Invitation à l'algèbre : théorie des groupes, des anneaux, des corps et des modules : L3, master, Capes, agreg

Auteur(s) :

Jeanneret, Alain Découvrir l'auteur

Résumé

Pour les étudiants de mathématiques fondamentales qui veulent approfondir leurs connaissances en algèbre. Présentation des concepts fondamentaux de la théorie des groupes, des anneaux et des corps commutatifs, avec de nombreux exemples et des applications issus de la géométrie ou de l'arithmétique, ainsi que la théorie de Galois.

Autre(s) auteur(s)
- Lines, Daniel (1952-....)
Éditeur(s)
- Cépaduès
Date
- 2008
Notes
- Glossaire. Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- XIV-394 p. ; 21 x 15 cm
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-85428-740-0
Indice
- 512.95 Structures algébriques (groupes, anneaux, corps etc.), treillis
Quatrième de couverture
- Ce livre s'adresse aux étudiants de mathématiques qui désirent approfondir leurs connaissances en algèbre. Nous supposons qu'ils ont déjà acquis les éléments de base de l'arithmétique des nombres entiers et de l'algèbre linéaire.
  Dans les trois premières parties, nous exposons les concepts fondamentaux de la théorie des groupes, des anneaux et des corps commutatifs. Nous illustrons les notions introduites par de nombreux exemples et applications issus de la géométrie ou de l'arithmétique : groupes de symétries des polyèdres réguliers et groupe des déplacements de l'espace euclidien, factorisation en éléments premiers dans l'anneau des polynômes et des entiers de Gauss, constructions à la règle et au compas.
  Les deux parties suivantes s'adressent à des étudiants plus avancés et développent la théorie de Galois, qui traite de la résolubilité par radicaux des équations polynomiales, ainsi que celle des modules sur un anneau commutatif. Cette dernière s'applique en particulier à la classification des groupes abéliens et des endomorphismes d'espace vectoriel.
  Cet ouvrage sera utile aux étudiants préparant la licence ou la maîtrise de mathématiques, les concours du CAPES ou de l'Agrégation ainsi qu'aux enseignants qui pourront l'utiliser comme base pour un cours.
Tables des matières
- - Invitation à l'algèbre
  - Théorie des groupes, des anneaux, des corps et des modules
  - Alain Jeanneret
  - Daniel Lines
  - Cépaduès-Éditions
  - 1 Préliminaires1
  - 1.1 Rappels de théorie des ensembles1
  - 1.2 Lois internes et groupes5
  - 1.3 Anneaux9
  - 1.4 Corps11
  - 1.5 Quaternions12
  - 1.6 Exercices15
  - I Théorie des groupes21
  - 2 Généralités sur les groupes I25
  - 2.1 Définitions25
  - 2.2 Homomorphismes de groupes33
  - 2.3 Groupes quotients37
  - 2.4 Exercices43
  - 3 Exemples de détermination de groupes47
  - 3.1 Groupes d'ordres inférieurs à huit47
  - 3.2 Groupe des unités de (...)51
  - 3.3 Exercices59
  - 4 Généralités sur les groupes II61
  - 4.1 Théorèmes d'isomorphie62
  - 4.2 Centre d'un groupe69
  - 4.3 Commutateurs70
  - 4.4 Groupes résolubles73
  - 4.5 Produits directs77
  - 4.6 Produits semi-directs79
  - 4.7 Exercices88
  - 5 Groupes de permutations et groupes de symétries des polyèdres95
  - 5.1 Groupes symétriques97
  - 5.2 Groupes alternés101
  - 5.3 Groupes de symétries des polyèdres réguliers106
  - 5.4 Exercices112
  - 6 Actions de groupes115
  - 6.1 Définitions116
  - 6.2 Applications à la théorie des groupes119
  - 6.3 Dénombrements d'objets coloriés122
  - 6.4 Théorème de Sylow126
  - 6.5 Exercices131
  - 7 Groupes de matrices et groupes d'isométries de l'espace euclidien137
  - 7.1 Groupes linéaires138
  - 7.2 Groupes orthogonaux et unitaires142
  - 7.3 Groupes d'isométries de l'espace euclidien151
  - 7.4 Exercices156
  - II Théorie des anneaux163
  - 8 Généralités sur les anneaux167
  - 8.1 Définitions167
  - 8.2 Anneaux de polynômes à une variable175
  - 8.3 Anneaux de polynômes à plusieurs variables184
  - 8.4 Exercices189
  - 9 Arithmétique dans les anneaux197
  - 9.1 Anneaux euclidiens et principaux198
  - 9.2 Anneaux factoriels201
  - 9.3 Arithmétique de l'anneau des entiers de Gauss207
  - 9.4 Le Grand théorème de Fermat211
  - 9.5 Factorialité des anneaux de polynômes213
  - 9.6 Exercices219
  - III Théorie des corps223
  - 10 Extensions de corps 229
  - 10.1 Définitions229
  - 10.2 Eléments algébriques et transcendants235
  - 10.3 Polynômes cyclotomiques243
  - 10.4 Corps des racines d'un polynôme246
  - 10.5 Corps finis250
  - 10.6 Exercices253
  - 11 Constructions à la règle et au compas 257
  - 11.1 Lien avec les extensions de corps257
  - 11.2 Applications262
  - 11.3 Exercices265
  - IV Théorie de Galois267
  - 12 Groupe de Galois et extensions galoisiennes 275
  - 12.1 Groupe de Galois275
  - 12.2 Extensions galoisiennes279
  - 12.3 Réalisation de groupes comme groupes de Galois288
  - 12.4 Groupes de Galois des extensions de corps finis294
  - 12.5 Démonstration de la formule du sous-corps fixe296
  - 12.6 Exercices298
  - 13 Résolution des équations par radicaux 301
  - 13.1 L'Equation Xⁿ - alpha = 0302
  - 13.2 Equations résolubles par radicaux305
  - 13.3 Equations non résolubles par radicaux309
  - 13.4 Exercices312
  - V Théorie des modules315
  - 14 Généralités sur les modules 319
  - 14.1 Définitions319
  - 14.2 Sous-modules d'un module libre328
  - 14.3 Démonstration du théorème de la forme normale332
  - 14.4 Exercices338
  - 15 Classification des modules sur un anneau principal 343
  - 15.1 Décomposition d'un module selon ses facteurs invariants343
  - 15.2 Décomposition primaire d'un module350
  - 15.3 Démonstration de l'invariance des idéaux élémentaires353
  - 15.4 Exercices356
  - 16 Module associé à un endomorphisme d'espace vectoriel 359
  - 16.1 Facteurs invariants du module associé à un endomorphisme360
  - 16.2 Décomposition primaire du module associé à un endomorphisme et blocs de Jordan368
  - 16.3 Exercices378
  - Glossaire381
  - Bibliographie383
  - Index386
Origine de la notice:
- Electre