Théorie des nombres

Auteur(s) :

Legendre, Adrien-Marie (1752-1833) Découvrir l'auteur

Résumé

Ce mémoire présente les méthodes proposées par M. Gauss pour la résolution des équations à deux termes ainsi que les découvertes d'Euler et de Lagrange. Théorie des diviseurs de la quantité, traité de "partitione numerorum" ou résolution des équations indéterminées. L'étude contient notamment l'ébauche d'une théorie nouvelle issue du théorème de Fermat.

Éditeur(s)
- J. Gabay
Date
- 2008
Notes
- Fac-sim. de la 3e éd. de Paris : Firmin Didot Frères, 1830
Langues
- Français
Description matérielle
- 2 vol. (XXIV-396-44, XV-463 p.) ; 27 x 21 cm
Sujet(s)
- Théorie des nombres
ISBN
- 978-2-87647-308-9
Indice
- 511.9 Arithmétique, théorie des nombres
Quatrième de couverture
- Théorie des nombres
  Troisième édition
  Tome 1
  Le premier traité d'Arithmétique supérieure, ou d'Arithmologie, a été publié à la fin du siècle dernier par Legendre, sous le titre : Essai sur la théorie des nombres (Paris, an VI). Cet excellent ouvrage renfermait non seulement tout ce qui était connu jusqu'alors sur cette science, et notamment les recherches d'Euler et de Lagrange, sur les théorèmes énoncés par Fermat, mais encore les nombreuses découvertes de l'illustre auteur, qui rendit de si grands services à l'Arithmétique. On lui doit le théorème fondamental qui porte son nom, c'est-à-dire la Loi de réciprocité des résidus quadratiques. Deux autres éditions, considérablement augmentées, ont été publiées de son vivant ; la troisième, définitive, en 1830.
  Edouard Lucas, Théorie des nombres, 1891 Reprint Jacques Gabay, 1991
  La Loi de réciprocité des résidus quadratiques, qui établit une relation entre deux nombres premiers impairs quelconques, se trouve démontrée pour la première fois dans la Théorie des nombres de Legendre, mais ce résultat avait déjà été énoncé dans un mémoire de 1785. Gauss appelait cette proposition « le joyau de l'Arithmétique » et on n'en trouve pas moins de six démonstrations différentes dans ses oeuvres.
  W. W. Rouse Ball, Histoire des mathématiques, t. II, 1907 Reprint Jacques Gabay, 2005
Tables des matières
- - Théorie des nombres
  - Adrien-Marie Legendre
  - FD
  - Introduction,
  - Contenant des notions générales sur les nombres
  - On considère les nombres en tant qu'ils résultent de la multiplication de plusieurs facteurs,1
  - Des différents diviseurs d'un nombre donné, et de leur somme,6
  - On détermine combien il y a de nombres plus petits que N et premiers à N,8
  - On cherche combien de fois un même nombre premier (...) peut être facteur dans le produit 1. 2. 3...N,10
  - Propriétés générales des nombres premiers : leur répartition en diverses progressions arithmétiques dont la raison est constante,13
  - Première partie.
    Exposition de diverses méthodes et propositions relatives à l'analyse indéterminée.
  - § I. Des fractions continues, 17
  - Définition des quotients-complets et des fractions convergentes,18
  - Propriétés générales des fractions convergentes,19
  - Condition pour qu'une fraction donnée soit comprise parmi les fractions convergentes,24
  - Application à l'équation p² - Aq² = ± D,25
  - Des fractions continues symétriques,27
  - § II. Résolution des équations indéterminées du premier degré, 28
  - § III. Méthode pour résoudre en nombres rationnels les équations indéterminées du second degré, 32
  - Réduction de l'équation générale à la forme x² - By² = Az²33
  - Résolution de l'équation x² - y² = Az²,34
  - On donne, d'après Lagrange, les moyens de diminuer successivement les coefficients A et B, jusqu'à ce que l'un des deux soit égal à l'unité,35
  - § IV. Théorème pour juger de la possibilité ou de l'impossibilité de toute équation indéterminée du second degré, 41
  - Une telle équation étant réduite à la forme ax² + by² = cz², dans laquelle a, b, c, sont positifs et dégagés de tout facteur carré ; elle sera possible, s'il y a trois entiers lambda, mu, nu, tels que les trois quantités (...), (...), (...), soient des entiers ; autrement elle sera impossible,47
  - § V. Développement de la racine d'un nombre non-carré en fraction continue, 49
  - Loi générale du développement,50
  - On prouve que la fraction continue est périodique,53
  - On en conclut que l'équation x² - Ay² = I admet toujours une infinité de solutions,55
  - § VI. Résolution en nombres entiers de l'équation indéterminée x² - Ay² = ± D, D étant < (...)A, 56
  - Condition pour que l'équation soit possible,59
  - Formules générales qui contiennent une infinité de solutions de l'équation proposée,60
  - § VII. Théorèmes sur la possibilité des équations de la forme Mx² - Ny² = ± 1, ou ± 2, 64
  - A étant un nombre premier 4n + 1 l'équation x² - Ay² = - I est toujours possible,65
  - A étant un nombre premier 8n + 3, l'équation x² - Ay² = - 2 est toujours possible,ibid.
