Ellipses ; Impr. Présence graphique
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Disponible - 510 TOU
Niveau 2 - Sciences
Toutes les mathématiques : première année de classes préparatoires scientifiques
Résumé
Intégralité des programmes officiels, avec plus de 800 exercices corrigés. ©Electre 2022
- Éditeur(s)
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Date
- DL 2021
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Notes
- Index
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Langues
- Français
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Description matérielle
- 1 vol. (XV-874 p.) : ill. ; 24 cm
- Collections
- Sujet(s)
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ISBN
- 978-2-340-06303-7
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Indice
- 510 Traités, manuels et cours de mathématiques
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Quatrième de couverture
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Toutes les mathématiques
Première année de classes préparatoires scientifiques
Cet ouvrage couvre, en un seul volume, l'intégralité des programmes officiels de mathématiques des classes préparatoires MPSI-MP2I, PCSI et PTSI en vigueur dès la rentrée 2021.
Complet, rigoureux et concis, le cours est illustré de plus de 300 figures et d'un grand nombre d'exemples et remarques, qui donnent du sens aux notions introduites. Il fait systématiquement le lien entre les mathématiques et leurs applications en physique, chimie, sciences de l'ingénieur et informatique, conformément aux préconisations des programmes.
Il est complété par plus de 800 exercices corrigés, classés en 3 catégories :
- Les basiques : ceux qu'il faut savoir faire pour comprendre et assimiler
- Les techniques : pour aller un peu plus loin et s'entraîner
- Les exotiques ou olympiques : pour les amateurs de curiosités ou de difficultés
Cet ouvrage, spécifiquement destiné et adapté aux classes préparatoires MPSI-MP2I, PCSI et PTSI, est conçu pour être accessible suivant plusieurs points de vue et à plusieurs niveaux. Il sera donc utile aussi aux étudiantes et étudiants des classes préparatoires TSI et ATS, des écoles d'ingénieurs post-bac et des L1 scientifiques et technologiques.
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Tables des matières
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Toutes les mathématiques
Première année de classes préparatoires scientifiques
3e édition
Daniel Duverney
Gilles Bouton
Pascale Bouton
Géry Huvent
Ellipses
- Module 1 Outils fondamentaux1
- Chapitre 1 : Trigonométrie 3
- 1.1 Cercle trigonométrique3
- 1.2 Symétries dans le cercle trigonométrique5
- 1.3 Formules d'addition6
- 1.4 Formules de duplication7
- 1.5 Transformations de produits en sommes7
- 1.6 Transformations de sommes en produits8
- Exercices8
- Chapitre 2 : Compléments de trigonométrie 11
- 2.1 Inversion des fonctions trigonométriques11
- 2.2 Résolution d'équations trigonométriques13
- 2.3 Transformation d'expressions trigonométriques13
- 2.4 Coordonnées polaires du plan15
- 2.5 Fonctions sinusoïdales16
- Exercices17
- Chapitre 3 : Nombres complexes et trigonométrie 19
- 3.1 Forme algébrique des nombres complexes19
- 3.2 Plan complexe et forme trigonométrique20
- 3.3 Exponentielle complexe21
- 3.4 Forme exponentielle des nombres complexes23
- 3.5 Formules d'Euler et linéarisation23
- 3.6 Sommes trigonométriques et complexes24
- 3.7 Sommes de fonctions sinusoïdales26
- Exercices27
- Chapitre 4 : Introduction aux déterminants 29
