de Pascal et Brianchon438
4. Coniques euclidiennes439
Généralités. Directions principales. Réduction de l'équation. Classification439
Génération monofocale : détermination par un foyer, une directrice et l'excentricité442
Propriétés tangentielles. Premier théorème de Poncelet444
Formulaire des coniques ordinaires. Différentes équations446
Génération bifocale de l'ellipse réelle et de l'hyperbole448
Propriétés tangentielles des coniques ordinaires. Les théorèmes de Poncelet450
Courbe orthoptique. Cercle de Monge452
Générations tangentielles453
Particularités de la parabole454
Particularités de l'ellipse455
Ellipse et affinité orthogonale. Aire. Méthode de la bande de papier455
Théorèmes d'Apollonius457
Projection d'un cercle sur un plan458
Cercles osculateurs en les sommets458
Particularités de l'hyperbole459
Propriétés relatives aux asymptotes460
Hyperbole équilatère461
Diamètres et hyperboles conjugués. Théorèmes d'Apollonius462
Section planes d'un cône de révolution463
Génération monofocale des sections coniques463
Méthode de Dandelin : génération bifocale des sections coniques464
5. Quadriques466
Généralités466
Classification euclidienne466
IX Géométrie anallagmatique et conforme
1. L'inversion469
Propriétés générales ; exemple : la projection stéréographique469
Cercle ou sphère d'inversion470
Caractérisation par cocyclicité de deux couples de points homologues471
Prolongement en une transformation du compactifié par un point à l'infini471
Effet sur les configurations, les distances, les angles472
Application : démonstration du théorème de Ptolémée par inversion474
Dérivée et contact : l'inversion est conforme474
L'inversion plane et sa représentation complexe. Sphère de Riemann475
Conservation du birapport et des "cercles"476
Propriétés de contact et inversion des angles477
Réflexion par rapport à un cercle477
Transmuée d'une inversion par une inversion478
Applications classiques de l'inversion479
2. Groupe circulaire direct : les homographies complexes483
Le groupe des homographies483
Génération du groupe des homographies par les involutions485
Détermination d'une homographie par les images de trois points distincts485
Conservation du birapport et des "cercles", images des quadruplets486
Conservation des angles orientés de courbes487
Points fixes. Homographies paraboliques et non paraboliques488
Méridiens et parallèles d'une homographie non parabolique490
Homographies elliptiques, hyperboliques, loxodromiques491
Formes canoniques493
Images des "cercles" et "disques"494
Homographies du disque unité495
Homographies du demi-plan de Poincaré495
3. Le groupe circulaire : homographies et antihomographies498
Les transformations circulaires498
Involutions et génération du groupe circulaire499
Classification des transformations circulaires500
Notice biographique503
Bibliographie507
Index509