Mathématiques pour l'agrégation : analyse et probabilités

Auteur(s) :

Dantzer, Jean-François Découvrir l'auteur

Résumé

Ce manuel prépare à l'agrégation interne et externe de mathématiques en abordant spécifiquement la partie du programme dédiée aux probabilités. Avec plus de 200 problèmes et exercices corrigés. ©Electre 2021

Éditeur(s)
- De Boeck
Date
- DL 2021
Notes
- Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (XIII-543 p.) ; 24 cm
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-8073-3219-5
Indice
- 517 Analyse
Quatrième de couverture
- Mathématiques pour l'agrégation
  Analyse et probabilités
  La préparation des candidats aux concours de l'agrégation interne et externe de mathématiques nécessite des outils et des méthodes spécifiques qu'il leur est souvent bien difficile de se procurer, faute d'une littérature adaptée aux exigences de la situation.
  Ce cours d'analyse et de probabilités est taillé sur mesure pour ces candidats. Les notions indispensables y sont abordées dans le détail et leur assimilation est facilitée par un grand nombre d'exercices corrigés dont beaucoup peuvent être utilisés par les candidats pour leurs leçons à l'épreuve orale.
  
  Topologie sur les espaces métriques
  
  Suites dans un espace métrique
  
  Continuité et limite dans les espaces métriques
  
  Espaces métriques complets
  
  Espaces métriques compacts
  
  Espaces connexes
  
  Suites réelles
  
  Fonctions dérivables
  
  Fonctions convexes
  
  Comparaison locale ou asymptotique de fonctions
  
  Suites définies par une récurrence
  
  Vitesse et accélération de convergence de suites réelles
  
  Espaces vectoriels normés
  
  Intégration sur un segment
  
  Intégrales généralisées
  
  Séries à valeurs dans un espace vectoriel normé
  
  Suites de fonctions. Divers types de convergence
  
  Séries de fonctions
  
  Séries entières
  
  Exponentielle dans une algèbre de Banach
  
  Espaces préhilbertiens
  
  Séries de Fourier
  
  Probabilités
  
  Fonctions intégrables
  
  Calcul de valeurs approchées d'une intégrale
  
  Équations différentielles linéaires scalaires du premier ordre
  
  Systèmes différentiels linéaires
  
  Équations différentielles linéaires scalaires d'ordre deux
  
  Les plus
  
  Parfait complément du volume de Mathématiques pour l'agrégation. Algèbre et géométrie
  