- 4.1 Qu'est-ce qu'un déterminant ?29
- 4.2 Calcul pratique des déterminants30
- 4.3 Règle de Sarrus32
- 4.4 Opérations sur les déterminants33
- 4.5 Interversion de colonnes dans un déterminant34
- 4.6 Formules de Cramer35
- 4.6.1 Systèmes de deux équations à deux inconnues35
- 4.6.2 Systèmes de trois équations à trois inconnues36
- Exercices37
- Chapitre 5 : Produit scalaire 39
- 5.1 Projection orthogonale sur un axe orienté39
- 5.2 Produit scalaire et projection orthogonale41
- 5.3 Propriétés algébriques du produit scalaire42
- 5.4 Bases orthonormées du plan43
- 5.4.1 Définition et exemples43
- 5.4.2 Expression analytique du produit scalaire44
- 5.4.3 Changement de base orthonormée45
- 5.5 Bases orthonormées de l'espace46
- 5.5.1 Définition46
- 5.5.2 Coordonnées cylindriques et sphériques r46
- 5.5.3 Propriétés des bases orthonormées48
- Exercices48
- Chapitre 6 : Notions de géométrie plane 51
- 6.1 Le triangle51
- 6.2 Le cercle53
- 6.2.1 Circonférence et surface53
- 6.2.2 Théorème de l'angle inscrit54
- 6.3 Constructions à la règle et au compas55
- 6.4 Similitudes du plan et triangles semblables57
- 6.5 Barycentre59
- 6.5.1 Définition du barycentre59
- 6.5.2 Propriétés du barycentre60
- 6.5.3 Barycentre et géométrie61
- Exercices62
- Chapitre 7 : Géométrie analytique du plan 67
- 7.1 Orthogonalité, distance, parallélisme67
- 7.1.1 Orthogonalité et distance67
- 7.1.2 Parallélisme68
- 7.2 Equations cartésiennes69
- 7.2.1 Définition69
- 7.2.2 Equation normale d'une droite70
- 7.2.3 Equation fonctionnelle d'une droite71
- 7.2.4 Equation cartésienne d'un cercle72
- 7.3 Equations polaires73
- 7.4 Notions sur la parabole74
- 7.5 Géométrie du plan complexe74
- 7.5.1 Longueurs et angles74
- 7.5.2 Transformations élémentaires du plan complexe76
- 7.5.3 Similitude complexe78
- Exercices79
- Chapitre 8 : Produit vectoriel et produit mixte 83
- 8.1 Produit vectoriel83
- 8.2 Bases orthonormées directes85
- 8.2.1 Dans le plan85
- 8.2.2 Dans l'espace85
- 8.2.3 Expression analytique du produit vectoriel85
- 8.3 Produit mixte de trois vecteurs de l'espace87
- 8.3.1 Définition et premières propriétés87
- 8.3.2 Expression analytique du produit mixte88
- Exercices88
- Chapitre 9 : Géométrie analytique de l'espace 91
- 9.1 Equation cartésienne d'une sphère91
- 9.2 Equation cartésienne d'un plan92
- 9.3 Distance d'un point à un plan94
- 9.4 Droites de l'espace94
- Exercices95
- Chapitre 10 : Introduction au calcul différentiel 99
- 10.1 Dérivée d'une fonction en un point99
- 10.2 Opérations sur les fonctions dérivables102
- 10.3 Notation de Leibniz103
- 10.4 Dérivée d'une fonction composée104
- 10.5 Notions de cinématique105
- 10.5.1 Trajectoire, vitesse et accélération105
- 10.5.2 Cas des coordonnées polaires107
- 10.5.3 Mouvement rectiligne108
- 10.5.4 Mouvement circulaire109
- Exercices110
- Chapitre 11 : Compléments de calcul différentiel 115
- 11.1 Dérivées des exposants rationnels115
- 11.1.1 La longue histoire des exposants116
- 11.1.2 Dérivées des exposants fractionnaires117
- 11.2 Dérivées des fonctions réciproques119
- 11.3 Un exemple de calcul infinitésimal120
- 11.4 Dérivée de l'exponentielle complexe121
- 11.5 Dérivées partielles121
- 11.5.1 Fonctions de plusieurs variables121
- 11.5.2 Dérivées partielles .122
- Exercices123
- Chapitre 12 : Exponentielles et logarithmes 127
- 12.1 Fonctions exponentielles127
- 12.1.1 Définition et propriété fondamentale127
- 12.1.2 Dérivée des fonctions exponentielles128
- 12.1.3 Limites et formes indéterminées129
- 12.1.4 Fonction exponentielle complexe130