  - A étant un nombre premier 8n + 7, l'équation x² - Ay² = 2 est toujours possible,66
  - M et N étant deux nombres premiers 4n + 3, l'équation Mx² - Ny² = + I, ou l'équation Mx² - Ny² = - I, sera toujours possible,67
  - Les mêmes théorèmes se déduisent de la considération du quotient-moyen dans le développement de (...)A en fraction continue,69
  - Moyen direct de mettre A sous la forme D² + I², lorsque A est un nombre premier 4n + I, ou lorsqu'en général A rend possible l'équation... x² - Ay² = - I,71
  - § VIII. Réduction de la formule Ly² + Myz + Nz²à l'expression la plus simple, 72
  - Cette réduction se fait par la méthode de Lagrange (Mém. de Berlin, ann. 1775). On démontre ensuite, par une méthode particulière, que deux formules py² + 2qyz + rz², p'y² + 2q'yz + r'z², dans lesquelles pr - q² et p'r' - q'² sont égales à un même nombre positif A, sont différentes l'une de l'autre, si elles satisfont à la condition que le coefficient-moyen ne surpasse aucun des extrêmes,78
  - § IX. Développement de la racine d'une équation du second degré en fraction continue, 81
  - Loi générale du développement, la même que pour les simples racines carrées,83
  - On prouve que la fraction continue est périodique,84
  - On détermine l'expression générale des diverses fractions convergentes qui répondent à un même quotient dans les périodes successives,87
  - Considérations diverses sur la résolution de l'équation fy² + gyz + hz² = ± D,90
  - § X. Comparaison des fractions continues résultantes du développement des deux racines d'une même équation du second degré, 95
  - On prouve que la période comprise dans le développement d'une racine est l'inverse de la période comprise dans le développement de l'autre racine,ibid.
  - § XI. Résolution en nombres entiers de l'équation Ly² + Myz + Nz² = ± H, 104
  - Il ne peut y avoir une infinité de solutions que lorsque M² - 4LM est un nombre positif non-carré : on résout alors l'équation en la ramenant au cas ou le second membre = ± I,109
  - On confirme par divers exemples la remarque déjà faite, que les formules obtenues par le développement d'une racine contiennent implicitement le résultat du développement des deux racines,110 - 116
  - § XII. Démonstration d'une proposition supposée dans les paragraphes précédents, 120
  - Étant proposée l'équation fy² + gyz + hz² = ± H, dans laquelle on a H < (...) ; si cette équation est résoluble, la fraction (...) se trouvera parmi les fractions convergentes vers une racine de l'équation fx² + gx + h = 0,124
  - Les cas qui semblent faire exception sont néanmoins compris dans les formules générales,128
  - § XIII. Réduction ultérieure des formules Ly² + Myz + Nz², lorsque M² - 4LN est égal à un nombre positif, 130
  - On donne pour cet objet une méthode directe fondée sur le développement en fraction continue d'une racine de l'équation Lx² + M^x + N = 0,132
  - Les tables I et II, construites d'après cette théorie, offrent les réductions toutes faites pour un grand nombre de formules. Voyez le Recueil des tables.
  - § XIV. Développement en fraction continue de la racine d'une équation d'un degré quelconque, 141
  - Méthode générale due à Lagrange. - Perfectionnement de cette méthode par le même auteur,143
  - Observation sur le nombre des quotients nouveaux qu'on peut déduire des quotients déjà trouvés,147
  - Exemples de développements qui offrent des rapports remarquables entre les racines,150
  - Observations sur la solution de quelques équations indéterminées d'un degré élevé,156
  - Rapport remarquable entre les racines des transformées successives et les racines de la proposée,161
  - Développement en fraction continue d'une racine réelle de toute équation proposée,167
  - Méthode pour obtenir la première approximation dans les équations algébriques,168
  - Nouvelle méthode pour l'approximation des racines imaginaires,171
  - Cette méthode prouve directement que la valeur de l'inconnue peut toujours être représentée par (...) et (...) étant réels,178
  - § XV. Résolution en nombres entiers de l'équation indéterminée Lyⁿ + My^n-1z + Ny^n-2z²... + Vzⁿ = ± H, 179
  - On ramène cette équation au cas où le second membre = ± I,ibid.
  - Recherches sur les moyens de déterminer y et z, pour que la fonction homogène atⁿ + bt^n-1u² + ct^n-2u²... + kuⁿ soit un minimum,180
  - On prouve que dans le cas du minimum la fraction (...) doit être l'une des fractions convergentes vers une racine réelle de l'équation axⁿ + bx^n-1 + cx^n-2... + k = 0, ou vers la partie réelle d'une racine imaginaire de la même équation,184
  - Seconde partie.
    Propriétés générales des nombres.
  - § I. Théorèmes sur les nombres premiers. 192
  - Si c est un nombre premier et N un nombre quelconque non-divisible par c, la quantité N^c-1 - I sera divisible par c,ibid.
  - Si n est un nombre premier, le produit 1. 2. 3... (n - 1), augmenté de l'unité, sera divisible par n,193
  - Si un polynome du degré m divise x^c-1 - 1, c étant un nombre premier, il y aura toujours m valeurs de x, comprises entre - (...)c et + (...)c, qui rendront ce polynome divisible par c,196
  - Le nombre premier c sera diviseur de x² + N, si la quantité (- N)(...) - 1 est divisible par c ; dans le cas contraire, il ne pourra diviser x² + N,197
  - Explication du caractère abrégé (...),ibid.
