Mathématiques pour la physique : introduction à la théorie qualitative des systèmes dynamiques

Auteur(s) :

Benoist-Gueutal, Pierrette (1923-2003) Découvrir l'auteur

Résumé

Propose une introduction pédagogique aux mathématiques du chaos. Présente les outils mathématiques indispensables à l'application des théories physiques étudiant les systèmes dynamiques complexes. Exemples et exercices corrigés.

Éditeur(s)
- De Boeck
Date
- 2005
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (XV-553 p.) : ill. ; 24 cm
Sujet(s)
ISBN
- 2-8041-4904-8
Indice
- 519.8 Mathématiques appliquées, physique mathématique
Quatrième de couverture
- Ce livre est une introduction aux mathématiques du «chaos», un des concepts clés de la science contemporaine. Il présente, de manière rigoureuse et très pédagogique, les outils mathématiques indispensables à la compréhension et à l'application des théories physiques relatives aux systèmes dynamiques.
  Tout en rappelant les méthodes locales classiques d'existence et de construction des solutions des équations différentielles ordinaires, l'auteur met l'accent sur les approches globales actuelles tels que les comportements asymptotiques et les stabilités des solutions.
  De nombreux exemples et plus de 70 exercices avec solutions détaillées illustrent les notions clés de la théorie qualitative des itérations et les propriétés des systèmes différentiels.
  Principalement destiné aux étudiants en troisième année de licence, en maîtrise et en master de physique ou en écoles d'ingénieurs, ce livre sera utile aux enseignants et chercheurs voulant s'initier à la science du chaos.
Tables des matières
- - Mathématiques pour la physique
  - Introduction à la théorie qualitative des systèmes dynamiques
  - Pierrette Benoist-Gueutal
  - De boeck
  - I - Théorie qualitative des itérations 2
  - 1 - Itérations - Déterminisme et imprévisibilité 3
  - 1.1 - Sensibilité aux conditions initiales (S.C.I.)4
  - 1.2 - Sensibilité structurelle et bifurcations6
  - 2 - Itérations dans Rⁿ 7
  - 2.1 - Topologie de Rⁿ7
  - 2.2 - Itérations autonomes8
  - 2.3 - Stabilité au sens de Lyapunov d'une solution d'une itération12
  - 3 - Portrait de phase d'une itération 14
  - 3.1 - Trajectoire (ou itinéraire) d'une itération14
  - 3.2 - Points fixes et solutions périodiques15
  - 3.3 - Solutions cycliques et solutions apériodiques16
  - 3.4 - Orbite d'une itération18
  - 4 - Convergence des solutions d'une itération 19
  - 4.1 - Ensemble Omega-limite d'une solution d'une itération19
  - 4.2 - Ensemble Omega-limite de l'itération d'un ensemble D compact21
  - 4.3 - Ensemble Alpha-limite d'une itération inversible22
  - 5 - Itérations contractantes 23
  - 6 - Systèmes mélangeant 25
  - 7 - Exemples d'itérations de R 26
  - 7.1 - L'itération de décalage26
  - 7.2 - Itération "tente"30
  - 8 - Itérations qualitativement équivalentes 37
  - 8.1 - Homéomorphismes37
  - 8.2 - Définition et propriétés des itérations qualitativement équivalentes38
  - 8.3 - Équivalence linéaire de deux itérations43
  - 8.4 - Exemple d'itérations qualitativement équivalentes44
  - 9 - Systèmes conservatifs et non conservatifs 45
  - 9.1 - Systèmes conservatifs45
  - 9.2 - Systèmes dissipatifs et attracteurs46
  - 10 - La transformation du boulanger 49
  - Résolution de la transformation du boulanger dans la représentation binaire51
  - Points fixes et solutions périodiques53
  - Ensemble Omega-limite d'une solution54
  - 11 - Un attracteur fractal 55
  - II - Itérations non linéaires continûment différentiables 60
  - 1 - Applications continûment différentiables 61
  - 2 - Itérations linéaires 64
  - 2.1 - Stabilité des solutions de l'équation linéaire65
  - 2.2 - Opérateurs linéaires sur Cⁿ67