- 12.2 Fonctions logarithmes131
- 12.2.1 Définition et exemples131
- 12.2.2 Propriété fondamentale132
- 12.2.3 Le rôle central du logarithme népérien133
- 12.3 Trigonométrie hyperbolique134
- 12.3.1 Définition et formules d'addition134
- 12.3.2 Dérivées et représentations graphiques136
- Exercices137
- Module 2 Fonctions de variable réelle141
- Chapitre 13 : Représentations graphiques 143
- 13.1 Plan général d'étude d'une fonction143
- 13.2 Ensemble de définition d'une fonction144
- 13.3 Réduction de l'ensemble d'étude145
- 13.3.1 Fonctions paires et impaires145
- 13.3.2 Fonctions périodiques146
- 13.4 Asymptotes146
- 13.5 Branches paraboliques148
- 13.6 Tangente en un point149
- 13.7 Points d'inflexion151
- Exercices152
- Chapitre 14 : Primitives 155
- 14.1 Primitives d'une fonction155
- 14.2 Calculs élémentaires de primitives157
- 14.3 Intégration par parties158
- 14.4 Primitives de fonctions trigonométriques159
- 14.5 Changement de variable160
- Exercices161
- Chapitre 15 : Intégrales 163
- 15.1 Définition et interprétation géométrique163
- 15.2 Propriétés élémentaires des intégrales165
- 15.3 Intégration par parties167
- 15.4 Changement de variable168
- 15.5 Applications du calcul intégral169
- 15.5.1 Volume de la sphère169
- 15.5.2 Surface de la sphère169
- 15.5.3 Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle170
- Exercices171
- Chapitre 16 : Equations différentielles homogènes 175
- 16.1 Equation linéaire homogène du premier ordre175
- 16.2 Equation de l'oscillateur harmonique176
- 16.3 Equation du second ordre (cas général)178
- 16.4 Exemple de système différentiel linéaire179
- 16.5 Amortissement et oscillations libres180
- 16.5.1 Equation du premier ordre180
- 16.5.2 Equation du second ordre181
- Exercices182
- Chapitre 17 : Equations différentielles non homogènes 185
- 17.1 Principe général de résolution185
- 17.2 Second membre constant186
- 17.3 Second membre sinusoïdal186
- 17.3.1 Première méthode186
- 17.3.2 Deuxième méthode187
- 17.4 Principe de superposition187
- 17.5 Solution permanente et solution transitoire188
- Exercices189
- Chapitre 18 : Autres équations différentielles 191
- 18.1 Equations à variables séparables191
- 18.2 Méthode de variation de la constante192
- 18.3 Changement de fonction inconnue194
- 18.4 Changement de variable196
- 18.5 Problème de Cauchy197
- Exercices198
- Chapitre 19 : Développements limités 201
- 19.1 Exemple et définition201
- 19.2 Formule de Taylor-Young202
- 19.3 Développements limités et approximations204
- 19.4 Opérations sur les développements limités204
- 19.4.1 Substitutions élémentaires204
- 19.4.2 Addition de développements limités205
- 19.4.3 Multiplication de deux développements limités206
- 19.4.4 Intégration des développements limités206
- 19.4.5 Substitutions non élémentaires207
- 19.5 Généralisations208
- 19.5.1 Développement limité au voisinage de a208
- 19.5.2 Développements asymptotiques209
- Exercices210
- Module 3 Mathématiques discrètes213
- Chapitre 20 : Nombres entiers et arithmétique 215
- 20.1 Entiers naturels et récurrence215
- 20.2 Entiers relatifs et division euclidienne217
- 20.2.1 Multiples et diviseurs217
- 20.2.2 Division euclidienne dans Z219
- 20.3 Théorème de Bézout et conséquences221
- 20.4 Nombres premiers223
- 20.5 Congruences225
- Exercices227
- Chapitre 21 : Analyse combinatoire 231
- 21.1 Coefficients binomiaux et triangle de Pascal231
- 21.2 Formule du binôme de Newton234
- 21.3 Formule de Leibniz236
- 21.4 Arrangements, permutations, combinaisons237