  - § II. Recherche de la forme qui convient aux diviseurs de la formule t² + au², t et u étant premiers entre eux, 200
  - On prouve que tout diviseur de cette formule peut être représenté par une formule de même degré py² + 2qyz + rz², dans laquelle on a pr - q² = a, et 2q < p et r,201
  - § III. Application de la théorie précédente à diverses formules t² + u², t² + 2u², t² - 2u², etc., 203
  - On prouve que la somme de deux carrés premiers entre eux, t² + u², ne peut avoir pour diviseur qu'une somme semblable y² + z²,204
  - Il en est de même des formules t² + 2u², t² - 2u², chacune n'admettant que des diviseurs qui lui sont semblables,ibid.
  - Propriétés générales et caractéristiques des nombres premiers 8n + 1, 8n + 3, 8n + 5, 8n + 7,206
  - Valeur du symbole (...) selon l'espèce du nombre premier c,209
  - § IV , où l'on prouve que tout nombre entier est la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés, 211
  - On démontre que B et C étant deux nombres quelconques donnés, il y a toujours des valeurs de t et u telles que t² - Bu² - C est divisible par un nombre premier donné A,211
  - Le produit de la formule p² + q² + r² + s² par une formule semblable est également la somme de quatre carrés,213
  - Un nombre quelconque est la somme de quatre carrés,214
  - Développement des différents cas du théorème de Fermat sur les nombres polygones,218
  - § V. De la forme linéaire qui convient aux diviseurs de la formule aⁿ ± I, a et n étant des nombres donnés, 222
  - Tout nombre premier p qui divise la formule aⁿ + I est de la forme 2nx + I, ou au moins il doit diviser une formule plus simple a^oméga + I, dans laquelle oméga est le quotient de n divisé par un nombre impair,223
  - Tout nombre premier p qui divise la formule aⁿ - I doit être compris dans la forme nx + I, ou au moins doit diviser la formule a^oméga - I, dans laquelle omega est sous-multiple de n,227
  - Applications diverses où l'on détermine des nombres premiers très-grands,228
  - § VI. Théorème contenant une loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques, 230
  - Si les nombres premiers m et n ne sont pas tous deux de la forme 4x + 3, on aura généralement (...) = (...), et s'ils sont tous deux de cette forme, on aura (...) = - (...),ibid
  - Théorèmes divers, dont plusieurs dépendent de la loi précédente,238
  - Démonstration de deux conclusions générales auxquelles Euler est parvenu par voie d'induction, dans ses Opuscula Analytica, tom. I,241
  - § VII. Usage du théorème précédent pour connaître si un nombre premier c divise la formule x² + a, 244
  - Algorithme très-simple pour cet objet,ibid
  - Développement d'un grand nombre de cas où l'on peut déterminer a priori la valeur de x,247
  - § VIII. De la manière de déterminer x pour que x² + a soit divisible par un nombre composé quelconque N, 251
  - Solution du problème général,252
  - Du cas particulier où N a pour facteur 2^m,253
  - Détermination du nombre des solutions,254
  - § IX. Résolution des équations symboliques (...) = I, (...) = - I, 257
  - § X. Recherche des formes linéaires qui conviennent aux diviseurs de la formule t² + cu², 261
  - Théorèmes par lesquels on détermine les formes linéaires des diviseurs de la formule t² + cu², c étant premier ou double d'un premier,ibid
  - On détermine a priori les formes linéaires de ces mêmes diviseurs, lorsque c est le produit de deux ou de plusieurs nombres premiers,268
  - En général les diviseurs d'une même formule t² ± cu² se partagent en un nombre déterminé de groupes, composés chacun d'un même nombre de formes linéaires 2cx + a, ou 4cx + a,269
  - Méthode abrégée pour trouver, par le moyen des diviseurs quadratiques, toutes les formes linéaires des diviseurs,272
  - § XI. Explication des tables III, IV, V, VI et VII, 286
  - Ces tables présentent, pour chaque formule t² + cu² comprise dans leurs limites, le système de ses diviseurs quadratiques et des diviseurs linéaires correspondants
  - § XII. Suite de théorèmes contenus dans les tables précitées, 299
  - On démontre en général que si 4cx + a est l'une des formes linéaires qui conviennent aux diviseurs de la formule t² (...) cu², tout nombre premier compris dans la forme 4cx + a, sera diviseur de la formule t² + cu², et par conséquent sera de l'une des formes quadratiques qui répondent à la forme 4cx + a. On tire de là autant de théorèmes particuliers qu'il y a de formes linéaires dans les tables,305
  - § XIII. Autres théorèmes concernant les formes quadratiques des nombres, 308
  - Tout nombre premier A qui divise la formule t² (...) cu², ne peut appartenir qu'à l'un des diviseurs quadratiques de cette formule,ibid
  - Tout nombre premier A qui est de la forme y² + az², ne peut être qu'une fois de cette forme,310
  - On détermine le nombre de manières dont un même nombre composé A peut être de la forme y² + az², d'où l'on déduit la solution d'un problème de Fermat,314