  - 2.3 - Itérations linéaires qualitativement équivalentes69
  - 2.4 - Théorème de Jordan et anamorphoses74
  - 2.5 - Itérations hyperboliques82
  - 3 - Itérations non linéaires de classe C¹ 83
  - 3.1 - Points fixes des itérations de classe C¹84
  - 3.2 - Linéarisation d'une itération au voisinage d'un point fixe84
  - 3.3 - Stabilité des points fixes hyperboliques86
  - 3.4 - Stabilité des solutions périodiques92
  - 4 - Itérations d'un intervalle I de R 94
  - 4.1 - Généralités94
  - 4.2 - Application logistique96
  - 5 - Itérations quadratiques dans le plan complexe 104
  - 5.1 - Ensemble de Julia106
  - 5.2 - Ensemble de Mandelbrot109
  - 6 - L'itération de Hénon 109
  - 6.1 - L'itération G_{c, d} de Hénon pour d = 1,4 et c = 0,3112
  - 6.2 - Recherche d'un compact invariant par l'itération dans le cas dissipatif115
  - 7 - Exposant de Lyapunov d'une solution d'une itération 119
  - 7.1 - Itérations d'un intervalle de R119
  - 7.2 - Itérations dans Rⁿ123
  - Exercices I 128
  - Énoncés des exercices 129
  - Exercices supplémentaires 145
  - Solutions des exercices 149
  - Solutions des exercices supplémentaires 187
  - III - Équations différentielles - généralités 194
  - 1 - Systèmes différentiels 195
  - 2 - Systèmes dynamiques déterministes 200
  - 2.1 - Condition de Lipschitz201
  - 2.2 - Théorème de Cauchy-Lipschitz202
  - 2.3 - Stabilité d'une solution au sens de Lyapunov209
  - 2.4 - Trajectoires et orbites210
  - 2.5 - Ensembles Omega-limite et Alpha-limite211
  - 3 - Systèmes conservatifs et dissipatifs 214
  - 4 - Bifurcations et perturbations 220
  - 5 - Systèmes dynamiques autonomes 222
  - 5.1 - Points critiques222
  - 5.2 - Invariance par translation du temps224
  - 5.3 - Propriétés des orbites224
  - 5.4 - Équations différentielles autonomes du premier ordre226
  - 5.5 - Solutions périodiques227
  - 5.6 - Solutions quasi-périodiques229
  - 5.7 - Intégrales premières230
  - 5.8 - Systèmes hamiltoniens233
  - IV - Systèmes différentiels autonomes de classe C¹ 238
  - 1 - Introduction 239
  - 2 - Systèmes autonomes linéaires 240
  - 2.1 - Solutions des équations241
  - 2.2 - Stabilité des solutions245
  - 2.3 - Systèmes différentiels linéaires du second ordre246
  - 3 - Stabilité des points fixes des équations autonomes non linéaires 255
  - 3.1 - Méthode de linéarisation pour les points fixes hyperboliques256
  - 3.2 - Méthode de la fonction de Lyapunov270
  - 4 - Systèmes dynamiques autonomes dans R² 274
  - 4.1 - Existence des orbites périodiques dans R²275
  - 4.2 - Stabilité des solutions périodiques278
  - 4.3 - Cycles limites281
  - 4.4 - Sections de Poincaré282
  - 4.5 - Théorème de Poincaré-Bendixson284
  - 5 - Exemples de systèmes dynamiques dans R² : Les oscillateurs 285
  - 5.1 - Les oscillateurs linéaires285
  - 5.2 - Le pendule simple sans frottement286
  - 5.3 - Le pendule avec amortissement linéaire292
  - 5.4 - L'équation de van der Pol294
  - 6 - Systèmes autonomes dans Rⁿ, n 3 298
  - 6.1 - Solutions m-périodiques et quasi-périodiques298
  - 6.2 - Sections de Poincaré299
  - 6.3 - Les équations de Lorenz301
  - V - Équations différentielles non autonomes 308
  - 1 - Introduction 309
  - 2 - Systèmes différentiels linéaires homogènes 312
  - 2.1 - Existence des solutions312
  - 2.2 - Systèmes linéaires non autonomes "proches" d'un système autonome315
  - 2.3 - Équations linéaires à coefficients périodiques319
  - 3 - Systèmes différentiels linéaires inhomogènes 324
  - 3.1 - Théorème de Lagrange324
  - 3.2 - Stabilité des solutions325
  - 3.3 - Équations autonomes "excitées"326
  - 3.4 - Itération de T-premier retour327
  - 3.5 - Equations différentielles du premier ordre331
  - 3.6 - Équations différentielles de second ordre332
