Mathématiques supérieures : cours. Tome 2

Auteur(s) :

Gewirtz, Alexander Découvrir l'auteur

Résumé

Un cours abordant notamment les barycentres, les outils vectoriels, les probabilités sur un univers fini ou la géométrie élémentaire dans le plan et dans l'espace. ©Electre 2023

Éditeur(s)
- EDP sciences
Date
- DL 2023
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (507 p.) : couv. ill. en coul. ; 24 cm
Collections
- Collection Enseignement sup. Mathématiques
Autre(s) édition(s)
- Mathématiques supérieures :
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-7598-2789-3
Indice
- 510 Traités, manuels et cours de mathématiques
Quatrième de couverture
- Ce livre est inspiré des cours de mathématiques proposés à l'institut franco-chinois de l'énergie nucléaire (IFCEN), situé à Zhuhai dans la province du Guangdong en Chine.
  L'objectif de ce second tome est de consolider et d'approfondir les connaissances fondamentales en algèbre linéaire (théorie de la dimension et des matrices) et multilinéaire (déterminants et produits scalaires), en analyse (dérivation et développements limités, intégration, fonctions convexes, séries réelles). Il a aussi pour but d'initier le lecteur à la théorie « abstraite » des probabilités (discrètes ici) et de le sensibiliser aux problèmes de permutation de limite (abordé ici dans le cadre des séries « doubles »). La volonté de ne pas séparer algèbre et analyse en deux tomes différents s'inscrit dans une démarche pédagogique visant à briser l'idée que ces domaines sont disjoints et comprendre que des techniques « algébriques » peuvent s'appliquer pour des questions d'analyse et réciproquement.
  Ce livre a été rédigé comme support de cours pour les étudiants de l'IFCEN mais aussi comme outil de travail pour des élèves de classes préparatoires ou de premier cycle universitaire. Il pourra d'ailleurs également intéresser les candidats aux concours de recrutement des enseignants.
  Ainsi, les prérequis pour chaque chapitre sont explicitement donnés, les preuves des propriétés sont complètes et très détaillées, de nombreux exemples et exercices d'applications directes sont donnés et enfin, de nombreux points méthodes sont indiqués. En complément une large sélection d'exercices (de difficulté variable) est proposée à la fin de chaque chapitre, permettant ainsi de « pratiquer » ce qui a été appris et proposant parfois une ouverture sur des sujets plus avancés. Enfin, certains chapitres proposent également une annexe avec des compléments pour les étudiants désireux d'approfondir leurs connaissances en mathématiques.
Tables des matières
- - Mathématiques Supérieures
  - Cours - Tome 2
  - Alexander Gewirtz
  - EDP Sciences
  - Chapitre 1 Dérivation et développements limités8
  - 1.1 Nombre dérivé en un point9
  - 1.1.1 Définition9
  - 1.1.2 Interprétations graphique et cinématique11
  - 1.1.3 Développement limité d'ordre 112
  - 1.2 Fonction dérivée13
  - 1.2.1 Définition13
  - 1.2.2 Opérations sur les fonctions dérivables14
  - 1.2.3 Dérivée d'une bijection réciproque21
  - 1.2.4 Dérivées successives et formule de Leibniz22
  - 1.3 Étude globale des fonctions dérivables à valeurs réelles28
  - 1.3.1 Caractérisation des extrema locaux28
  - 1.3.2 Théorème de Rolle29
  - 1.3.3 Egalité et inégalité des accroissements finis35
  - 1.3.4 Application aux variations d'une fonction39
  - 1.3.5 Applications aux suites récurrentes de la forme U_n+1 = f(U_n)42
  - 1.3.6 Théorème de prolongement43
  - 1.4 Définition et propriétés des développements limités47
  - 1.5 Opérations sur les développements limités50
  - 1.5.1 Somme et produit50
  - 1.5.2 Inverse51
  - 1.5.3 Intégration et dérivation d'un DL53
  - 1.6 Formules de Taylor55
  - 1.6.1 Formule de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange55
  - 1.6.2 Formule de Taylor-Young57
  - 1.6.3 Formule (ou égalité) de Taylor-Lagrange58
  - 1.6.4 Application aux fonctions usuelles60
  - 1.7 Applications des développements limités63
  - 1.7.1 Étude des limites ou recherche d'équivalent63
  - 1.7.2 Étude de position d'une courbe par rapport à sa tangente65
  - 1.7.3 Développement asymptotique et étude de position par rapport à une asymptote65
  - 1.7.4 Recherche d'extremum66