  - Tout nombre A, premier ou double d'un premier, compris dans la formule py² + 2qyz + rz², où pr - q² est un nombre positif, n'y peut être compris que d'une manière, sauf le cas des diviseurs bifides,318
  - § XIV. Sur les moyens de trouver un nombre premier plus grand qu'un nombre donné, 326
  - Tableau de diverses formules propres à exprimer des nombres premiers, si une condition est remplie,329
  - Explication de la propriété qu'ont certaines formules de contenir une suite assez étendue de nombres premiers,332
  - § XV. Usage des théorèmes précédents pour reconnaître si un nombre donné est premier, ou s'il ne l'est pas, 334
  - On ajoute aux autres moyens déjà indiqués le développement en fraction continue de la racine du nombre donné, ou d'un de ses multiples,336
  - Troisième partie
    Théorie des nombres considérés comme décomposables en trois carrés
  - § I. Définition de la forme trinaire. Nombres et diviseurs quadratiques auxquels cette forme peut ou ne peut pas convenir, 342
  - § II. Correspondance entre les formes trinaires du nombre c et les diviseurs trinaires de la formule t² + cu², 346
  - Si un diviseur quadratique de la formule t² + cu² est décomposable en trois carrés, toute manière de faire cette décomposition, c'est-à-dire toute forme trinaire de ce diviseur, donnera une valeur trinaire correspondante de c,ibid
  - Réciproquement, étant donnée une forme trinaire du nombre c, on pourra toujours trouver un diviseur quadratique trinaire de la formule t² + cu², correspondante à la valeur donnée,349
  - On démontre généralement I⁰ qu'il ne peut y avoir qu'un diviseur quadratique qui répondra à la valeur trinaire donnée de c ; 2^° que ce diviseur ne pourra avoir qu'une seule forme trinaire correspondante à cette même valeur, sauf le cas des diviseurs bifides où il y en a deux,357
  - § III. Théorèmes concernant les diviseurs quadratiques trinaires, 358
  - Du tome Ixxiij
  - Si le nombre c est premier ou double d'un premier, la formule t² + cu² aura autant de diviseurs quadratiques trinaires qu'il y a de formes trinaires du nombre c, et chacun de ces diviseurs ne pourra avoir qu'une seule forme trinaire,361
  - Si le nombre N est compris dans un diviseur trinaire de la formule t² + cu², réciproquement le nombre c sera compris dans un diviseur trinaire de la formule t² + Nu². De plus les valeurs trinaires correspondantes de N et c seront les mêmes dans les deux cas,362
  - Caractères qui distinguent les diviseurs quadratiques réciproques, des diviseurs non-réciproques371
  - Les diviseurs quadratiques de la formule t² + cu² se distinguent encore en diviseurs de première et diviseurs de deuxième espèce,374
  - Si le nombre c est premier ou double d'un premier, tout diviseur quadratique de première espèce est un diviseur réciproque,ibid.
  - Quel que soit c, pourvu qu'il ne soit ni de la forme 4n, ni de la forme 8n + 7, les diviseurs quadratiques de la formule t² + cu² en contiendront toujours au moins un qui sera réciproque,375
  - Tout diviseur quadratique réciproque de la formule t² + cu² est un diviseur trinaire, et ce diviseur a autant de formes trinaires qu'il y a d'unités dans 2^i-1, i étant le nombre des facteurs premiers, impairs et inégaux qui divisent c,377
  - Corollaires généraux qui offrent toutes les propriétés de la table VIII, continuée indéfiniment,392
  - Tout nombre impair, excepté seulement ceux de la forme 8n + 7, est la somme de trois carrés,ibid.
  - Tout nombre entier est la somme de trois triangulaires,393
  - Tout nombre double d'un impair est la somme de trois carrés,ibid.
  - Tout nombre entier, ou au moins son double, est la somme de trois carrés,394
  - On peut trouver un nombre qui ait tant de formes trinaires qu'on voudra,395
  - Tables
  - Table 1. Expressions les plus simples des formules Ly² + 2Myz + Nz², pour toutes les valeurs du nombre non-carré A = M² - LN, depuis A = 2 jusqu'a A = 1361
  - Table II. Expressions les plus simples des formules Ly² + Myz + Nz², pour toutes les valeurs de B = M² - 4LN, où M est impair, depuis B = 5 jusqu'à B = 3054
  - Quatrième partie
    Méthodes et recherches diverses
  - § I. Théorèmes sur les puissances des nombres, 1
  - L'aire d'un triangle rectangle en nombres entiers ne saurait être égale a un carré,2
  - La somme de deux bicarrés ne peut être égale à un carré,5
  - La formule x⁴ + 2y⁴ ne peut être égale à un carré,6
  - Aucun nombre triangulaire, excepté l'unité, n'est égal à un bicarré,7
  - La somme ou la différence de deux cubes ne peut être égale à un cube,ibid.
  - L'équation x³ + y³ = 2^mz³ est impossible pour toute valeur de m,9
  - Aucun nombre triangulaire, excepté 1, n'est égal à un cube,11
  - L'équation x² + 2 = y³ n'est susceptible que de la solution x = 5, y = 3,12
  - L'équation x² + 4 = y³ n'est susceptible que des deux solutions x = 2, y = 2, x = 11, y = 5,ibid.
  - § II. Théorèmes concernant la résolution en nombres entiers de l'équation xⁿ - b = ay, 13
  - Condition de possibilité et réduction de l'équation lorsque a est un nombre premier,ibid.
