Des espaces euclidiens aux espaces de Hilbert : une introduction l'analyse fonctionnelle et ses applications

Auteur(s) :

Provenzi, Edoardo (1975-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Une analyse de la transition des espaces euclidiens de dimension finie aux espaces de Hilbert de dimension infinie, avec pour fil rouge la transformée de Fourier. La structure géométrique des espaces de Hilbert et les propriétés des opérateurs linéaires bornés sur ces espaces sont également traités. Des exercices avec solutions montrent des applications immédiates des résultats théoriques. ©Electre 2021

Éditeur(s)
- Iste ditions
Date
- C 2021
Notes
- Traduit de l'anglais
- Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (XI-356 p.) : ill. ; 24 cm
Collections
- Collection Mathmatiques et statistiques
Sujet(s)
ISBN
- 978-1-78405-746-6
Indice
- 517.8 Calcul symbolique, transformations de Laplace et de Fourier, distributions, analyse fonctionnelle
Quatrième de couverture
- Cet ouvrage analyse la transition des espaces euclidiens de dimension finie aux espaces de Hilbert de dimension infinie, notion parfois difficile à appréhender pour les non-spécialistes. L'accent est mis sur les analogies et les différences entre les propriétés de la dimension finie et celles de la dimension infinie, en remarquant l'importance fondamentale de la cohérence entre la structure algébrique et celle topologique qui permet aux espaces de Hilbert d'être les structures de dimension infinie les plus proches des espaces euclidiens.
  Le fil rouge de cet ouvrage est la transformée de Fourier. Un accent particulier est mis sur la transformée de Fourier discrète (DFT), qui permet de montrer des applications explicites au traitement des signaux et des images numériques. La structure géométrique des espaces de Hilbert et les plus importantes propriétés des opérateurs linéaires bornés sur ces espaces sont également traités. Les théorèmes sont présentés avec des preuves détaillées et des exercices avec solution permettent de voir des applications immédiates des résultats théoriques.
Tables des matières
- - Des espaces euclidiens aux espaces de Hilbert
  - Une introduction à l'analyse fonctionnelle et à ses applications
  - Edoardo Provenzi
  - Iste éditions
  - Avant-propos 1
  - Chapitre 1. Les espaces vectoriels avec produit scalaire (ou pré-hilbertiens)3
  - 1.1. Le produit scalaire réel et complexe3
  - 1.2. La norme associée à un produit scalaire (hilbertienne) et les espaces vectoriels normés9
  - 1.2.1. La formule du parallélogramme et de polarisation12
  - 1.3. Familles orthogonales et orthonormales dans des espaces vectoriels avec produit scalaire14
  - 1.4. Le théorème de Pythagore généralisé14
  - 1.5. Orthogonalité et indépendance linéaire16
  - 1.6. La projection orthogonale dans les espaces vectoriels avec produit scalaire18
  - 1.7. Existence d'une base orthonormale : l'algorithme itératif de Gram-Schmidt22
  - 1.8. Les propriétés fondamentales d'une base orthonormale et orthogonale24
  - 1.9. En résumé32
  - Chapitre 2. La transformée de Fourier discrète et ses applications à la théorie des signaux et des images35
  - 2.1. L'espace l²(Z_n) et sa base canonique35
  - 2.1.1. La base orthogonale des exponentiels complexes de l²(Z_n)38
  - 2.2. La base orthonormale de Fourier de l²(Z_n)43
  - 2.3. La base orthogonale de Fourier de l²(Z_n)44
  - 2.4. Les coefficients de Fourier et la transformée de Fourier discrète (DFT)46
  - 2.4.1. La transformée de Fourier inverse (IDFT)48
  - 2.4.2. Définition de la DFT et de l'IDFT avec la base orthonormale de Fourier51
  - 2.4.3. La base (orthonormale) de Fourier réelle52
  - 2.5. Interprétation matricielle de la DFT et de l'IDFT53
  - 2.5.1. Fast Fourier Transform (FFT)56
  - 2.6. La transformée de Fourier dans le traitement des signaux57
