Notions de théorie des nombres
Alain Pelât
Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard
Avant-propos
Chapitre 1 : Arithmétique, nombre entier, somme,
différence, produit, quotient entier
1
Nombre entier1
Peano Giuseppe16
Dedekind Richard16
Fermat Pierre de17
Chapitre 2 : La divisibilité
19
Introduction19
Diviseurs communs20
Divisions ayant mêmes diviseurs et mêmes restes21
Reste de la division d'une somme par un nombre22
Reste de la division d'une différence par un nombre22
Reste de la division d'un produit par un nombre23
Puissance d'un nombre24
Caractères usuels de divisibilité25
La division euclidienne33
Plus grand commun diviseur (P. G. C. D.)34
Plus petit commun multiple (P. P. C. M.)40
Léonard de pisé43
Kummer ernst eduard45
Hilbert david45
Chapitre 3 : Les nombres premiers
47
Introduction47
Théorème fondamental de l'arithmétique49
Crible d'eratosthène53
Factorisation des nombres entiers55
Diviseurs56
Multiples communs57
Nombres inférieurs ou égaux au nombre N et
premiers avec ce nombre57
Somme des diviseurs d'un nombre59
Carre et cube59
Nombres de fermat60
Eratosthène62
Euclide62
Pythagore62
Chapitre 4 : Les congruences
63
Introduction63
Classes résiduelles modulo ß65
Puissances cycliques70
La preuve par neuf71
Le petit théorème de fermat72
Théorème de fermat généralise (théorème d'euler)73
Théorème de wilson77
Congruence du premier degré à une inconnue79
Nombre élevé à ses puissances successives79
Théorème du reste chinois89
Al - Khwarizmi91
Chapitre 5 : La réciprocité quadratique
93
Résidus quadratiques93
Le symbole de légendre97
Le critère d'euler98
Le lemme de gauss100
La loi de réciprocité quadratique104
Congruence du deuxième degré à une inconnue110
Gauss carl friedrich112
Euler léonhard112
Chapitre 6 : Systèmes de numération
113
Écriture d'un nombre entier dans une base113
Écrire dans le système décimal un nombre
écrit dans le système à base a114
Écrire dans le système à base a un nombre
écrit dans le système décimal114
Écrire dans le système à base b un nombre
écrit dans le système à base a116
Nombre écrit dans le système décimal
et dans un système de base inconnue117
Numération binaire118
Périodicité d'un développement décimal123
Lagrange Joseph Louis126
Legendre Adrien Marie127
Ramanujan Srinivasa128
Chapitre 7 : Notions de cryptographie
129
Généralités129
Cryptographie à clé secrète129
Cryptographie à clé publique130
Mersenne marin136
Chapitre 8 : Les fractions continues
137
Fractions continues finies137
Fractions continues infinies145
Décomposition de F1 (p) en fractions continues150
Division continue par puissances décroissantes de p151
Division continue par puissances croissantes de p155
Représentation d'un nombre irrationnel
par une fraction continue infinie156
Approximation de nombres irrationnels159
La vallée - poussin charles jean de162
Chapitre 9 : Les équations diophantiennes
163
Généralités163
La congruence a x (...) b (mod ß)163
Le premier degré165
Le second degré167
Problème de waring171
Poincare jules henri177
Bombieri enrico178
Delsarte jean178
Dirac paul adrien maurice178
Chapitre 10 : La méthode de descente infinie
179
Introduction179
L'équation diophantienne x4 + y4 = z2180
L'équation de pell y2 - Psi x2 = 1181
Diophante d'alexandrie183
Chapitre 11 : Les développements egyptiens
185
Introduction185
Nombre rationnel compris entre zéro et un186
Nombre rationnel supérieur à un189
Développement egyptien fini189
Approximations192
Evariste galois194
Chapitre 12 : Les tiroirs de dirichlet
195
Principe des tiroirs195
Utilisation du principe des tiroirs195
Turing alan197
Chapitre 13 : Distinctions entre les nombres
199
Nombres entiers naturels199
Nombres entiers relatifs199
Nombres rationnels200
Nombres réels201
Nombres complexes202
Nombres premiers203
Nombres composes204
Nombres irrationnels204
Nombres algébriques205
Nombres transcendants205
Nombres parfaits206
Nombres presque parfaits207
Nombres quasi parfaits207
Nombres dont les sommes des diviseurs
propres sont des multiples207
Nombres déficients208
Nombres abondants208
Nombres amiables208
Nombres semi - parfaits209
Nombres étranges ou tordus209
Nombres de mersenne209
Nombres p - adiques210
Nombres de fermat210
Théorèmes relatifs aux nombres irrationnels,
algébriques et transcendants211
Boole George216
Chapitre 14 : Les partitions
217
Généralités217
Représentations graphiques220
Fonction partition222
Fonctions génératrices222
Riemann Georg Friedrich Bernhard228
Chapitre 15 : La distribution des nombres premiers
229
Généralités229
La fonction zêta de riemann238
Théorème des nombres premiers245
Inégalités de tchebycheff248
Péter Gustav Lejeune - Dirichlet257
Tchebychev Pafnouti Lvovitch257
Chapitre 16 : Les fonctions arithmétiques
259
Généralités259
Fonction d'euler259
Fonctions multiplicatives260
Descartes rené262
Chapitre 17 : Les séries de dirichlet
263
Généralités263
Produit de Dirichlet267
Cauchy Augustin Louis270
Gödel Kurt270
Cantor Georg270
Laplace Pierre Simon de270
Fourier Jean Baptiste Joseph270
Appendice
271
La musique et les nombres271
Bibliographie
277