  Chaque théorème est suivi d'une série d'applications
  
  Tous les exercices sont intégralement corrigés
Tables des matières
- - Mathématiques pour l'agrégation
  - 2e édition
  - Analyse et probabilités
  - Jean-François Dantzer
  - Deboeck Supérieur
  - 1. Topologie sur les espaces métriques1
  - 1.1 Rappels1
  - 1.2 Distance4
  - 1.2.1 Diamètre d'une partie, distance entre deux parties5
  - 1.2.2 Espace métrique produit5
  - 1.3 Norme5
  - 1.4 Produit scalaire, norme euclidienne, norme hermitienne7
  - 1.4.1 Définitions7
  - 1.4.2 Exemples8
  - 1.4.3 Inégalité de Cauchy-Schwarz9
  - 1.5 Topologie d'un espace métrique12
  - 1.5.1 Boule, sphère12
  - 1.5.2 Ouverts12
  - 1.5.3 Fermés13
  - 1.5.4 Adhérence, intérieur14
  - 1.5.5 Métrique induite16
  - 2. Suites dans un espace métrique17
  - 2.1 Définitions, convergence17
  - 2.2 Suites dans un espace vectoriel normé19
  - 2.3 Caractérisation séquentielle20
  - 2.3.1 Caractérisation séquentielle des bornes supérieure et inférieure20
  - 2.3.2 Caractérisation séquentielle de l'adhérence22
  - 2.3.3 Caractérisation séquentielle d'un fermé23
  - 2.4 Suites extraites, sous-suites24
  - 3. Continuité et limite dans les espaces métriques29
  - 3.1 Continuité ponctuelle, continuité sur un espace métrique29
  - 3.2 Continuité uniforme sur un espace métrique31
  - 3.3 Limite d'une fonction en un point33
  - 3.3.1 Continuité et limite34
  - 3.4 Caractérisation séquentielle de la limite et de la continuité35
  - 3.4.1 Caractérisation séquentielle de la limite35
  - 3.4.2 Caractérisation séquentielle de la continuité37
  - 3.5 Caractérisation topologique de la continuité37
  - 3.6 Applications à valeurs dans un espace vectoriel normé38
  - 4. Espaces métriques complets41
  - 4.1 Définitions41
  - 4.1.1 Suites de Cauchy41
  - 4.1.2 Espaces métriques complets42
  - 4.2 Exemples d'espaces métriques complets42
  - 4.2.1 Espaces vectoriels normés de dimension finie42
  - 4.2.2 Espace fonctionnel43
  - 4.2.3 Partie fermée d'un espace métrique complet44
  - 4.3 Propriétés des espaces métriques complets46
  - 4.3.1 Fermés emboîtés46
  - 4.3.2 Théorème du point fixe46
  - 4.3.3 Prolongement d'une fonction uniformément continue47
  - 5. Espaces métriques compacts51
  - 5.1 Définition, exemples51
  - 5.2 Propriétés d'un espace métrique compact52
  - 5.3 Produit d'espaces compacts54
  - 5.4 Caractérisation des compacts d'un espace vectoriel de dimension finie muni d'une norme sup54
  - 5.5 Compacts et continuité55
  - 5.6 Applications58
  - 6. Espaces connexes59
  - 6.1 Définition59
  - 6.2 Connexité et continuité59
  - 6.3 Une caractérisation des connexes, applications59
  - 6.4 Les parties connexes de R61
  - 6.5 Fonctions continues sur un intervalle62
  - 6.6 Connexité par arcs62
  - 6.6.1 Applications63
  - 6.7 Homéomorphismes d'intervalles66
  - 6.8 Composantes connexes67
  - 7. Suites réelles69
  - 7.1 Définition, structure69
  - 7.2 Convergence69
  - 7.2.1 Caractérisation des suites réelles convergentes73
  - 7.3 Suites monotones, suites adjacentes74
  - 7.4 Limite supérieure, limite inférieure77
  - 7.5 Sous-groupes de (R, +)79
  - 7.6 Étude de la suite cos nθ (θϵ R)81
  - 7.7 Moyennes de Cesaro84
  - 7.8 Relations de comparaisons87
  - 7.8.1 La relation O87
  - 7.8.2 La relation o88
  - 7.8.3 L'équivalence89
  - 8. Fonctions dérivables91
  - 8.1 Dérivation des fonctions vectorielles91
  - 8.1.1 Définition91
  - 8.1.2 Développement limité d'ordre 191
  - 8.1.3 Dérivée d'une fonction composée94
  - 8.1.4 Dérivées d'ordre supérieur96
  - 8.1.5 Applications de classe C^k par morceaux97
  - 8.2 Cas où E est de dimension finie98
  - 8.2.1 Expression de la dérivée par rapport à une base98
  - 8.2.2 Arc paramétré, arc géométrique100
  - 8.3 Cas des fonctions à valeurs réelles100
  - 8.3.1 Dérivée d'une application réciproque100
  - 8.3.2 Dérivée en un extremum local103
  - 8.3.3 Les théorèmes de Rolle104
  - 8.3.4 Le théorème des accroissements finis106
  - 8.3.5 Applications du théorème des accroissements finis107
  - 8.3.6 La formule de Taylor-Lagrange111
  - 8.4 Cas des fonctions à valeurs dans un e.v.n112