- Exercices239
- Chapitre 22 : Suites classiques 243
- 22.1 Suites arithmétiques243
- 22.2 Suites géométriques245
- 22.3 Récurrences linéaires du second ordre247
- 22.4 Sommes et produits de termes consécutifs250
- 22.4.1 Formules sommatoires250
- 22.4.2 Sommes télescopiques252
- 22.4.3 Opérations sur les sommes discrètes253
- 22.4.4 Produits de termes consécutifs254
- 22.5 Sommes et produits d'égalités255
- 22.6 Suites et sommes doubles257
- Exercices258
- Chapitre 23 : Suites convergentes 263
- 23.1 Qu'est-ce qu'une suite convergente ?263
- 23.1.1 Exemples de suites de nombres réels convergentes263
- 23.1.2 Définition mathématique d'une suite convergente266
- 23.1.3 Suites divergentes267
- 23.2 Convergence d'une suite géométrique268
- 23.3 Théorème des suites monotones269
- 23.4 Théorème des suites adjacentes272
- 23.5 Suites extraites273
- Exercices273
- Module 4 Algèbre277
- Chapitre 24 : Langage de la logique et des ensembles 279
- 24.1 Langage de la logique279
- 24.1.1 Proposition logique279
- 24.1.2 Conjonction, disjonction, négation280
- 24.1.3 Implication et équivalence280
- 24.1.4 Raisonnements par contraposition et par l'absurde282
- 24.1.5 Quantificateurs282
- 24.2 Ensembles et algèbre de Boole283
- 24.2.1 Notion d'ensemble283
- 24.2.2 Inclusion283
- 24.2.3 Intersection et réunion284
- 24.2.4 Produit cartésien285
- 24.2.5 Relations d'ordre et d'équivalence285
- 24.3 Cardinal d'un ensemble fini287
- 24.4 Application d'un ensemble dans un autre288
- 24.4.1 Applications et fonctions288
- 24.4.2 Composition des applications289
- 24.4.3 Image d'un ensemble par une application290
- 24.5 Injections, surjections et bijections290
- 24.5.1 Injections et surjections290
- 24.5.2 Bijections291
- Exercices293
- Chapitre 25 : Equations et polynômes 295
- 25.1 Equations295
- 25.1.1 Racines n-ièmes d'un nombre complexe295
- 25.1.2 Racines carrées d'un nombre complexe297
- 25.1.3 Equation du second degré dans C297
- 25.2 Polynômes298
- 25.2.1 Division euclidienne des polynômes298
- 25.2.2 Racines d'un polynôme et factorisation301
- 25.2.3 Racines simples et racines multiples302
- 25.2.4 Théorème de d'Alembert303
- 25.2.5 Relations entre coefficients et racines304
- 25.2.6 Factorisation dans R[x]305
- 25.3 Compléments306
- 25.3.1 Algorithme de Horner306
- 25.3.2 Dérivée formelle d'un polynôme307
- 25.3.3 Formules de Leibniz et Taylor309
- Exercices310
- Chapitre 26 : Fractions rationnelles 313
- 26.1 Décomposition en éléments simples313
- 26.2 Calcul de la partie entière316
- 26.3 Cas des pôles réels316
- 26.3.1 Pôles réels simples316
- 26.3.2 Pôles réels doubles317
- 26.4 Eléments simples de deuxième espèce318
- 26.5 Primitives des fractions rationnelles319
- 26.5.1 Un exemple élémentaire319
- 26.5.2 Primitives des éléments simples de deuxième espèce320
- Exercices321
- Chapitre 27 : Groupes, anneaux et corps 323
- 27.1 Groupes323
- 27.2 Sous-groupes325
- 27.3 Permutations et groupe symétrique326
- 27.3.1 Définition et exemples326
- 27.3.2 Groupe symétrique327
- 27.4 Anneaux329
- 27.4.1 Définition et exemples329
- 27.4.2 Sous-anneaux331
- 27.5 Corps331
- Exercices332
- Chapitre 28 : Théorie des déterminants 337
- 28.1 Définition d'un déterminant337
- 28.2 Calcul pratique des déterminants339
- 28.2.1 Interversion de lignes ou de colonnes339
- 28.2.2 Développement d'un déterminant340
- 28.2.3 Linéarité des déterminants341
- 28.3 Déterminant de Vandermonde342
- 28.4 Formules de Cramer344
- Exercices346
- Module 5 Compléments d'analyse349
- Chapitre 29 : Limites et équivalents 351
