par Boniface, Jacqueline
Vrin
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Disponible - 51(091) HILB 2
Niveau 2 - Sciences
Hilbert et la notion d'existence en mathématiques
| Auteur(s) : |
Boniface, Jacqueline
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Résumé
David Hilbert (1862-1943) est connu pour le formalisme et la méthode axiomatique qu'il a introduits en mathématique. Ses travaux d'axiomatisation de la géométrie euclidienne, puis de l'arithmétique, l'ont amené à transformer radicalement une notion fondamentale en mathématique, la notion d'existence. C'est la transformation de la notion d'existence en mathématique, que ce livre propose d'examiner.
- Éditeur(s)
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Date
- 2004
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Langues
- Français
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Description matérielle
- 303 p. ; 22 x 14 cm
- Collections
- Sujet(s)
- Epoque
- Lieu
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ISBN
- 2-7116-1606-1
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Indice
- 51(091) HILB Hilbert (David)
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Quatrième de couverture
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«Preuves d'existence», «théorèmes d'existence», «conditions d'existence»: en mathématiques, on parle beaucoup d'existence, mais on ne s'accorde pas toujours sur le sens de cette notion.
Traditionnellement décalquée sur l'existence de réalités physiques, l'existence mathématique se trouve, au XIXe siècle, plus ou moins assimilée à la notion logique de non-contradiction. Entre le réalisme de la première conception et le formalisme de la seconde il y a tout un espace de nuances et de discussions.
L'ouvrage présente la position de David Hilbert et aborde les questions fondamentales de philosophie des mathématiques: nature des objets mathématiques, mode d'existence des objets idéaux, lien entre mathématiques et réalité, rapport entre forme et intuition, concept et construction, autant de questions qui ont nourri le débat entre Hilbert et ses contemporains.
On verra aussi comment la volonté de Hilbert de réduire logiquement tous les problèmes de fondements des mathématiques opère un déplacement significatif de frontières entre mathématiques, logique et philosophie.
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Tables des matières
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Hilbert et la notion d'existence en mathématiques
Jacqueline Boniface
Paris Librairie philosophique J. Vrin
- Introduction
7 - Chapitre premier: Libres créations et constructions effectives: le double héritage de Hilbert15
- I. Les «libres créations» de Dedekind16
- I.1. Les choses et les systèmes16
- I.2. Les coupures21
- I.3. Construction et création27
- II. Cantor ou le paradis de Hilbert29
- II. 1. Liberté et réalité des mathématiques29
- II.2. Un exemple de création cantorienne35
- III. Les limitations de Kronecker40
- III.1. Une exigence de constructivité40
- III.2. La réduction du concept de nombre par Kronecker45
- IV. Conclusion
51 - Chapitre II: Preuves transcendantes et construction des objets: la théorie des Invariants53
- I. La théorie des invariants avant Hilbert54
- I.1. Le stade «naïf» ou l'abord de l'école britannique56
- I.2. Le stade formel ou l'abord de l'école allemande60
- I.3. Du stade naïf au stade formel, quel changement de point de vue sur l'objet?64
- II. La théorie hilbertienne des invariants66
- II.1. La généralisation du théorème de Gordan66
- II.2. L'apport hilbertien68
- III. Conclusion
74 - Chapitre III: Nombres idéaux et problèmes d'existence77
- I. La fiction initiale: les nombres idéaux de Kummer78
- I.1. Le défi du dernier théorème de Fermat78
- I.2. Les premières recherches de Kummer sur la décomposition des entiers cyclotomiques81
- I.3. Kummer et la chimie des nombres complexes85
- II. La théorie des idéaux de Dedekind90
- II.1. De nouveaux habits pour les nombres idéaux91
- II.2. L'arithmétique des idéaux: naissance d'un nouveau calcul95
- II.3. La théorie générale des idéaux97
