Analyse variationnelle et optimisation : éléments de cours, exercices et problèmes corrigés

Auteur(s) :

Azé, Dominique Découvrir l'auteur

Résumé

Le manuel contient des éléments de cours et une collection d'exercices et problèmes corrigés.

Autre(s) auteur(s)
- Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste (1949-....)
Éditeur(s)
- Cépaduès éd.
Date
- impr. 2010
Notes
- La couv. porte en plus : "Licence 3, Master 1"
- Bibliogr. p. 331-332
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (332 p.) : ill. ; 24 cm
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-85428-903-9
Indice
- 518 Calcul et analyse numériques
Quatrième de couverture
- Ce livre s'adresse aux étudiants (et à leurs enseignants) de niveaux L3 et (principalement) M1 de mathématiques. Comme l'indique le titre de l'ouvrage, celui-ci comporte des éléments de Cours et une collection d'exercices et problèmes corrigés. Par « éléments de Cours » nous entendons un corpus introductif à l'Analyse variationnelle et l'Optimisation, qui, suivant les cursus, demande à être complété. L'approche est très progressive, dans un contexte de dimension finie tout d'abord, puis le cadre hilbertien et plus général encore, en soulignant les idées, techniques et résultats de base essentiels. Si le cadre convexe joue un grand rôle, c'est qu'il est à la fois formateur et explicatif, y compris à l'égard de problèmes qui, eux, n'ont rien de convexe. Pour les problèmes d'optimisation non convexes, l'accent est porté sur les points prépondérants que sont : les conditions d'optimalité, la dualisation de Lagrange, les techniques modernes comme celles issues du principe variationnel d'Ekeland.
  Les exercices et problèmes corrigés (plus d'une centaine) constituent le coeur de l'ouvrage. Chaque exercice est doté d'une, deux ou trois étoiles : ceux avec une étoile peuvent être immédiatement abordés, dès le L3 ; ceux avec deux étoiles sont « normaux » au niveau M1 ; ceux avec trois étoiles sont plus difficiles ou débordent du niveau ciblé, disons qu'ils pourraient déjà relever du M2.
Tables des matières
- - Analyse variationnelle et optimisation
  - Éléments de cours, exercices et problèmes corrigés
  - D. Azé, J.-B. Hiriart-Urruty
  - Cépaduès
  - Avant-Propos9
  - Abréviations et Notations11
  - Partie I Éléments de Cours
  - 1 Rappels et compléments d'analyse17
  - 1.1 Principe variationnel d'Ekeland17
  - 1.2 Différentiabilité19
  - 1.3 Fonctions convexes21
  - 2 Introduction à la problématique de l'optimisation25
  - 2.1 Le problème de l'optimisation avec contrainte25
  - 2.1.1 Existence d'une ou plusieurs solutions26
  - 2.1.2 Conditions nécessaires et conditions suffisantes d'optimalité29
  - 2.1.3 Résolution numérique29
  - 2.2 Théorèmes de séparation et de dualité30
  - 2.2.1 Notations30
  - 2.2.2 Théorèmes de séparation32
  - 2.2.3 Un théorème général de dualité37
  - 2.2.4 Polyèdres dans (...)ⁿ38
  - 3 Introduction à la programmation linéaire45
  - 3.1 Le problème de la programmation linéaire45
  - 3.2 Dualité en programmation linéaire49
  - 3.2.1 Le théorème de dualité et quelques conséquences49
  - 3.2.2 Quelques cas particuliers54
  - 3.2.3 Application : systèmes d'inéquations linéaires56
  - 3.3 Perturbation des données58
  - 4 Conditions d'optimalité63
  - 4.1 Conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre63
  - 4.1.1 Cas de contraintes d'égalité63
  - 4.1.2 Cas de contraintes d'inégalité66
  - 4.1.3 Cas de contraintes d'inégalité et d'égalité70
  - 4.2 Conditions du second ordre77
  - 4.3 Dualisation de Lagrange81
  - 5 Introduction aux espaces de Hilbert83
  - 5.1 Définitions basiques83
  - 5.2 Le théorème de projection86
  - 5.3 Bases hilbertiennes90