  - Résolution de l'équation xⁿ - 1 = ay lorsque a est un nombre premier et n un diviseur de a - 1,15
  - Résolution de l'équation x²ⁿ + 1 = ay dans les mêmes cas,18
  - Résolution de l'équation xⁿ + b = ay dans les mêmes cas,ibid
  - Résolution générale de la même équation,20
  - § III. Résolution de l'équation x² + a = 2^my, 23
  - § IV. Méthode pour trouver le diviseur quadratique qui renferme le produit de plusieurs diviseurs quadratiques donnés, 27
  - Formule pour avoir le produit de deux diviseurs quadratiques donnés,28
  - Formule pour avoir le produit de deux diviseurs quadratiques semblables,31
  - Diverses formes dont est susceptible le produit de plusieurs diviseurs quadratiques donnés,34
  - Formule pour avoir la puissance n d'un diviseur quadratique donné,35
  - Si l'on considère l'ensemble des diviseurs quadratiques d'une même formule t² + au², on peut déterminer toutes les formes dont sont susceptibles les produits deux à deux, trois à trois, etc. de ces diviseurs, semblables ou dissemblables,39
  - § V. Résolution en nombres entiers de l'équation Ly² + Myz + Nz² = b II, II étant le produit de plusieurs indéterminées ou de leurs puissances, 43
  - Après avoir dégagé le second membre du facteur constant b, on fait voir comment la résolution de cette équation se déduit des développements donnés dans le § précédent,ibid.
  - Exemples divers,44-48
  - § VI. Démonstration d'une propriété relative aux diviseurs quadratiques de la formule t² + au², a étant un nombre premier 8n + 1, 50
  - Après quelques propositions subsidiaires, on prouve que l'équation... U² = PY² + 2QYZ + RZ², dans laquelle PR - Q² = a, n'est susceptible que de deux solutions, lesquelles se réduisent à une seule lorsque l'équation proposée est de la forme U² = 2y² + 2yz + 1/2 (a + 1) z²,54
  - De là on conclut que le nombre des diviseurs quadratiques 4n + 1 de la formule t² + au², surpasse toujours d'une unité le nombre des diviseurs quadratiques 4n + 3 de la même formule,56
  - § VII. Démonstration du théorème contenant la loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques, 57
  - § VIII. D'une loi très-remarquable observée dans l'énumération des nombres premiers, 65
  - Comparaison de la formule avec les tables,ibid.
  - Valeur moyenne et probable de la différence entre deux nombres premiers consécutifs,66
  - Sommation de quelques suites qui dépendent de la loi des nombres premiers,67
  - Essai sur la démonstration de la formule trouvée par induction,69
  - § IX. Démonstration de divers théorèmes sur les progressions arithmétiques, 71
  - Si on désigne par pi le terme de rang k - I dans la suite des nombres premiers 3, 5, 7, II, etc., je dis que sur pi termes consécutifs d'une progression arithmétique quelconque, il y en aura toujours au moins un qui ne sera divisible par aucun terme pris dans une suite de k nombres premiers quelconques,76
  - Il en résulte que toute progression arithmétique dont le premier terme et la raison sont premiers entre eux, contient une infinité de nombres premiers,77
  - § X, où l'on prouve que tout diviseur quadratique de la formule t² + Nu², contient au moins un nombre premier à N et plus petit que N, 80
  - § XI. Méthodes pour trouver combien, dans une progression arithmétique quelconque, il y a de termes qui ne sont divisibles par aucun des nombres premiers compris dans une suite donnée, 86
  - Formule générale qui satisfait dans tous les cas,88
  - Algorithme pour simplifier le calcul de la formule générale,92
  - Formules pour la comparaison des diverses progressions,94
  - Une progression quelconque et la simple progression des nombres impairs peuvent être disposées terme à terme, de manière que les termes correspondants soient tous deux premiers ou tous deux non-premiers à un même produit oméga,97
  - On peut déterminer combien il y a de nombres premiers dans une progression arithmétique prolongée jusqu'au n^me terme,101
  - On peut déterminer pareillement combien un diviseur quadratique donné de la formule t² + au² contient de nombres premiers moindres qu'une limite donnée N,102
  - § XII. Méthodes pour compléter la résolution en nombres entiers des équations indéterminées du second degré, 105
  - On ramène généralement l'équation ay² + byz + cz² + dy + fz + g = 0 à la forme ay² + by'z' + cz'² = H ; on donne ensuite une méthode générale et exempte de tâtonnement pour déduire des valeurs de y' et z' celles de y et z en nombres entiers,107
  - Le succès de la méthode précédente étant fondé sur ce que les fractions à faire disparaître ont pour dénominateur b² - 4ae, on se propose plus généralement de déterminer l'exposant n tel qu'en faisant (phi + psi(...) A)ⁿ = F + G (...) A, la quantité lambda F + µ G + nu soit divisible par un nombre premier quelconque oméga,108
  - On détermine ensuite directement la valeur du même exposant telle que lambda F + µG + nu soit divisible par une puissance donnée de oméga,110
  - § XIII. De l'équation x³ + ay³ = bz³, 113
  - Une solution connue de cette équation en fait connaître une seconde, celle-ci une troisième et ainsi à l'infini ; chaque solution est composée en général d'un nombre de chiffres quatre fois plus grand que celui de la solution précédente,ibid.
  - Par une analyse inverse on peut, à partir d'une solution donnée dans l'ordre ascendant, calculer les solutions inférieures dans l'ordre descendant,116
  - Ce problème donne lieu de remarquer qu'il y a des équations du 3^e degré qui se résolvent par une formule différente de celle de Cardan et notablement plus simple. On donne le type général de ces équations,118
  - Théorème sur les équations du troisième degré dont les trois racines sont rationnelles,120
  - § XIV. Méthode pour la résolution de l'équation y² = a + bx + cx² + dx³ + cx⁴en nombres rationnels, 123
  - Si l'équation proposée est telle que a ou e soit un carré parfait, on donne le moyen d'avoir successivement d'autres solutions,ibid.
