Optimisation et contrôle des systèmes linéaires : cours et exercices avec solutions : 2e cycle, Ecoles d'ingénieurs

Auteur(s) :

Bergounioux, Maïtine Découvrir l'auteur

Éditeur(s)
- Dunod
Date
- 2001
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (IX-260 p.) ; 17 cm
Collections
- Sciences sup. Mathématiques
Sujet(s)
ISBN
- 2-10-005626-3
Indice
- 517.6 Équations différentielles, différences finies, équations intégrales et intégrodifférentielles, équations fonctionnelles, fonctions spéciales
Quatrième de couverture
- L'optimisation regroupe les techniques qui permettent de chercher les minima ou les maxima de fonctions ou de fonctionnelles ; elle intervient dans presque tous les processus de modélisation actuels.
  Cet ouvrage présente une introduction à la théorie du contrôle optimal des équations différentielles ordinaires ainsi que les fondements de l'optimisation en dimension finie et les algorithmes de base. Une première partie évoque l'optimisation en dimension finie en abordant les notions de convexité, de minimisation sans contraintes et avec contraintes et les principales méthodes de résolution numérique. En seconde partie, les résultats obtenus sont appliqués au contrôle optimal des systèmes différentiels linéaires ; quelques notions de calcul différentiel y sont également rappelées.
  Des exemples, figures explicatives et de nombreux exercices, dont la plupart sont corrigés, enrichissent ce cours qui comporte toutes les notions utiles aux étudiants de deuxième cycle universitaire et aux élèves ingénieurs.
Tables des matières
- - Optimisation et contrôle des systèmes linéaires
  - Cours et exercices avec solutions
  - Maïtine Bergounioux
  - Dunod
  - Avant-proposXI
  - Partie 1 Optimisation en dimension finie1
  - Chapitre 1 Généralités3
  - 1.1 Quelques exemples3
  - 1.1.1 Détermination de coefficients en combustion3
  - 1.1.2 Un exemple en hydrologie4
  - 1.1.3 Un exemple en chimie: problème de l'équilibre chimique4
  - 1.2 Formulation mathématique5
  - 1.3 Notion de convexité8
  - 1.3.1 Définitions8
  - 1.3.2 Continuité des fonctions convexes11
  - 1.3.3 Différentiabilité des fonctions convexes12
  - Exercices15
  - Chapitre 2 Minimisation sans contraintes19
  - 2.1 Résultats d'existence et d'unicité19
  - 2.2 Conditions d'optimalité23
  - 2.2.1 Conditions nécessaires du premier ordre23
  - 2.2.2 Conditions du deuxième ordre25
  - 2.3 Exemple: régression linéaire27
  - 2.4 Algorithmes (déterministes)28
  - 2.4.1 Méthode du gradient30
  - 2.4.2 Méthode de Newton34
  - a) Méthode de Newton34
  - b) Application à la recherche d'extrema37
  - 2.4.3 Méthode du gradient conjugué38
  - a) Méthode du gradient conjugué: cas linéaire38
  - b) Méthode du gradient conjugué: cas général41
  - 2.4.4 Méthode de relaxation41
  - 2.5 Une méthode probabiliste42
  - 2.5.1 Dynamique de Métropolis42
  - 2.5.2 Recuit simulé sur un ensemble fini43
  - Travaux pratiques47
  - Exercices49
  - Chapitre 3 Minimisation avec contraintes55
  - 3.1 Résultats d'existence et d'unicité55
  - 3.2 Conditions d'optimalité du premier ordre56
  - 3.2.1 Condition d'optimalité du premier ordre générale56
  - 3.2.2 Contraintes en égalité57
  - 3.2.3 Contraintes en égalité et en inégalité58
  - 3.3 Conditions d'optimalité nécessaires du deuxième ordre62
  - 3.4 Applications et exemples64
  - 3.4.1 Projection sur un convexe fermé64
  - 3.4.2 Régression linéaire avec contraintes68
  - 3.4.3 Cas de la programmation linéaire69
  - 3.4.4 Un exemple70
  - 3.5 Algorithmes72
  - 3.5.1 Méthode du gradient projeté72
  - 3.5.2 Méthode de Lagrange-Newton pour des contraintes en égalité73
  - 3.5.3 Méthode de Newton projetée pour des contraintes de borne75
  - 3.5.4 Méthodes de pénalisation77
  - 3.5.5 Méthodes de Programmation Quadratique Successive (SQP)79
  - a) Cas de contraintes en égalité80
  - b) Cas de contraintes générales81
  - 3.5.6 Méthode de dualité: méthode d'Uzawa82
  - Travaux pratiques87