  - 6 Introduction à la formulation variationnelle de problèmes aux limites95
  - 6.1 Introduction95
  - 6.2 Un premier exemple type95
  - 6.3 Un deuxième exemple type99
  - 6.4 D'autres exemples99
  - 6.5 Introduction à la méthode des éléments finis99
  - Partie II Exercices et problèmes corrigés
  - 7 Exercices en dimension finie105
  - N° 1 Intérieur relatif d'un convexe105
  - N° 2 Résultats de séparation106
  - N° 3 Cône polaire108
  - N° 4 Fermeture de l'enveloppe positive I109
  - N° 5 Fermeture de l'enveloppe positive II110
  - N° 6 Lemme de Farkas111
  - N° 7 Caractérisation de la non vacuité d'un polyèdre112
  - N° 8 Lemme de Gordan113
  - N° 9 Cône normal à un polyèdre convexe114
  - N° 10 Distance à un demi-espace115
  - N° 11 Existence de points extrémaux d'un convexe116
  - N° 12 Quelques propriétés des polyèdres117
  - N° 13 Intérieur d'un cône polyédral119
  - N° 14 Dualité en programmation linéaire119
  - N° 15 Fonction d'appui d'un convexe120
  - N° 16 Caractère borné de l'ensemble des solutions primales en programmation linéaire121
  - N° 17 Caractère borné de l'ensemble des solutions duales en programmation linéaire122
  - N° 18 Persistence de l'ensemble des solutions primales en programmation linéaire124
  - N° 19 Théorème de Carathéodory125
  - N° 20 Théorème de Minkowski126
  - N° 21 Directions extrémales d'un cône convexe127
  - N° 22 Points extrémaux d'un polyèdre128
  - N° 23 Théorème de Weyl I130
  - N° 24 Théorème de Weyl II131
  - N° 25 Analyse variationnelle de formes quadratiques convexes132
  - N° 26 Généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz144
  - N° 27 Caractérisation de la positivité d'une fonction quadratique146
  - N° 28 Minimisation du quotient de deux fonctions quadratiques147
  - N° 29 Minimisation d'une fonction bi-quadratique148
  - N° 30 L'inégalité de Kantorovitch en bref150
  - N° 31 Test de positivité du complément de Schur via l'Optimisation152
  - N° 32 Le théorème de D'Alembert-Gauss par l'Optimisation154
  - N° 33 Un problème de régression en Statistique157
  - N° 34 Minimisation d'une énergie électrostatique158
  - N° 35 Minimisation d'une somme d'angles en 3D161
  - N° 36 Minimisation d'une énergie à volume fixé163
  - N° 37 Maximisation d'un volume sous une contrainte de ficelage165
  - N° 38 Maximisation de l'aire d'un triangle de périmètre donné167
  - N° 39 Maximisation de l'aire d'un quadrilatère de périmètre donné170
  - N° 40 Minimisation des aires des parties latérales d'un tétraèdre173
  - N° 41 Le théorème de Pythagore en 3D. Minimisation de l'aire d'une plaque posée sur les trois axes de coordonnées176
  - N° 42 Maximisation du volume d'un container dans une coque ellipsoïdale181
  - N° 43 Minimisation d'une énergie dans un problème de type Coulomb184
  - N° 44 Analyse variationnelle de la factorisation polaire d'une matrice186
  - N° 45 Un problème d'approximation matricielle188
  - N° 46 Maximisation d'une fonction produit sur la sphère-unité190
  - N° 47 Minimisation d'une fonction de type produit sur le simplexe-unité. Une application géométrique dans le plan191
  - N° 48 Minimisation d'une fonction quadratique sur le simplexe-unité195
  - N° 49 La projection sur le simplexe-unité197
  - N° 50 Minimisation d'une fonction du type entropie sur le simplexe-unité202
  - N° 51 Minimisation partielle d'une fonction quadratique. Application à l'inégalité de Bergström204
  - N° 52 Position d'équilibre d'un fil élastique suspendu207
  - N° 53 Interprétation des conditions nécessaires d'optimalité à l'aide de la décomposition de Moreau214
  - N° 54 Etude de cas : un exemple de modélisation : le choix du meilleur investissement financier216