  - Application à deux problèmes particuliers,125-126
  - § XV. Développement du produit (i - x) (i - x²) (i - x³), etc. continué à l'infini, 128
  - On trouve que ce produit est i - x - x⁴ + x⁵ + x⁷ - x¹² - x¹⁵ + etc., c'est-à-dire qu'il ne contient de puissances de x que celles dont les exposants sont de la forme (...),132
  - Conséquences qui en résultent pour la partition des nombres, ibid.
  - § XVI. Des fonctions semblables qui étant multipliées entre elles donnent des produits semblables, 134
  - Formules pour les fonctions homogènes de deux dimensions et à deux variables,135-136
  - Formules pour les fonctions homogènes de trois dimensions et à trois variables,137-138
  - Ces formules fournissent le moyen de résoudre généralement l'équation indéterminée X³ + aX²Y + bXY² + cY³ = V³,139
  - On peut étendre la même théorie à des fonctions homogènes de tous les degrés,141
  - § XVII. De quelques questions qui se rapportent, plus ou moins directement, à l'analyse indéterminée, 142
  - On donne pour exemples deux problèmes difficiles dont la solution est due à Euler,144
  - Méthodes pour déterminer les nombres qui sont une partie aliquote de la somme de leurs diviseurs, problèmes dont les géomètres se sont occupes du temps de Fermat et de Descartes,145-150
  - § XVIII. D'un autre problème remarquable par l'espèce d'analyse employée pour sa solution, 151
  - Cinquième partie
    Usage de l'analyse indéterminée dans la résolution de l'équation xⁿ - i = 0, n étant un nombre premier,166
  - § I. Contenant les bases de cette nouvelle théorie, ibid.
  - Théorèmes préliminaires,168-169
  - Si l'on fait xⁿ - i = (x - i) X, le polynome X, dans lequel n est toujours supposé un nombre premier, ne peut se décomposer en deux facteurs rationnels,170
  - Proposition très-générale dans laquelle consiste la théorie qu'on se propose de développer, d'après M. Gauss,172
  - Relation qui existe entre les racines de l'équation X = 0, et celles de l'équation indéterminée z^n - i - i = (...) (n) : toute valeur z = g qui satisfait à cette dernière, et qu'on appelle racine primitive de n, est telle que toutes les racines de l'équation X = 0 peuvent être exprimées par les puissances successives r, r^g, r^g2, r^g3 ...r^gn - 2, ou, suivant une notation abrégée, par (i), (g), (g²), (g³)... (g^{n - 2}),174-175
  - Formation des périodes dans lesquelles se décompose la période (n - i, i) comprenant toutes les racines de l'équation X = 0,176
  - Théorème fondamental par lequel on trouve généralement le produit de deux périodes semblables ou d'un même nombre de termes,180
  - Manière de former l'équation du degré k qui a pour racines les k périodes de m termes désignées par (m, 1), (m, g), (m, g²)...(m, g^k-2). Cette équation est toujours de la forme p^k + p^k-1 + alpha p^k-2 + 6 p^k-3 + etc. = 0,180-184
  - Au moyen des racines de cette équation, le polynome X peut être partagé en k facteurs du degré m ; de sorte que l'équation X = 0 du degré n-1 = mk, sera décomposée en un nombre k d'équations du degré m,186
  - Chaque période de m termes représentée par (m, alpha) peut se diviser en k' période de m' termes, ce qui suppose m = k' m' ; et l'équation du degré k' qui a pour racines ces périodes partielles, savoir : (m', alpha), (m', alpha h), (m', alpha h²)....(m', alpha h^k'-1), aura tous ses coefficients exprimés par les racines déjà connues de l'équation du degré k,189
  - § II. Formation générale de l'équation du degré k pour les valeurs k = 2, 3, 4, 5, 191
  - Lorsque k = 2, les deux valeurs de p sont (...) si n est de la forme 4 i + 3 ; elles sont (...) si n est de la forme 4 i + 1,192
  - Il s'ensuit qu'en général la fonction 4 X est toujours de la forme Y² + n Z² si n = 4 i + 3, et de la forme Y² - n Z² si n = 4 i + 1,193
  - Diverses manières de trouver a priori les fonctions Y et Z,194
  - Lorsque k = 3, et n = 3 m + 1, les trois périodes (m : 1), (m : g), (m : g²) sont les racines d'une équation du 3^e degré déterminable par la seule valeur du nombre premier n, en mettant 4 n sous la forme a² + 27 b². Cette équation jouit en général de la propriété que d'une racine p on déduit une autre racine p' par la formule très-simple p' = (...), et de celle-ci la troisième,198
  - Le cas de k = 4 ou n = 4 m + 1, se divise en deux autres selon que m est pair ou impair. Si m = 2 µ, on peut former généralement l'équation du 4^e degré dont les racines réelles sont les quatre périodes (m : 1), (m : g), (m : g²), (m : g³). Cette équation jouira encore de la propriété qu'une racine donnée p sert à déterminer très-simplement les trois autres,205
  - Enfin le cas de k = 5, ou n = 5 m + 1, n'est pas susceptible d'une solution si simple ; cependant l'analyse fournit diverses équations de condition au moyen desquelles on peut obtenir l'équation du 5^e degré dont les racines sont les périodes (m : 1), (m : g), (m : g²), (m : g³), (m : g⁴),205-213
  - § III. Application de la théorie à des exemples numériques, 214
  - Du tome II.xj
  - Ces exemples se rapportent aux valeurs n = 7, 11, 13, 17, 41 ; dans ce dernier exemple on fait voir comment la fonction X peut se partager en facteurs de divers degrés,214-236
  - § IV. Méthode de réduction pour compléter la théorie précédente, 237
  - De l'équation auxiliaire du cinquième degré qu'il faut résoudre lorsque n = 5 m + 1,240
  - On donne la méthode générale pour résoudre cette équation, c'est-à-dire pour obtenir les valeurs explicites de ses cinq racines, et on en fait l'application au cas de n = 41,240-254
  - L'application de la même méthode au cas de n = 11 conduirait au même résultat qu'a donné Vandermonde, premier auteur de cette théorie, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences, an. 1771,255
  - De l'équation auxiliaire du septième degré qui a pour racines les périodes de m termes, en supposant n = 7 m + 1,ibid.