  - 2.6.1. La formule de synthèse des signaux 1D : décomposition sur la base des harmoniques57
  - 2.6.2. Signification des coefficients de Fourier et spectres d'un signal 1D58
  - 2.6.3. La formule de synthèse et les coefficients de Fourier de l'impulsion unitaire δ60
  - 2.6.4. Hautes et basses fréquences m dans la formule de synthèse 61
  - 2.6.5. Filtrage de signaux dans la représentation fréquentielle65
  - 2.6.6. L'opérateur de multiplication et sa représentation matricielle diagonale66
  - 2.6.7. Le multiplicateur de Fourier67
  - 2.7. Propriétés de la DFT68
  - 2.7.1. La périodicité de z et ž68
  - 2.7.2. DFT et translation69
  - 2.7.2.1. Invariance du spectre par translation71
  - 2.7.3. DFT et conjugaison73
  - 2.7.4. DFT et convolution75
  - 2.8. La DFT et les opérateurs stationnaires80
  - 2.8.1. La DFT et la diagonalisation des opérateurs stationnaires81
  - 2.8.2. Matrices circulantes84
  - 2.8.3. La caractérisation exhaustive des opérateurs stationnaires85
  - 2.8.4. Filtres passe-haut, passe-bas, passe-bande90
  - 2.8.5. La caractérisation des opérateurs stationnaires via les opérateurs de translation91
  - 2.8.6. Analyse fréquentielle des opérateurs de dérivation (discrète) première et seconde92
  - 2.9. La transformée de Fourier bidimensionnelle (DFT 2D)96
  - 2.9.1. Représentation matricielle de la DFT 2D : produit de Kronecker versus itération de deux DFT 1D99
  - 2.9.2. Les propriétés de la DFT 2D102
  - 2.9.3. La DFT 2D et les opérateurs stationnaires104
  - 2.9.4. Les opérateurs gradient et laplacien et leur action sur les images numériques105
  - 2.9.5. Visualisation du spectre d'amplitude en 2D107
  - 2.9.6. Un exemple remarquable de filtrage d'une image numérique dans l'espace de Fourier : le floutage109
  - 2.10. En résumé111
  - Chapitre 3. Rappel sur la théorie de la mesure et de l'intégration à la Lebesgue113
  - 3.1. Riemann versus Lebesgue113
  - 3.2. Tribu (σ-algèbre), espace mesurable, mesure et espace mesuré114
  - 3.3. Fonctions mesurables et propriétés possédées presque partout (p.p)116
  - 3.4. Fonctions intégrables, intégrales à la Lebesgue117
  - 3.5. La caractérisation de la mesure de Lebesgue sur R et les ensembles de mesure de Lebesgue nulle119
  - 3.6. Les trois théorèmes d'opération de limite dans la théorie de l'intégration121
  - 3.7. En résumé123
  - Chapitre 4. Espaces de Banach et de Hilbert125
  - 4.1. La topologie métrique des espaces vectoriels avec produit scalaire126
  - 4.2. La continuité des opérations fondamentales des espaces vectoriels avec produit scalaire131
  - 4.2.1. L'équivalence des topologies séparées des espaces vectoriels de dimension finie138
  - 4.3. Suites de Cauchy et complétude : espaces de Banach et de Hilbert140
  - 4.3.1. La complétude des espaces vectoriels144
  - 4.3.2. Une caractérisation de la complétude d'espaces vectoriels normés via séries146
  - 4.3.2.1. L'exponentiel matriciel149
  - 4.3.3. Le théorème de point fixe de Banach150
  - 4.4. Exemples remarquables d'espaces de Banach et de Hilbert156
  - 4.4.1. Les espaces L^p et l^p et leur complétude156
  - 4.4.2. Les espaces L∞ et l∞ et leur complétude167
  - 4.4.3. Relations d'inclusion parmi les espaces l^p173
  - 4.4.4. Relations d'inclusion dans les espaces L^p175
  - 4.4.5. Théorèmes de densité dans L^p(X,A,μ)177
  - 4.4.5.1. Fonctions étagées177
  - 4.4.5.2. Intersections L^p∩L^q et l^p∩l^q177
  - 4.4.5.3. Fonctions test178
  - 4.4.5.4. L'espace de Schwartz179
  - 4.5. En résumé181
  - Chapitre 5. La structure géométrique des espaces de Hilbert183
  - 5.1. Le complément orthogonal dans un espace de Hilbert et ses propriétés183
  - 5.2. Le théorème de projection sur un convexe fermé et ses conséquences186
  - 5.2.1. Une caractérisation des sous-espaces vectoriels fermés dans les espaces de Hilbert193
  - 5.3. Sous-ensembles polaire et bipolaire d'un espace de Hilbert195