- III. La théorie des diviseurs de Kronecker101
- III.1. Les domaines de rationnalité103
- III.2. Les domaines de genre108
- III.3. La décomposition en facteurs irréductibles de fonctions entières de variables109
- III.4. Les grandeurs entières algébriques et leur classification en espèces111
- III.5. La divisibilité des grandeurs entières algébriques113
- III.6. Les diviseurs algébriques généraux (théorie des diviseurs (Divisoren))116
- IV. La théorie des nombres algébriques121
- IV.1. Comparaison entre les idéaux de Dedekind et les diviseurs de Kronecker121
- IV.2. Le rapport de Hilbert
123 - Chapitre IV: Vérité des axiomes et existence des objets131
- I. Premières conceptions de l'axiomatique132
- I.1. Pasch et les italiens132
- I.2. Hilbert135
- II. Frege et la tradition axiomatique139
- II.1. Les axiomes et les définitions dans l'acception traditionnelle139
- II.1.1. Les principes premiers selon Aristote et selon Euclide140
- II.1.2. Notions communes et axiomes142
- II.1.3. Thèse, hypothèse et définition143
- II.1.4. Postulats143
- II.2. Principes logiques, axiomes et définitions chez Frege145
- II.2.1. Le modèle euclidien145
- II.2.2. Les principes logiques de l'arithmétique et les axiomes de la géométrie146
- II.2.3. La définition151
- III. L'axiomatique hilbertienne155
- III.1. Le fondement logique155
- III.2. Nature des éléments adjoints157
- III.3. Le rapport de l'axiomatique à la réalité158
- III.4. Originalité et intérêt de la conception hilbertienne161
- IV. La controverse entre Frege et Hilbert165
- IV.1. Deux conceptions divergentes de la définition165
- IV.2. Deux conceptions différentes de l'axiome169
- IV.2.1. Existence, vérité et non-contradiction169
- IV.2.2. Axiome hilbertien-concept frégéen172
- V. Conclusion177
- Chapitre V: De l'existence des nombres: Frege et Hilbert179
- I. L'existence logique des nombres selon Frege181
- I.1. La conception frégéenne du nombre183
- I.1.1. Recherche de la nature des lois de l'arithmétique183
- I.1.2. Critique par Frege des définitions «naïves» du nombre cardinal et solution frégéenne185
- I.2. La définition frégéenne du nombre cardinal186
- I.2.1. Elaboration de la définition186
- I.2.2. Difficulté de la définition188
- I.3. La définition de Cantor191
- I.4. La suite naturelle des nombres194
- I.4.1. Définition de 0 et du successeur immédiat194
- I.4.2. Existence du successeur immédiat196
- II. Première tentative hilbertienne de fondement de l'arithmétique200
- II.1. Logique et mathématiques200
- II.2. Les premiers «objets»203
- II.3. Les premiers axiomes208
- II.4. Nouveaux objets, nouveaux axiomes212
- II.5. Le principe d'induction215
- II.6. Les principes de la méthode216
- II.7. Conclusion
218 - Chapitre VI: La théorie hilbertienne de la démonstration et le problème de l'existence221
- I. Les éléments idéaux selon Hilbert222
- I.1. Le point de vue intuitif de l'arithmétique élémentaire et sa transgression224
- I.2. La méthode des éléments idéaux appliquée à la logique227
- I.3. Eléments idéaux et idéal kantien230
- I.4. Les éléments idéaux sont-ils comparables aux indéterminées de Kronecker?232
- II. Les éléments kantiens du finitisme hilbertien235
- II.1. Le rôle de l'intuition dans la théorie kantienne des mathématiques236
- II.2. Le rôle de l'intuition dans la mathématique selon Hilbert241
- II.3. L'a priori kantien interprété comme finitisme246
- II.4. Conclusion250
- III. Retour sur le problème de la non-contradiction253
- III.1. Une analogie est-elle possible entre preuve de consistance et preuve d'irrationalité?253
- III.2. Le corollaire de Gödel et l'échec des preuves finitistes de la non-contradiction de l'arithmétique256
- III.3. Le constructivisme: nouveau cadre pour les démonstration de consistance257
- Conclusion: Une conception nouvelle de l'existence
261 - Bibliographie275
- Index des noms291
- Index des notions295
- Table des matières301
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Origine de la notice:
- Electre
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Disponible - 51(091) HILB 2
Niveau 2 - Sciences