  - 8.4.1 Inégalité des accroissements finis112
  - 8.4.2 Inégalité de Taylor-Lagrange114
  - 8.4.3 La formule de Taylor avec reste intégral (E Banach)114
  - 8.4.4 La formule de Taylor-Young115
  - 9. Fonctions convexes119
  - 9.1 Fonctions convexes119
  - 9.1.1 Définition et caractérisations119
  - 9.1.2 Propriétés des fonctions convexes125
  - 10. Comparaison locale ou asymptotique de fonctions131
  - 10.1 Relations de comparaison132
  - 10.1.1 La relation O132
  - 10.1.2 La relation o132
  - 10.1.3 L'équivalence134
  - 10.2 Développements asymptotiques136
  - 10.3 Développements limités136
  - 10.3.1 Définition, propriétés136
  - 10.3.2 Développement limité et dérivation139
  - 10.3.3 Opérations sur les développements limités140
  - 11. Suites définies par une récurrence143
  - 11.1 Définitions, exemples143
  - 11.1.1 Suites récurrentes d'ordre 1143
  - 11.1.2 Suites récurrentes d'ordre k (kϵ N*)145
  - 11.2 Théorème du point fixe pour un espace métrique complet146
  - 11.3 Théorème du point fixe pour un espace métrique compact148
  - 11.4 Suites réelles récurrentes d'ordre 1150
  - 11.4.1 Propriétés150
  - 11.4.2 Points fixes attractifs, points fixes répulsifs151
  - 11.4.3 Exercices153
  - 12. Vitesse et accélération de convergence de suites réelles159
  - 12.1 Vitesse de convergence d'une suite réelle159
  - 12.1.1 Premiers exemples de vitesse de convergence160
  - 12.1.2 Suites convergentes vers e161
  - 12.1.3 Suites convergentes vers π164
  - 12.1.4 Suites convergentes vers un point fixe attractif165
  - 12.2 Accélération de la convergence d'une suite166
  - 12.2.1 Définitions166
  - 12.2.2 Méthode d'accélération de Richardson166
  - 12.2.3 Itération de la méthode de Richardson168
  - 12.2.4 Méthode d'accélération d'Aitken170
  - 13. Espaces vectoriels normés173
  - 13.1 Définitions173
  - 13.2 Comparaisons de normes174
  - 13.3 Normes équivalentes175
  - 13.4 Espaces vectoriels normés de dimension finie176
  - 13.4.1 Normes équivalentes en dimension finie176
  - 13.5 Applications linéaires continues179
  - 13.5.1 Caractérisation des applications linéaires continues179
  - 13.5.2 L'espace vectoriel normé L_c(E,F)181
  - 13.5.3 Exemples de normes d'applications linéaires continues185
  - 13.6 Espaces vectoriels normés de dimension finie190
  - 13.6.1 Applications linéaires190
  - 13.6.2 Continuité et dérivabilité des applications191
  - 13.7 Formes linéaires192
  - 13.8 Prolongement d'une application linéaire continue194
  - 14. Intégration sur un segment195
  - 14.1 Introduction195
  - 14.1.1 Le cadre195
  - 14.1.2 (C_M[a,b],E) = (C[a,b],E) + (ɛ[a,b],E)195
  - 14.1.3 (ɛ([a,b],E)) sous-espace vectoriel dense de (C_M([a,b],E), ║ . ║∞)197
  - 14.2 Construction de l'intégrale de Riemann sur un segment198
  - 14.2.1 Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment198
  - 14.2.2 Propriétés de l'intégrale d'une fonction en escalier198
  - 14.2.3 Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment199
  - 14.3 Propriétés élémentaires de l'intégrale200
  - 14.4 Calcul d'une intégrale202
  - 14.4.1 Calcul à l'aide d'une primitive202
  - 14.4.2 Cas où E est de dimension finie203
  - 14.4.3 Intégration par parties204
  - 14.4.4 Changement de variables205
  - 14.4.5 Intégrale sur une période d'une application périodique207
  - 14.4.6 Sommes de Riemann208
  - 14.4.7 Exemple de somme de Riemann : La méthode des rectangles210
  - 14.5 Les formules de la moyenne211
  - 14.6 Rectification d'un arc paramétré215
  - 14.6.1 Définition215
  - 14.6.2 Longueur d'un arc paramétré compact de classe C¹215
  - 14.7 Exercices217
  - 15. Intégrales généralisées225
  - 15.1 Définition de l'intégrale généralisée225
  - 15.2 Cas des fonctions positives230
  - 15.3 Propriétés des intégrales généralisées235
  - 15.3.1 Critère de Cauchy235
  - 15.3.2 Intégrales absolument convergentes237
  - 15.3.3 Règle d'Abel238
  - 15.3.4 Intégration par parties242
  - 15.3.5 Changement de variable242
  - 15.3.6 Comportement asymptotique245
  - 16. Séries à valeurs dans un espace vectoriel normé249
  - 16.1 Définitions249
  - 16.2 Convergence des séries à termes réels positifs250