  - 3.7 - Oscillateur harmonique forcé333
  - 4 - Systèmes différentiels non linéaires 339
  - 4.1 - Point fixe asymptotiquement stable340
  - 4.2 - Point fixe instable340
  - 4.3 - Point fixe stable340
  - VI - Méthodes d'approximation 342
  - 1 - Développements limités (ou asymptotiques) 343
  - 2 - L'équation de Van der Pol 346
  - 3 - Méthode de Poincaré-Lindstedt 348
  - 3.1 - Cycle limite de l'équation de van der Pol348
  - 3.2 - Exemple d'application de la méthode de Poincaré-Lindstedt349
  - 3.3 - Autre exemple : exercice E II-11351
  - 4 - Oscillateur forcé non linéaire 352
  - 5 - Courbes de transition de l'équation de Mathieu 355
  - 6 - Méthode de moyennisation 358
  - 6.1 - Principe de la méthode358
  - 6.2 - L'équation de Mathieu360
  - Exercices II 364
  - Énoncés 365
  - Solutions 381
  - Appendice A 428
  - 1 - Quelques définitions ensemblistes 429
  - 2 - Applications 430
  - 3 - Espaces métriques 431
  - 4 - L'espace Rⁿ - Norme euclidienne 432
  - 5 - L'espace Cⁿ 433
  - 6 - Topologie des espaces métriques 433
  - 7 - Ouverts connexes de Rⁿ 435
  - 8 - Continuité d'une application 436
  - 9 - Espaces compacts 436
  - 10 - Espaces complets - Suites de Cauchy 437
  - 11 - Homéomorphie 438
  - 12 - Opérateurs linéaires sur Rⁿ 440
  - 12.1 - Valeurs propres d'une matrice A réelle441
  - 12.2 - Norme sur Rⁿ d'une matrice réelle A443
  - 12.3 - Une matrice réelle A opérateur sur Cⁿ444
  - Appendice B 446
  - 1 - Applications différentiables 447
  - 2 - Condition de Lipschitz 448
  - 3 - Applications continûment différentiables 449
  - 4 - Applications composées 452
  - 5 - Difféomorphismes 454
  - 6 - Point fixes de F : D Vecteur D 456
  - 7 - Méthode de Newton 456
  - 8 - Fonctions implicites 459
  - 9 - Inversion locale d'une application 462
  - 10 - Itérations continûment différentiables 465
  - 11 - Équations différentielles continûment différentiables 466
  - Appendice C 472
  - 1 - Coefficient de Lyapunov d'une suite positive 473
  - 2 - Coefficient de Lyapunov d'une fonction positive 476
  - 3 - Étude de la suite ||A^r||, où A est une matrice 477
  - 4 - Équations différentielles autonomes linéaires 480
  - Appendice D 484
  - Appendice E 488
  - 1 - Partie entière et partie fractionnaire d'un nombre réel 489
  - 2 - L'ensemble Sigma_b 490
  - 3 - Nombres rationnels et nombres cycliques 493
  - 4 - Nombres irrationnels 496
  - 5 - Fractions continues 497
  - Appendice F 502
  - 1 - Fonctions bi-périodiques 503
  - 2 - Solutions m -périodiques des équations différentielles et les tores T^m 505
  - Appendice G 512
  - 1 - Exemples de fractals 514
  - 1.1 - Les ensembles de Cantor dans R514
  - 1.2 - La courbe "flocon de neige" de von Koch dans R²517
  - 2 - Dimension fractale (des ensembles auto-similaires) 518
  - 2.1 - Ensembles "simples"519
  - 2.2 - Dimension fractale d'un ensemble de Cantor sur R520
  - 2.3 - Dimension fractale de la courbe de von Koch521
  - 2.4 - Dimension fractale d'un ensemble de Cantor sur R²521
  - Appendice H 524
  - 1 - Existence des solutions 525
  - 2 - Équations linéaires homogènes 527
  - 2.1 - Opérateur résolvant527
  - 2.2 - Application du théorème de Liouville528
  - 2.3 - Matrices fondamentales529
  - 2.4 - Wronskien d'un système de n solutions532
  - 3 - Équations linéaires à coefficients périodiques 532
  - 3.1 - Multiplicateurs533
  - 3.2 - Théorème de Floquet535
  - 3.3 - Stabilité des solutions de l'équation linéaire périodique538
  - 3.4 - Itération de T-premier retour540
  - 4 - Méthode de Lagrange 541
  - 5 - Équations différentielles linéaires du second ordre 542
  - 5.1 - Théorème du Wronskien542
  - 5.2 - Equation différentielle linéaire autonome du second ordre544
Origine de la notice:
- FR-751131015 ;
- Electre