- 29.1 Limites et formes indéterminées351
- 29.2 Comparaison locale de deux fonctions353
- 29.2.1 Equivalents et limites353
- 29.2.2 Opérations sur les équivalents355
- 29.2.3 Suites équivalentes357
- 29.3 Deux techniques de calcul de limites357
- 29.3.1 Changement de variable357
- 29.3.2 Théorème d'encadrement357
- 29.4 Définition mathématique d'une limite358
- Exercices360
- Chapitre 30 : Continuité et dérivabilité 363
- 30.1 Partie entière et valeur absolue363
- 30.1.1 Partie entière d'un nombre réel363
- 30.1.2 Valeur absolue364
- 30.2 Généralités sur les fonctions continues365
- 30.2.1 Définition et exemples365
- 30.2.2 Opérations sur les fonctions continues366
- 30.2.3 Prolongement par continuité366
- 30.3 Fonctions continues sur un intervalle367
- 30.4 Généralités sur les fonctions dérivables370
- 30.4.1 Dérivabilité à gauche et à droite370
- 30.4.2 Fonctions de classe Cn371
- 30.5 Fonctions dérivables sur un intervalle372
- 30.5.1 Dérivée en un extremum372
- 30.5.2 Théorèmes de Rolle et des accroissements finis373
- 30.5.3 Inégalités des accroissements finis374
- 30.6 Continuité uniforme376
- 30.7 Nombres réels et continuité377
- Exercices378
- Chapitre 31 : Compléments de calcul intégral 381
- 31.1 Fonctions continues par morceaux381
- 31.2 Majoration des intégrales383
- 31.3 Intégrale fonction de sa borne du haut386
- 31.4 Formule de Taylor avec reste intégral388
- 31.5 Intégrales de Wallis390
- 31.6 Théorie de l'intégrale de Riemann392
- Exercices399
- Chapitre 32 : Séries 403
- 32.1 Définition et exemples403
- 32.2 Critère grossier de divergence406
- 32.3 Séries à termes positifs406
- 32.4 Absolue convergence410
- 32.5 Théorème des séries alternées412
- 32.6 Séries et bases de numération412
- 32.7 Séries doubles414
- Exercices418
- Chapitre 33 : Fonctions de deux variables 423
- 33.1 Représentation graphique, limites et continuité423
- 33.2 Dérivées partielles et différentiabilité426
- 33.3 Gradient en un point428
- 33.4 Extremums des fonctions de deux variables431
- 33.4.1 Plan tangent et points critiques431
- 33.4.2 Extremums d'une fonction de deux variables432
- 33.4.3 Méthode des moindres carrés434
- 33.5 Changement de variable436
- 33.5.1 Variables liées436
- 33.5.2 Dérivation en chaîne437
- 33.6 Equations aux dérivées partielles439
- 33.7 Parties fermées bornées441
- Exercices442
- Chapitre 34 : Introduction à l'analyse numérique 447
- 34.1 Analyse numérique et algorithmes447
- 34.2 Méthodes de dichotomie et de Lagrange448
- 34.2.1 Méthode de dichotomie448
- 34.2.2 Méthode de Lagrange450
- 34.3 Calcul numérique des intégrales452
- 34.3.1 Méthode des rectangles452
- 34.3.2 Méthode des trapèzes453
- 34.3.3 Méthode de Simpson454
- 34.4 Méthodes d'Euler et de Runge-Kutta455
- 34.4.1 Méthode d'Euler455
- 34.4.2 Méthode de Runge-Kutta d'ordre 2456
- 34.5 Rapidité de convergence et approximation457
- Exercices459
- Module 6 Calcul matriciel et algèbre linéaire461
- Chapitre 35 : Matrices 463
- 35.1 Premières notions sur les matrices463
- 35.1.1 Définition des matrices463
- 35.1.2 Addition et multiplication par un scalaire464
- 35.1.3 Multiplication matricielle464
- 35.1.4 Transposition467
- 35.2 Interprétation matricielle des systèmes d'équations linéaires468
- 35.3 Algèbre des matrices carrées469
- 35.3.1 Introduction469
- 35.3.2 Formule du binôme de Newton470
- 35.3.3 Matrices carrées inversibles471
- 35.3.4 Calcul de l'inverse par inversion de système472
- 35.3.5 Déterminant et comatrice474
- Exercices476
- Chapitre 36 : Méthode du pivot de Gauss 481
