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Livre

Aléatoire : introduction à la théorie et au calcul des probabilités

Résumé

Introduction des notions de base de la théorie des probabilités, avec des exercices corrigés. Des simulations pour illustrer la compréhension sont proposés sur un site Internet.


  • Éditeur(s)
  • Date
    • 2011
  • Notes
    • Bibliogr. Index
  • Langues
    • Français
  • Description matérielle
    • 1 vol. (272 p.) ; 24 x 17 cm
  • Sujet(s)
  • ISBN
    • 978-2-7302-1575-6
  • Indice
    • 519 Probabilités et statistiques mathématiques
  • Quatrième de couverture
    • Mathématiques appliquées

      Ce livre introduit le concept de Probabilité, dont la puissance permet de modéliser d'innombrables situations où le hasard intervient. Il est issu d'un cours donné en première année de l'École Polytechnique et s'adresse à tous les élèves, quelle que soit leur filière d'origine.

      La modélisation probabiliste est fondamentale dans tous les domaines d'applications, qu'ils soient issus des sciences dures ou des sciences humaines, telles la physique, l'informatique et les réseaux de télécommunication, et plus récemment la finance, l'assurance, la biologie et la médecine. Cette liste n'est pas exhaustive mais reflète l'immense champ de développement de cette science mathématique et son emprise sur les grandes évolutions technologiques et sociologiques de notre monde.

      Pour pouvoir modéliser tant de situations de nature très différente où le hasard intervient, un cadre général abstrait est nécessaire, qui ne fut rigoureusement défini qu'en 1933 (le modèle probabiliste de Kolmogorov), nécessitant préalablement le développement de théories d'analyse importantes telles le calcul intégral et la théorie de la mesure.

      C'est ce grand écart entre l'apparente simplicité de certains problèmes probabilistes concrets et l'abstraction que nécessite leur résolution qui peut rendre le monde de l'aléatoire difficile ou inquiétant, mais c'est aussi ce qui en fait un domaine mathématique fascinant et palpitant.

      Le but de ce livre est d'en convaincre le lecteur, par une introduction qui se veut simple et lumineuse, des notions de base de la théorie des probabilités. Il n'exige pas de pré-requis en théorie de la mesure et de l'intégration. Les outils d'analyse nécessaires à une bonne compréhension des objets probabilistes sont donnés au fur et à mesure de leur construction, mettant ainsi en lumière leur nécessité. Le corpus du livre va de la définition d'une probabilité au théorème de la limite centrale, avec de plus un dernier chapitre d'ouverture vers les processus aléatoires. À la fin de chaque chapitre sont donnés des exercices dont les corrections sont développées en fin de livre. Quelques textes d'examens sont également proposés et corrigés.

      Des simulations, proposées dans ce cours de l'École polytechnique, peuvent accompagner la lecture de cet ouvrage et en illustrer la compréhension. Elles se trouvent à l'adresse http://www.cmapx.polytechnique.fr/~benaych/aleatoire_index.html. Nous remercions en cela la participation de leur auteur Florent Benaych-Georges.

      Ce livre introduit les notions de base des probabilités et s'adresse à tous les étudiants souhaitant découvrir ce domaine, avec uniquement les pré-requis mathématiques de classes préparatoires ou de L2.