  - 16.3 Convergence des séries à termes réels259
  - 16.4 Séries à valeurs dans un Banach260
  - 16.4.1 Critère de Cauchy260
  - 16.4.2 Série absolument convergente260
  - 16.4.3 Série commutativement convergente262
  - 16.4.4 Familles sommables263
  - 16.4.5 Produit de Cauchy de deux séries à valeurs dans une algèbre de Banach264
  - 16.5 Exemples d'espaces l^p (R)267
  - 16.5.1 Espaces l² (R)267
  - 16.5.2 Espaces l¹ (R)269
  - 16.6 Exercices270
  - 17. Suites de fonctions. Divers types de convergence281
  - 17.1 Convergence simple281
  - 17.2 Convergence uniforme281
  - 17.2.1 Définition281
  - 17.2.2 Critère de Cauchy uniforme. Cas des e.v.n. complets282
  - 17.2.3 Propriétés des limites283
  - 17.3 Produit de convolution. Approximations de l'unité286
  - 17.3.1 Produit de convolution286
  - 17.3.2 Approximation de l'unité287
  - 17.3.3 Théorème de Weierstrass294
  - 17.4 Convergences en moyennes295
  - 17.5 Comparaison des différents types de convergence297
  - 18. Séries de fonctions299
  - 18.1 Définition299
  - 18.2 Divers types de convergence d'une série de fonctions299
  - 18.3 Convergence normale d'une série de fonctions300
  - 18.4 Propriétés des séries de fonctions uniformément convergentes302
  - 18.5 Critère d'Abel uniforme302
  - 18.6 Exercices304
  - 18.7 La fonction zeta de Riemann311
  - 19. Séries entières315
  - 19.1 Séries entières, rayon et domaine de convergence315
  - 19.2 Règles de calcul du rayon de convergence317
  - 19.3 Dérivation d'une série entière319
  - 19.4 Opérations de séries entières324
  - 19.4.1 Somme de séries entières324
  - 19.4.2 Produit de Cauchy de séries entières325
  - 19.5 Fonctions développables en série entière325
  - 19.6 Développement en série entière327
  - 19.6.1 D.s.e. des fonctions usuelles327
  - 19.6.2 D.s.e. des fractions rationnelles332
  - 19.6.3 D.s.e. à l'aide d'équations différentielles334
  - 19.7 Applications336
  - 19.7.1 Application à la combinatoire336
  - 19.7.2 Divergence des suites trigonométriques341
  - 19.7.3 Équations différentielles et séries entières343
  - 20. Exponentielle dans une algèbre de Banach345
  - 20.1 Définition345
  - 20.2 L'exponentielle réelle346
  - 20.2.1 Propriétés346
  - 20.2.2 Application réciproque de l'exponentielle réelle347
  - 20.3 L'exponentielle complexe349
  - 20.4 Le nombre ?351
  - 20.5 Les fonctions cosinus et sinus352
  - 20.5.1 Définition et propriétés352
  - 20.5.2 Étude des fonctions cosinus et sinus354
  - 20.6 L'exponentielle de matrice355
  - 20.6.1 Introduction355
  - 20.6.2 Calcul d'une exponentielle de matrice356
  - 20.6.3 Équation différentielle linéaire du premier ordre358
  - 21. Espaces préhilbertiens361
  - 21.1 Définition d'un espace préhilbertien361
  - 21.1.1 Définitions361
  - 21.2 Exemples362
  - 21.3 Propriétés363
  - 21.4 Orthogonalité363
  - 21.5 Le procédé de Gram-Schmidt366
  - 21.6 Projection et symétrie orthogonale sur un sous-espace369
  - 21.7 Meilleure approximation sur un sous espace vectoriel371
  - 21.8 Inégalité de Bessel et égalité de Parseval372
  - 21.9 Matrice de Gram, déterminant de Gram374
  - 21.10 Polynômes orthogonaux379
  - 21.10.1 Polynômes de Tchebychev381
  - 22. Séries de Fourier389
  - 22.1 L'espace préhilbertien D389
  - 22.2 Propriétés de l'espace préhilbertien D390
  - 22.3 Propriétés asymptotiques de la suite (c_n)n ϵ Z393
  - 22.4 Noyaux de Dirichlet et de Féjer, approximation de l'unité396
  - 22.4.1 Définitions, premières propriétés396
  - 22.4.2 Noyau de Féjer398
  - 22.4.3 Noyau de Dirichlet399
  - 22.5 Série de Fourier d'un élément de D402
  - 22.5.1 Définitions402
  - 22.5.2 Théorèmes de convergence d'une série de Fourier403
  - 22.6 Applications404
  - 22.6.1 Sommes exactes de séries numériques convergentes404
  - 22.6.2 Valeur moyenne d'une fonction périodique continue407
  - 23. Probabilités409
  - 23.1 Tribus. Espaces probabilisables. Événements409
  - 23.2 Probabilités. Espaces probabilisés413
  - 23.3 Probabilités sur un espace dénombrable416
  - 23.4 Probabilités sur (E, B (R))417
  - 23.4.1 Probabilités discrètes sur (E, B (R))419