- 36.1 Etude d'un exemple481
- 36.2 Relations de compatibilité483
- 36.3 Inversion de matrice carrée485
- Exercices486
- Chapitre 37 : Vecteurs 489
- 37.1 Espace vectoriel Kn489
- 37.1.1 Addition de deux vecteurs490
- 37.1.2 Multiplication par un scalaire490
- 37.2 Bases de Kn491
- 37.3 Changement de base493
- 37.4 Sous-espaces vectoriels de Kn495
- Exercices498
- Chapitre 38 : Endomorphismes et matrices 501
- 38.1 Définition et exemples501
- 38.2 Matrice d'un endomorphisme dans une base503
- 38.3 Changement de base505
- 38.4 Composée de deux endomorphismes508
- Exercices509
- Chapitre 39 : Fondements de l'algèbre linéaire 513
- 39.1 Espaces vectoriels513
- 39.2 Sous-espaces vectoriels515
- 39.2.1 Définition et caractérisation515
- 39.2.2 Intersection de sous-espaces vectoriels517
- 39.3 Bases d'un espace vectoriel518
- 39.3.1 Définition et exemples fondamentaux518
- 39.3.2 Familles libres et familles génératrices519
- 39.3.3 Bases et dimension522
- 39.4 Rang d'une famille de vecteurs523
- 39.5 Sommes de sous-espaces vectoriels525
- 39.5.1 Définition et propriétés525
- 39.5.2 Somme directe527
- 39.5.3 Sous-espaces supplémentaires528
- 39.6 Compléments théoriques529
- 39.6.1 Théorème de la base incomplète529
- 39.6.2 Sous-espaces en dimension finie532
- Exercices533
- Chapitre 40 : Applications linéaires 537
- 40.1 Introduction537
- 40.2 Noyau d'une application linéaire539
- 40.3 Matrice d'une application linéaire541
- 40.3.1 Définition et exemples541
- 40.3.2 Opérations sur les matrices542
- 40.4 Image d'une application linéaire544
- 40.5 Théorème du rang545
- 40.6 Projecteurs et symétries547
- Exercices549
- Chapitre 41 : Espaces euclidiens 553
- 41.1 Produit scalaire et orthogonalité553
- 41.1.1 Espaces préhilbertiens réels553
- 41.1.2 Norme d'un vecteur554
- 41.1.3 Orthogonalité556
- 41.2 Espaces euclidiens556
- 41.2.1 Bases orthonormales556
- 41.2.2 Orthogonal d'un sous-espace vectoriel558
- 41.2.3 Rotations de l'espace R3559
- 41.2.4 Matrices orthogonales560
- 41.3 Algorithme de Gram-Schmidt562
- Exercices563
- Module 7 Probabilités567
- Chapitre 42 : Fondements du calcul des probabilités 569
- 42.1 Epreuves et évènements569
- 42.2 Espaces probabilisés571
- 42.2.1 Définition571
- 42.2.2 Equiprobabilité573
- 42.3 Probabilités conditionnelles575
- 42.4 Indépendance577
- Exercices578
- Chapitre 43 : Variables aléatoires discrètes finies 583
- 43.1 Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?583
- 43.2 Variables aléatoires discrètes finies584
- 43.2.1 Loi de probabilité584
- 43.2.2 Espérance, variance et écart-type585
- 43.2.3 Fonctions de variables aléatoires587
- 43.3 Modèles probabilistes discrets588
- 43.3.1 Loi uniforme588
- 43.3.2 Loi de Bernoulli589
- 43.3.3 Loi binomiale590
- 43.4 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev592
- Exercices593
- Chapitre 44 : Couples de variables aléatoires 597
- 44.1 Couples de variables aléatoires597
- 44.2 Sommes de variables aléatoires600
- 44.3 Coefficient de corrélation linéaire601
- 44.4 Variables aléatoires indépendantes603
- 44.5 Loi des grands nombres605
- Exercices607
- Solutions des exercices 611
- Exercices du module 1611
- Exercices du module 2667
- Exercices du module 3705
- Exercices du module 4731
- Exercices du module 5760
- Exercices du module 6799
- Exercices du module 7841
- Index863
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Origine de la notice:
- FR-751131015 ;
- Electre
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Disponible - 510 TOU
Niveau 2 - Sciences