  - 5.4. Le théorème de la projection (orthogonale) dans un espace de Hilbert198
  - 5.5. Systèmes orthonormés et bases hilbertiennes200
  - 5.5.1. L'inégalité de Bessel et les coefficients de Fourier202
  - 5.5.2. Le théorème de Fisher-Riesz204
  - 5.5.3. Les caractérisations d'une base hilbertienne207
  - 5.5.4. Isomorphismes entre espaces de Hilbert212
  - 5.5.5. l²(N, K) comme prototype des espaces de Hilbert séparables de dimension infinie214
  - 5.6. La base hilbertienne de Fourier en L2214
  - 5.6.1. L²[-π, π] ou L²[0, 2π]214
  - 5.6.2. L²(T)216
  - 5.6.3. L²[a, b]218
  - 5.6.4. Série de Fourier réelle219
  - 5.6.5. Convergence ponctuelle de la série de Fourier réelle : le théorème de Dirichlet225
  - 5.6.6. Le phénomène de Gibbs et les sommes de Cesàro226
  - 5.6.7. La vitesse de convergence à Odes coefficients de Fourier228
  - 5.6.8. Transformée de Fourier en L²(T) et translation231
  - 5.7. En résumé232
  - 6.1. Les propriétés fondamentales des opérateurs linéaires bornés entre espaces vectoriels normés237
  - Chapitre 6. Les opérateurs linéaires bornés dans les espaces de Hilbert235
  - 6.1.1. La continuité des opérateurs linéaires définis sur un espace vectoriel normé de dimension finie240
  - 6.2. La norme opératorielle, la convergence des suites d'opérateurs et les algèbres de Banach241
  - 6.2.1. Un exemple (classique) d'opérateur linéaire non borné sur un espace vectoriel de dimension infinie252
  - 6.3. Inversibilité des opérateurs linéaires253
  - 6.4. L'espace dual d'un espace de Hilbert et le théorème de représentation de Riesz258
  - 6.4.1. Le produit scalaire induit sur le dual d'un espace de Hilbert263
  - 6.5. Formes bilinéaires, sesquilinéaires et formes quadratiques associées264
  - 6.5.1. Le théorème de Lax-Milgram et ses conséquences272
  - 6.6. L'opérateur adjoint et ses propriétés275
  - 6.7. Les opérateurs de projection orthogonale dans un espace de Hilbert284
  - 6.7.1. Les opérateurs de multiplication bornés et leur relation avec les projecteurs orthogonaux293
  - 6.7.2. La réalisation géométrique des opérateurs de projection orthogonale via systèmes orthonormés296
  - 6.8. Les opérateurs isométriques et unitaires 302
  - 6.8.1. Les caractérisations des opérateurs isométriques et unitaires304
  - 6.8.2. Relation entre opérateurs isométriques et unitaires et systèmes orthonormés309
  - 6.9. La transformée de Fourier sur S(Rⁿ), L1(Rⁿ) et L2(Rⁿ)311
  - 6.9.1. Un espace invariant par la transformée de Fourier : l'espace de Schwarz312
  - 6.9.2. Extension de la transformée de Fourier de S(Rⁿ) à L¹(Rⁿ) : le théorème de Riemann-Lebesgue317
  - 6.9.3. Extension de la transformée de Fourier à un opérateur unitaire sur L2(Rn) : la transformée de Fourier-Plancherel318
  - 6.9.4. Relation entre transformée de Fourier-Plancherel et base hilbertienne de Hermite321
  - 6.9.5. La transformée de Fourier et la convolution322
  - 6.9.6. Convolution et transformée de Fourier en L² : le problème de la localisation de la transformée de Fourier326
  - 6.10. Le théorème d'échantillonnage de Shannon, Nyquist et Whittaker327
  - 6.10.1. La fréquence de Nyquist : aliasing et oversampling329
  - 6.11. Application de la transformée de Fourier à la résolution d'équations différentielles en dérivées ordinaires et partielles330
  - 6.11.1. Un exemple d'équation différentielle ordinaire résolue avec la transformée de Fourier330
  - 6.11.2. Transformée de Fourier et équation différentielle en dérivée partielle332
  - 6.11.3. Résolution de l'équation différentielle en dérivée partielle de la propagation de la chaleur avec la transformée de Fourier333
  - 6.12. En résumé336
  - Annexe 1. L'espace vectoriel quotient 339
  - Annexe 2. L'opérateur transposé (ou dual) d'un opérateur linéaire 345
  - Annexe 3. La convergence uniforme, forte et faible 347
  - Bibliographie 351
  - Index 353
Origine de la notice:
- FR-751131015 ;
- Electre