  - Exercices90
  - Partie 2 Contrôle des systèmes linéaires103
  - Chapitre 4 Introduction à la théorie du contrôle105
  - 4.1 Quelques exemples105
  - 4.1.1 Exemple 1. Économie105
  - 4.1.2 Exemple 2. Stockage de l'eau dans un réservoir105
  - 4.1.3 Exemple 3. Stabilisation d'un véhicule106
  - 4.2 Formulation mathématique d'un problème de contrôle108
  - 4.2.1 Définition108
  - 4.2.2 Contrôlabilité109
  - 4.2.3 Observabilité109
  - 4.2.4 Stabilité109
  - 4.2.5 Contrôle optimal110
  - 4.2.6 Boucle ouverte / Boucle fermée111
  - 4.3 Encore quelques exemples112
  - 4.3.1 Stabilisation d'un véhicule112
  - a) Contrôlabilité112
  - b) Contrôle optimal113
  - 4.3.2 Rendez-vous spatial114
  - a) Contrôlabilité115
  - b) Temps minimum115
  - c) Consommation minimum115
  - Exercices116
  - Chapitre 5 Contrôle optimal à horizon fini119
  - 5.1 Présentation du problème - Théorèmes d'existence119
  - 5.1.1 L'équation d'état119
  - 5.1.2 Le problème de contrôle optimal122
  - 5.1.3 Exemples122
  - a) Fonctionnelle avec observation distribuée122
  - b) Fonctionnelle avec observation finale123
  - 5.1.4 Étude de la fonction coût123
  - 5.1.5 Existence et unicité de la solution de (P)126
  - 5.2 Conditions d'optimalité127
  - 5.2.1 Un exemple127
  - 5.2.2 Cas général128
  - 5.2.3 Cas particulier fondamental130
  - 5.3 Cas sans contraintes sur le contrôle: équation de Ricatti130
  - 5.4 Formulation en termes de Lagrangien133
  - 5.5 Algorithmes de résolution135
  - 5.5.1 Résolution directe de (P)135
  - 5.5.2 Pénalisation de la contrainte d'état136
  - 5.5.3 Recherche d'un point-selle136
  - 5.5.4 Méthode de point fixe137
  - Exercices138
  - Chapitre 6 Contrôle à horizon infini: contrôlabilité et stabilité145
  - 6.1 Généralités145
  - 6.2 Cas d'une EDO linéaire148
  - 6.2.1 Cas des équations différentielles linéaires à coefficients constants149
  - 6.2.2 Cas des EDO linéaires à coefficients constants sans contraintes sur le contrôle153
  - 6.3 Stabilité et observabilité154
  - 6.3.1 Stabilité154
  - 6.3.2 Observabilité155
  - Exercices156
  - Chapitre 7 Commande en temps minimum de systèmes linéaires à coefficients constants159
  - 7.1 Existence d'un temps optimal159
  - 7.2 Principe du minimum de Pontryagin161
  - 7.3 Unicité164
  - 7.4 Réciproque du principe du minimum165
  - Exercices167
  - Chapitre 8 Programmation dynamique173
  - 8.1 Cas discret173
  - 8.1.1 Motivation173
  - 8.1.2 Principe d'optimalité de Bellman176
  - 8.1.3 L'algorithme de programmation dynamique178
  - a) L'équation de Bellman178
  - b) L'algorithme de programmation dynamique179
  - 8.1.4 Exemples179
  - a) Course au trésor179
  - b) Affectation optimale de ressources180
  - 8.2 Programmation dynamique en dimension infinie182
  - 8.2.1 Présentation du problème182
  - a) Principe d'optimalité de Bellman183
  - b) Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman184
  - 8.2.2 Cas quadratique186
  - Exercices187
  - Annexe A Rappels de quelques notions191
  - A.1 Rappels d'algèbre linéaire191
  - A.1.1 Normes sur Rn191
  - A.1.2 Généralités sur les matrices192
  - A.1.3 Propriétés spectrales192
  - A.1.4 Conditionnement des systèmes linéaires193
  - A.2 Calcul différentiel dans Rn194
  - A.2.1 Dérivées, différentielles194
  - a) Dérivée, différentielle d'une fonction de Rn dans R194
  - b) Dérivée, différentielle d'une fonction de Rn dans Rn195
  - c) Dérivée seconde d'une fonction de Rn dans R196
  - A.2.2 Le théorème des fonctions implicites196
  - A.2.3 La formule de Taylor197
  - A.3 Équations différentielles ordinaires (EDO)198
  - A.3.1 Le théorème de Cauchy-Lipschitz198
  - A.3.2 Équations différentielles linéaires199
  - A.4 Le théorème de Hahn-Banach200
  - Annexe B Correction des exercices203
  - Chapitre 1203
  - Chapitre 2206
  - Chapitre 3212
  - Chapitre 4231
  - Chapitre 5231
  - Chapitre 6237
  - Chapitre 7240
  - Chapitre 8249
  - Bibliographie255
  - Index257
Origine de la notice:
- BPI