  • Tables des matières
      • Aléatoire

      • Introduction à la théorie et au calcul des probabilités

      • Sylvie Méléard

      • Les éditions de l'école polytechnique

      • 1 Introduction7
      • 1.1 Remerciements8
      • 1.2 Avant-Propos8
      • 1.3 Phénomènes aléatoires9
      • 1.4 Deux idées majeures et incontournables10
      • 1.4.1 La loi des grands nombres10
      • 1.4.2 Conditionnement et Indépendance11
      • 1.5 Les variables aléatoires11
      • 1.5.1 Loi d'une variable aléatoire11
      • 1.5.2 Simulation de variables aléatoires12
      • 1.6 Historique13
      • 2 Espace de probabilité17
      • 2.1 Le langage des probabilités17
      • 2.1.1 Expériences et événements aléatoires17
      • 2.1.2 Probabilité - Premières propriétés21
      • 2.2 Probabilité sur un espace fini - Calcul combinatoire23
      • 2.2.1 Définition23
      • 2.2.2 Probabilité Uniforme24
      • 2.2.3 Modèles d'urnes25
      • 2.3 Définition générale des Probabilités30
      • 2.3.1 Pourquoi la définition précédente ne suffit-elle pas ?30
      • 2.3.2 Les ensembles dénombrables30
      • 2.3.3 Tribu31
      • 2.3.4 Définition d'une probabilité33
      • 2.3.5 Probabilités sur un espace dénombrable36
      • 2.4 Loi d'une variable aléatoire37
      • 2.5 Conditionnement et indépendance39
      • 2.5.1 Probabilités conditionnelles39
      • 2.5.2 Indépendance42
      • 2.5.3 Le Lemme de Borel-Cantelli46
      • 2.6 Exercices sur le chapitre 247
      • 3 Espace fini ou dénombrable51
      • 3.1 Prérequis : quelques résultats utiles sur les séries51
      • 3.2 Variables aléatoires discrètes53
      • 3.3 Espérance des variables aléatoires discrètes54
      • 3.3.1 Définition54
      • 3.3.2 Propriétés de l'espérance des variables aléatoires discrètes56
      • 3.3.3 Variance et écart-type57
      • 3.3.4 Un résultat fondamental - Moments d'une variable aléatoire58
      • 3.4 Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs entières59
      • 3.5 Variables aléatoires discrètes usuelles61
      • 3.5.1 Variable aléatoire de Bernoulli61
      • 3.5.2 Variable aléatoire binomiale62
      • 3.5.3 Probabilité de succès et variable aléatoire géométrique64
      • 3.5.4 Variable aléatoire de Poisson65
      • 3.6 Lois conditionnelles et indépendance67
      • 3.6.1 Lois conditionnelles67
      • 3.6.2 Espérance conditionnelle69
      • 3.6.3 Variables aléatoires indépendantes71
      • 3.6.4 Somme de variables aléatoires indépendantes74
      • 3.7 Exercices sur le chapitre 375
      • 4 Variables aléatoires réelles et Vecteurs aléatoires81
      • 4.1 Les variables aléatoires réelles81
      • 4.2 Les lois de variables aléatoires réelles83
      • 4.2.1 Fonction de répartition83
      • 4.2.2 Variables aléatoires de loi à densité87
      • 4.2.3 Variable aléatoire uniforme sur [0,1] et générateurs de nombres aléatoires90
      • 4.2.4 Simulation d'une variable aléatoire par inversion de la fonction de répartition91
      • 4.3 Espérance des variables aléatoires réelles92
      • 4.3.1 Définition92
      • 4.4 Variables aléatoires de carré intégrable95
      • 4.4.1 Variance et Covariance95
      • 4.4.2 Approximation linéaire97
      • 4.5 Calcul de l'espérance pour une variable aléatoire à densité98
      • 4.5.1 Un résultat général fondamental98
      • 4.5.2 Calculs d'espérances dans le cas avec densité99
      • 4.6 Exemples fondamentaux de variables à densité100
      • 4.6.1 Variable aléatoire uniforme sur [a, b]100
      • 4.6.2 Variable aléatoire exponentielle101
      • 4.6.3 Variable aléatoire de loi gamma103
      • 4.6.4 Variables aléatoires normales (ou variables gaussiennes)104
      • 4.7 Des inégalités fameuses109
      • 4.7.1 Inégalité de Bienaymé-Chebyshev109
      • 4.7.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz110
      • 4.7.3 Inégalité de Jensen111
      • 4.8 Vecteurs aléatoires111
      • 4.8.1 Vecteurs aléatoires113
      • 4.8.2 Moments d'un vecteur aléatoire114
      • 4.8.3 Densités marginales et conditionnelles115
      • 4.9 Variables aléatoires indépendantes119
      • 4.9.1 Indépendance de deux variables aléatoires119
      • 4.9.2 Suite de variables aléatoires indépendantes120
      • 4.10 Calculs de lois123
      • 4.10.1 Un théorème d'identification123
      • 4.10.2 Recherche de densité123
      • 4.11 Simulation de suites de variables aléatoires indépendantes128
      • 4.11.1 Inversion de la fonction de répartition128
      • 4.11.2 Méthode du rejet129
      • 4.12 Exercices sur le chapitre 4131
      • 5 Convergences et loi des grands nombres137
      • 5.1 Convergences de variables aléatoires138
      • 5.2 La loi des grands nombres143
      • 5.3 Méthode de Monte-Carlo147
      • 5.4 Exercices sur le chapitre 5148
      • 6 Fonctions caractéristiques et convergence en loi153
      • 6.1 La fonction caractéristique153
      • 6.1.1 Définition et premières propriétés153
      • 6.1.2 Exemples155
      • 6.1.3 Propriété fondamentale157
      • 6.1.4 Somme de vecteurs aléatoires indépendants159
      • 6.1.5 Fonction caractéristique et moments160
      • 6.2 Vecteurs gaussiens160
      • 6.3 Convergence en loi164
      • 6.4 Le théorème de la limite centrale169
      • 6.5 Intervalles de confiance172
      • 6.5.1 Sondages172
      • 6.5.2 Précision dans la méthode de Monte-Carlo175
      • 6.6 Exercices sur le chapitre 6176
      • 7 Modèles dynamiques aléatoires181
      • 7.1 Marche aléatoire182
      • 7.2 Processus de branchement185
      • 7.2.1 Somme aléatoire de variables aléatoires indépendantes186
      • 7.2.2 Processus de branchement188
      • 7.2.3 Percolation sur un arbre193
      • 7.3 Files d'attente194
      • 7.3.1 Un modèle simple en temps discret195
      • 7.3.2 Stabilité : étude analytique196
      • 7.4 Suites récurrentes aléatoires discrètes200
      • 7.4.1 Probabilités de transition200
      • 7.4.2 Stabilité203
      • 7.5 Exercices sur le chapitre 7204
      • 8 Corrections des exercices209
      • 8.1 Corrigés des exercices du chapitre 2209
      • 8.2 Corrigés des exercices du chapitre 3214
      • 8.3 Corrigés des exercices du chapitre 4219
      • 8.4 Corrigés des exercices du chapitre 5225
      • 8.5 Corrigés des exercices du chapitre 6228
      • 8.6 Corrigés des exercices du chapitre 7232
      • 9 Textes et corrigés d'examens237
      • Bibliographie269
      • Index271

  • Origine de la notice:
    • Electre
  • Disponible - 519 MEL

    Niveau 2 - Sciences