  - 23.4.2 Probabilités continues sur (E, B (R))420
  - 23.5 Probabilité conditionnelle422
  - 23.6 Événements indépendants425
  - 23.7 Variable aléatoire réelle429
  - 23.7.1 Loi d'une variable aléatoire réelle430
  - 23.7.2 Variables aléatoires réelles indépendantes430
  - 23.8 Variables aléatoires réelles discrètes431
  - 23.8.1 Moments d'une variable aléatoire discrète432
  - 23.8.2 Espérance, variance, covariance433
  - 23.8.3 Variables aléatoires discrètes indépendantes440
  - 23.8.4 Fonction génératrice d'une variable aléatoire discrète443
  - 23.8.5 Loi de Bernoulli447
  - 23.8.6 Loi binomiale447
  - 23.8.7 Loi uniforme discrète448
  - 23.8.8 Loi géométrique449
  - 23.8.9 Loi de Poisson450
  - 23.9 Variables aléatoires réelles continues453
  - 23.9.1 Moments d'une variable aléatoire continue453
  - 23.9.2 Espérance, variance, covariance454
  - 23.9.3 Variables aléatoires continues indépendantes458
  - 23.9.4 Loi uniforme continue459
  - 23.9.5 Loi exponentielle460
  - 23.9.6 Loi normale centrée réduite464
  - 23.10 Inégalités464
  - 23.10.1 Inégalité de Markov464
  - 23.10.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev464
  - 23.11 Convergences465
  - 23.11.1 Convergence presque sûre465
  - 23.11.2 Convergence en probabilité465
  - 23.11.3 Loi des grands nombres466
  - 23.11.4 Théorème de Weierstrass467
  - 23.11.5 Grandes déviations469
  - 23.11.6 Convergence en loi473
  - 24. Fonctions intégrables477
  - 24.1 Intégrabilité d'une fonction positive sur un intervalle477
  - 24.2 Intégrabilité d'une fonction480
  - 24.3 Exemples d'espaces L^p_c(I)483
  - 24.3.1 Espaces L¹_c(I)483
  - 24.3.2 Espaces L²_c(I)483
  - 24.4 Théorèmes de convergence485
  - 24.4.1 Théorème de convergence monotone485
  - 24.4.2 Théorème de convergence dominée485
  - 24.5 Intégrales dépendant d'un paramètre488
  - 24.5.1 Continuité488
  - 24.5.2 Dérivabilité490
  - 24.5.3 Exercices491
  - 24.5.4 La fonction Gamma494
  - 25. Calcul de valeurs approchées d'une intégrale497
  - 25.1 Méthodes exactes sur R_p[X]497
  - 25.1.1 Polynômes élémentaires de Lagrange497
  - 25.1.2 L'intégrale sur un segment définie sur R_p[X] est une forme linéaire497
  - 25.1.3 Exemples de méthodes exactes499
  - 25.1.4 Méthodes exacte de Newton-Cotes500
  - 25.2 Interpolation polynomiale502
  - 25.2.1 Interpolations de Lagrange et Hermite502
  - 25.2.2 Majoration de l'erreur d'interpolation504
  - 25.3 Méthodes élémentaires et composées505
  - 25.3.1 Méthodes élémentaires505
  - 25.3.2 Méthodes composées506
  - 25.4 Méthodes des rectangles et du point milieu506
  - 25.4.1 Méthode des rectangles506
  - 25.4.2 Méthode du point milieu507
  - 25.5 Méthodes de Newton-Cotes508
  - 25.5.1 Méthode des trapèzes508
  - 25.5.2 Méthode de Simpson509
  - 25.5.3 Méthode de Boole-Villarceau et de Weddle-Hardy510
  - 25.5.4 Méthode de Newton-Cotes pour p ≥ 8510
  - 26. Équations différentielles linéaires scalaires du premier ordre513
  - 26.1 Définitions513
  - 26.2 Solutions de l'équation homogène (H)514
  - 26.3 Solutions de l'équation (E)514
  - 26.4 Problème de Cauchy515
  - 26.5 Équation : a(t)y' + b(t)y = c(t)515
  - 27. Systèmes différentiels linéaires519
  - 27.1 Définitions519
  - 27.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire520
  - 27.3 Solutions de l'équation homogène (H)522
  - 27.4 Wronskien524
  - 27.5 Solutions de l'équation (E)527
  - 27.6 Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants528
  - 27.6.1 Résolution de l'équation homogène (H)528
  - 27.6.2 Résolution de l'équation (E)529
  - 28. Équations différentielles linéaires scalaires d'ordre deux531
  - 28.1 Définition531
  - 28.2 Système du premier ordre équivalent532
  - 28.3 Problème de Cauchy533
  - 28.4 Solutions de l'équation homogène533
  - 28.5 Résolution de l'équation homogène534
  - 28.5.1 Recherche de solutions développables en série entière534
  - 28.5.2 Cas où l'on a une solution particulière ne s'annulant pas sur I535
  - 28.6 Solutions de l'équation (E)535
  - 28.7 Résolution de l'équation (E)536
  - 28.8 Exercices536
  - Index 541
Origine de la notice:
- FR-751131015 ;
- Electre