  - N° 55 Etude de cas : un exemple de modélisation : un problème d'optimisation linéaire avec contraintes en probabilités221
  - N° 56 Convexes du plan d'aire maximale225
  - N° 57 Convexes compacts du plan de largeur constante227
  - N° 58 Enveloppe convexe vs. enveloppe plénière d'un ensemble de matrices230
  - N° 59 Deux convexes compacts voisins (de matrices) comparés par leurs fonctions d'appui232
  - N° 60 Différenciation des points extrémaux d'un convexe compact à l'aide d'une fonction234
  - N° 61 Une involution dans la famille des fonctions convexes de la variable positive réelle235
  - N° 62 Une fonction de valeurs propres237
  - N° 63 Caractérisation par log-convexité de la fonction gamma d'Euler239
  - N° 64 Calcul d'une intégrale liée à la distance à un polyèdre convexe du plan241
  - N° 65 Volume du polaire d'un convexe à l'aide de sa fonction d'appui243
  - N° 66 Minimisation du parcours de visite de trois droites de l'espace245
  - N° 67 Inégalité de Wirtinger. Application à la minoration des périodes pour les solutions d'une équation différentielle vectorielle autonome247
  - N° 68 Convexité du quotient d'une fonction quadratique par une norme250
  - 8 Exercices en dimension infinie253
  - N° 69 Densité des fonctions régulières dans (...)¹253
  - N° 70 Régularisation par convolution254
  - N° 71 Intégration par parties257
  - N° 72 Nullité de la distribution associée à une fonction257
  - N° 73 Espaces de Sobolev à une variable258
  - N° 74 Théorème de Lax-Milgram260
  - N° 75 Théorème de Stampacchia261
  - N° 76 Formulation variationnelle261
  - N° 77 Calcul d'un cône polaire263
  - N° 78 Le problème du brachystochrone265
  - N° 79 Principe variationel d'Ekeland268
  - N° 80 Applications du principe variationel d'Ekeland en théorie du point fixe270
  - N° 81 Non existence de la projection sur un sous-espace vectoriel fermé d'un espace préhilbertien274
  - N° 82 Détermination de la projection sur un sous-espace vectoriel fermé (de codimension 2) d'un espace préhilbertien276
  - N° 83 Un problème de commande optimale traité comme un problème de projection sur un sous-espace affine d'un espace préhilbertien277
  - N° 84 Variations sur les projections sur deux sous-espaces vectoriels fermés279
  - N° 85 Minimisation d'une fonctionnelle intégrale281
  - N° 86 Un problème de localisation de Fermat283
  - N° 87 Convergence faible vs. convergence forte d'une suite dans un espace de Hilbert287
  - N° 88 Obstacles empêchant une suite faiblement convergente de converger (fortement)290
  - N° 89 Inégalité d'Opial292
  - N° 90 Le problème des points les plus éloignés292
  - N° 91 Projection de l'origine sur un demi-espace fermé d'un espace de Hilbert294
  - N° 92 Projection sur un cône convexe fermé d'un espace de Hilbert. Décomposition de Moreau295
  - N° 93 Règles de calcul sur les cônes polaires301
  - N° 94 Dérivée directionnelle de l'opérateur de projection sur un convexe fermé d'un espace de Hilbert301
  - N° 95 L'algorithme de J. Von Neumann des projections alternées sur deux sous-espaces vectoriels fermés d'un espace de Hilbert304
  - N° 96 Trois applications du principe variationnel d'Ekeland308
  - N° 97 Une utilisation du principe variationnel d'Ekeland en analyse convexe311
  - N° 98 La règle de Fermat asymptotique314
  - N° 99 Désaccord entre deux normes dans les conditions d'optimalité du 2^nd ordre315
  - N° 100 Un problème d'approximation en norme minimale317
  - N° 101 Calcul sous-différentiel et de transformées de Legendre-Fenchel de fonctions radiales320
  - N° 102 Formulation abstraite de l'algorithme Rof en traitement d'images324
  - N° 103 Séparation d'une fonction convexe et d'une fonction concave326
  - Sources329
  - Bibliographie331
Origine de la notice:
- BNF