Mesure, intégration, probabilités : cours avec plus de 300 exercices corrigés

Auteur(s) :

Gallouët, Thierry (1953-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Etude de la théorie de l'intégration se basant sur la théorie de Lebesgue et la transformation de Fourier, ainsi que sur les probabilités et les espaces de fonctions intégrables. L'édition est augmentée de théorèmes et de corrigés supplémentaires, ainsi que de nouveaux exercices. ©Electre 2022

Autre(s) auteur(s)
- Herbin, Raphaële
Éditeur(s)
- Ellipses
- Impr. Présence graphique
Date
- DL 2022
Notes
- Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (682 p.) : ill. ; 24 cm
Collections
- Références sciences
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-340-07530-6
Indice
- 519 Probabilités et statistiques mathématiques
Quatrième de couverture
- Mesure, intégration, probabilités
  Cours avec plus de 300 exercices corrigés
  Cet ouvrage est consacré à la théorie de l'intégration au sens de Lebesgue et à certains développements comme les espaces de fonctions intégrables, la transformation de Fourier et les probabilités.
  La majeure partie de cet ouvrage est consacrée aux exercices, dont les corrigés sont très détaillés, et donnés en lien avec les questions pour en faciliter la lecture. Certains exercices sont une aide à la compréhension du cours, d'autres en sont des compléments.
  Ce livre s'adresse d'abord aux étudiants qui découvrent ces notions (le plus souvent en troisième année de Licence de mathématiques ou en première année de Master). Mais l'attention particulière portée aux liens entre l'analyse et les probabilités, ainsi que le traitement de notions avancées en exercices, pourront rendre également cet ouvrage utile aux futurs enseignants de mathématiques ou aux doctorants.
  Cette deuxième édition comporte 82 pages supplémentaires, dont quelques théorèmes et corrigés d'exercices ainsi que de nouveaux exercices.
Tables des matières
- - 1 Motivation et objectifs9
  - 1.1 Intégrale des fonctions continues9
  - 1.2 Insuffisance de l'intégrale des fonctions continues12
  - 1.3 Les probabilités15
  - 1.4 Objectifs15
  - 1.5 Structure du cours16
  - 1.6 Exercices17
  - 2 Tribus et mesures39
  - 2.1 Introduction39
  - 2.2 Tribu ou σ-algèbre40
  - 2.3 Mesure, probabilité45
  - 2.4 Mesure signée52
  - 2.5 La mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens56
  - 2.6 Indépendance et probabilité conditionnelle67
  - 2.7 Exercices73
  - 3 Fonctions mesurables, variables aléatoires115
  - 3.1 Introduction, topologie sur ℝ₊115
  - 3.2 Fonctions étagées117
  - 3.3 Fonctions mesurables et variables aléatoires119
  - 3.4 Mesure image, loi d'une v.a., v.a. indépendantes126
  - 3.5 Convergence p.p., p.s., en mesure, en probabilité130
  - 3.6 Exercices133
  - 4 Fonctions intégrables169
  - 4.1 Intégrale d'une fonction étagée positive170
  - 4.2 Intégrale d'une fonction mesurable positive172
  - 4.3 Convergence monotone et lemme de Fatou177
  - 4.4 Mesures et probabilités de densité180
  - 4.5 L'espace L¹ des fonctions intégrables181
  - 4.6 L'espace L¹185
  - 4.7 Théorèmes de convergence dans L¹189
  - 4.8 Continuité et dérivabilité sous le signe intégrale195
  - 4.9 Espérance et moments des variables aléatoires196
  - 4.10 Espace L¹_c(E, T, m) et espace L¹_ℝN(E, T, m)201
  - 4.11 Exercices204
  - 5 Intégrale sur les boréliens de ℝ263
  - 5.1 Intégrale de Lebesgue et intégrale des fonctions continues263
  - 5.2 Mesures abstraites et mesures de Radon265
  - 5.3 Changement de variable, densité et continuité272
  - 5.4 Intégrales impropres des fonctions de ℝ dans ℝ276
  - 5.5 Exercices276
  - 6 Les espaces L^p297
  - 6.1 Définitions et premières propriétés297
  - 6.2 Analyse hilbertienne et espace L2311
  - 6.3 Dualité dans les espaces L^p, 1 ≤ p ≤∞334
  - 6.4 Convergence faible, faible-*, étroite, en loi343
  - 6.5 Exercices357
  - 7 Produits d'espaces mesurés461
  - 7.1 Motivation461
  - 7.2 Mesure produit462
  - 7.3 Théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini467
  - 7.4 Mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens de ℝ^N472
  - 7.5 Convolution475
  - 7.6 Formules de changement de variable481
  - 7.7 Exercices483
  - 8 Densité, séparabilité et compacité527
  - 8.1 Théorèmes de densité pour les espaces L^p(Ω)527
  - 8.2 Séparabilité de L^p(Ω)532
  - 8.3 Compacité dans les espaces L^p(Ω)532
  - 8.4 Compacité faible-*534
  - 8.5 Exercices537
  - 9 Vecteurs aléatoires551
  - 9.1 Définition, propriétés élémentaires551
  - 9.2 Indépendance557
  - 9.3 Vecteurs gaussiens561
  - 9.4 Exercices564
  - 10 Transformation de Fourier583
  - 10.1 Introduction et notations583
  - 10.2 Transformation de Fourier dans L¹584
  - 10.3 Transformée de Fourier d'une mesure signée589
  - 10.4 Transformation de Fourier dans L²591
  - 10.5 Résolution d'une E.D.O ou d'une E.D.P594
  - 10.6 Fonction caractéristique d'un vecteur aléatoire595
  - 10.7 Exercices602
  - 11 Espérance conditionnelle et martingales629
  - 11.1 Espérance conditionnelle629
  - 11.2 Martingales638
  - 11.3 Exercices641
  - Références 675
  - Index 677
Origine de la notice:
- FR-751131015 ;
- Electre