  - Ce second développement de la méthode générale est suivi d'un troisième relatif à la résolution de l'équation qui a lieu lorsque n = 3 m + 1,256-267
  - § V. Méthode pour parvenir à la résolution générale de l'équation X = 0, 269
  - Au lieu de résoudre successivement les différentes équations auxiliaires dont les degrés multipliés entre eux produisent (...), il est beaucoup plus simple de résoudre directement l'équation en p du degré (...) qui tient lieu de l'équation X = 0 et dont la formule générale est donnée sous la lettre (A),ibid.
  - L'analyse nécessaire pour résoudre cette équation, c'est-à-dire pour en déterminer explicitement toutes les racines, est développée dans plusieurs exemples qui réunissent à peu près toutes les difficultés qu'on peut rencontrer dans d'autres applications. Cette théorie donne lieu d'établir plusieurs suites de théorèmes très-remarquables relatifs aux fonctions T et A,
  - Les nombres n pris successivement pour exemples sont 31, 13, 41, 17, Dans tous ces cas on parvient à exprimer dans une même formule, et sans aucune ambiguité, toutes les racines de l'équation en p, lesquelles sont en général représentées par 2 cos. (...),269-330
  - Sixième partie.
  - Démonstration de divers théorèmes d'analyse indéterminée.
  - § I, Où l'on se propose de décomposer un nombre donné a en quatre carrés, de manière que la somme de leurs racines, prises positivement, soit égale à un nombre donné b, 331
  - Premier cas, où l'un des quatre nombres s, t, u, v serait zéro ; conditions pour la possibilité de la solution,332
  - Second cas, où aucun de ces nombres n'est zéro ; alors il faut que 4 a - b² soit la somme de trois carrés, et qu'ainsi 4 a - b² ne soit pas de la forme 4^k (8n + 7),334
  - La solution sera toujours possible avec cette condition, mais pour qu'elle soit donnée en nombres positifs, il faut encore que b soit compris entre les limites (...) 4 a et (...) (3 a - 2) - 1. Et cependant il y a des cas où l'on obtiendra encore des solutions en nombres positifs, quoique b soit au-dessous de la limite (...) (3 a - 2) + 1,336
  - Cette première analyse donne une nouvelle extension aux deux premiers cas du théorème sur les nombres polygones,339
  - § II. Démonstration du théorème de Fermat sur les nombres polygones et de quelques autres théorèmes analogues, 340
  - Après quelques propositions préliminaires on prouve 1° que tout nombre entier plus grand que 50 m + 21 est la somme de m + 2 polygones de l'ordre m + 2, dont m - 2 seront égaux à zéro ou à l'unité, 2° qu'il en est de même de tout nombre entier plus petit que 50 m - 21,340-349
  - Ces deux propositions comprennent la proposition générale de Fermat, mais avec une modification qui lui donne plus de précision et d'élégance, puisque sur les m + 2 polygones indiqués par Fermat il y en a toujours m - 2 qu'on peut supposer égaux à zéro ou à l'unité.
  - On peut prouver de plus, que, passé une certaine limite, facile à assigner pour chaque ordre de polygones, tout nombre donné peut être décomposé en quatre polygones ou cinq au plus,350-354
  - Exemple sur le nombre 6484 qui peut être décomposé en quatre octogones,356
  - § III. De l'équation x³ + y³ + z³ = 0, 367
  - L'impossibilité de cette équation résulte des trois propositions suivantes :
  - Du Tome II.xiij
  - 1° Si cette équation est possible, l'un des nombres x, y, z sera divisible par 3.
  - 2° L'indéterminée, qui doit être paire, sera en même temps divisible par 3.
  - 3° Si l'une des indéterminées est divisible à la fois par 2^m et par 3ⁿ, l'équation à laquelle elle appartient pourra être changée en une autre où l'indéterminée analogue ne sera divisible que par 3^n-1. On parviendrait donc de transformation en transformation à une équation où aucune indéterminée ne serait divisible par 3, ce qui est impossible par la première proposition.
  - § IV. De l'équation x⁵ + y⁵ + z⁵ = 0, 361
  - Si l'équation proposée était résoluble, on pourrait déduire de cette équation une suite infinie d'autres équations, également résolubles, qui supposeraient que les nombres x, y, z sont composés d'une infinité de facteurs ; la solution supposée ne pourrait donc être donnée qu'en nombres d'une grandeur infinie.
  - § V. Théorèmes d'analyse suivis de formules nouvelles pour les sections angulaires, 369
  - En partant du théorème de l'art. 510, on prouve 1° que n étant un nombre premier 4m + I, si l'on fait (...), les polynomes P et Q pourront se mettre sous la forme X² - nY²,370
  - 2° Que n étant un nombre premier 4m + 3, si l'on fait (...), les polynomes P et Q pourront être partagés chacun en deux facteurs rationnels, de sorte qu'on aura P = AB, Q = CD,371
  - Ces théorèmes appliqués à la puissance n de cos. (...) - I sin. (...), donnent le moyen de décomposer généralement en deux facteurs le polynome (...) + etc. égal à (...).
  - Ces facteurs s'exprimeront toujours d'une manière linéaire par les cosinus des multiples pairs de (...) lorsque n sera de la forme 4m + I, et par les sinus des multiples impairs du même angle lorsque n sera de la forme 4m + 3,373-382
  - De là résultent les équations les plus simples qu'on puisse obtenir pour la division de la circonférence en n parties égales.
  - § VI. Nouvelle démonstration de la loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers, 391
  - C'est la plus simple entre toutes les démonstrations connues de cette proposition fondamentale.
  - Appendice.
  - Section I. Méthodes nouvelles pour la résolution approchée des équations numériques,395
  - Limites des racines réelles,ibid.
  - Définition des fonctions omales,397
  - Résolution de l'équation omale (...),398
  - Méthode pour avoir la plus grande racine positive d'une équation proposée,400
  - Manière de trouver les autres racines positives de la même équation,403
  - Seconde méthode pour la résolution des équations numériques,405
  - Recherche de la plus grande racine,410
  - Détermination de la plus petite racine,411
  - De l'intersection d'une droite quelconque avec la courbe omale (...),414
  - Seconde manière de déterminer la plus petite racine,416
  - Connaissant la plus grande ou la plus petite racine, déterminer toutes les autres,417
  - Limites de la quantité réelle qui sert de module aux racines imaginaires,420
  - Forme des équations à résoudre dans le cas des racines imaginaires,422
  - Formules pour corriger les valeurs obtenues par une première approximation,426
  - Connaissant les deux racines imaginaires formant le facteur réel du second degré qui satisfait à l'équation proposée du degré n, on forme l'équation du degré n - 2 qui contient les autres racines,427
  - Remarque pour compléter la résolution de l'équation omale c = (...) (x),429
  - Section II. De quelques équations dont la propriété est telle qu'une racine connue sert à déterminer rationnellement toutes les autres,431
  - On prend pour exemple une loi très-simple qui règne entre deux termes consécutifs de la série des racines,ibid.
  - De là l'expression générale d'une racine quelconque et la condition pour que la suite des racines soit rentrante,434
  - Développement du 3^e degré,435
  - Formule générale de l'équation du 3^e degré dans laquelle une racine connue sert à déterminer les deux autres,437
  - Cette formule contenant trois indéterminées, peut s'appliquer à toute équation proposée du 3^e degré. Il en résulte une démonstration très-simple de la réalité des trois racines dans le cas irréductible,440
  - Du Tome II.XV
  - Développement du 4^e degré ; la méthode ne s'applique qu'à des équations qu'on peut immédiatement décomposer en deux équations du second degré,443
  - Développement du 5^e degré : le résultat mis sous la forme la plus simple, offre une infinité d'équations qui ont leurs cinq racines réelles, quoique leurs coefficients contiennent deux indéterminées réelles prises à volonté,448
  - On donne un exemple numérique dans lequel une racine trouvée par les procédés vulgaires sert à déterminer les quatre autres,449
  - Méthode directe qui conduit à la formule générale contenant l'expression des cinq racines ; application numérique de cette méthode au même exemple,449-460
  - Recherche plus générale sur l'équation du degré n, dont les racines forment une suite rentrante dans laquelle chaque terme est une fonction rationnelle du terme précédent. On fait voir que n étant un nombre premier, la résolution générale de cette équation sera toujours donnée par une formule qui contiendra implicitement toutes les racines,461-463
  - Errata du tome I.
  - lign. 12 jusqu'à P, lisez : jusqu'à p.14
  - lign. 16 il clair, lisez : il est clair.18
  - lign. 6 jusqu'à 139, lisez : jusqu'à 1003.59
  - lign. 6 pr + q², lisez : pr - q².77
  - lign. 10 ± 2(...)A, lisez : ± 2(...)A.121
  - lign. 7 de la fraction, lisez : la fraction.125
  - lign. 6 139, lisez : 1003132
  - lign. 9 c'est ce qui pourrait, lisez : c'est ce qui ne pourrait.181
  - lign. 16 y = rp^x, lisez : y = rp^x-1.199
  - lign. 19 y = rp^x + qX, lisez : y = rp^x-1 + qX.ibid.
  - lign. 12 (4⁴ + 1) D, lisez : (2⁴ + 1) D.228
  - lign. 12 = A un diviseur, lisez : = à un diviseur.278
  - lign. 1 suite des théorèmes, lisez : suite de théorèmes.299
  - lign. 22 des nombres, lisez : de nombres.302
  - lign. 7 (...), lisez : (...).304
  - lign. 3 le cas, lisez : les cas.325
Origine de la notice:
- Electre