  - 1.7.5 Nature d'un point stationnaire d'une courbe paramétrée67
  - 1.8 Exercices68
  - Chapitre 2 Espaces vectoriels de dimension finie77
  - 2.1 Familles de vecteurs78
  - 2.1.1 Famille libre78
  - 2.1.2 Famille génératrice86
  - 2.1.3 Base d'un espace vectoriel88
  - 2.1.4 Caractérisation d'une application linéaire par l'image d'une base92
  - 2.2 Dimension d'un espace vectoriel96
  - 2.2.1 Définition et exemples96
  - 2.2.2 Théorèmes de la dimension et de la base incomplète96
  - 2.2.3 Dimension d'un espace vectoriel et caractérisation des bases101
  - 2.3 Propriétés de la dimension107
  - 2.3.1 Dimensions d'un produit cartésien et d'une somme directe107
  - 2.3.2 Dimension d'un sous-espace vectoriel109
  - 2.3.3 Dimension d'une somme de deux espaces111
  - 2.3.4 Caractérisation des sommes directes et des sous-espaces supplémentaires par les bases114
  - 2.3.5 Rang d'une famille de vecteurs115
  - 2.4 Théorème du rang117
  - 2.4.1 Définition du rang d'une application linéaire117
  - 2.4.2 Théorème du rang119
  - 2.4.3 Caractérisation des isomorphismes et des éléments inversibles de L(E)122
  - 2.5 Exercices124
  - 2.6 Annexe129
  - 2.6.1 Démonstration du théorème fondamental de la théorie de la dimension129
  - Chapitre 3 Matrices131
  - 3.1 Définition d'une matrice132
  - 3.2 Opérations sur les matrices133
  - 3.2.1 Structure d'espace vectoriel133
  - 3.2.2 Base canonique de M_n,p(K)134
  - 3.2.3 Produit matriciel136
  - 3.2.4 Transposition139
  - 3.3 Matrices carrées140
  - 3.3.1 Algèbre M_n(K)140
  - 3.3.2 Matrices carrées inversibles et groupe GL_n(K)142
  - 3.3.3 Sous-ensembles remarquables de M_n(K)145
  - 3.3.3.a Matrices diagonales145
  - 3.3.3.b Matrices triangulaires147
  - 3.3.3.c Matrices symétriques et antisymétriques150
  - 3.4 Matrices et applications linéaires151
  - 3.4.1 Définition de la matrice d'une application linéaire relativement à deux bases151
  - 3.4.2 Propriétés élémentaires des matrices d'applications linéaires155
  - 3.4.3 Isomorphisme canonique de L(K^p,Kⁿ) sur M_n,p(K)157
  - 3.4.4 Cas des formes linéaires : équations cartésiennes d'un hyperplan161
  - 3.5 Matrice d'un endomorphisme162
  - 3.5.1 Définition et isomorphisme de L(E) sur M_n(K)162
  - 3.5.2 Matrice d'une famille finie de vecteurs dans une base168
  - 3.5.3 Matrice de passage et changements de bases169
  - 3.6 Rang d'une matrice et opérations élémentaires173
  - 3.6.1 Définition du rang d'une matrice et première caractérisation173
  - 3.6.2 Opérations élémentaires sur les lignes (ou les colonnes)176
  - 3.6.3 Méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang d'une matrice (ou l'inverse d'une matrice)182
  - 3.7 Matrices équivalentes, matrices semblables et trace d'une matrice carrée191
  - 3.7.1 Matrices équivalentes191
  - 3.7.2 Matrices semblables192
  - 3.7.3 Trace d'une matrice carrée et trace d'un endomorphisme193
  - 3.8 Exercices196
  - Chapitre 4 Intégration des fonctions d'une variable réelle203
  - 4.1 Intégration sur un segment d'une fonction en escalier204
  - 4.1.1 Fonction en escalier204
  - 4.1.2 Intégrale sur un segment d'une fonction en escalier207
  - 4.1.3 Propriétés de l'intégrale209
  - 4.1.3.a Linéarité209
  - 4.1.3.b Monotonie210
  - 4.1.3.c Relation de Chasles211
  - 4.2 Intégrale sur un segment d'une fonction continue par morceaux211
  - 4.2.1 Fonctions continues par morceaux et approximation uniforme par des fonctions en escalier211
  - 4.2.2 Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux214
  - 4.2.3 Extension aux fonctions à valeurs complexes216
  - 4.2.4 Linéarité, monotonie et relation de Chasles216
  - 4.2.5 Valeur moyenne et inégalité de la moyenne222
  - 4.2.6 Cas des fonctions continues : produit scalaire usuel sur C⁰([a,b] , R) et inégalité de Cauchy-Schwarz224
  - 4.3 Approximation de l'intégrale227
  - 4.3.1 Sommes de Riemann227
  - 4.3.2 Méthode des rectangles pour approcher une intégrale231
  - 4.3.3 Méthodes des trapèzes233
  - 4.4 Intégration et dérivation238
  - 4.4.1 Primitive d'une fonction continue238
  - 4.4.2 Fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque239
  - 4.4.3 Intégrale de la borne supérieure et théorème fondamental240
  - 4.5 Calcul d'intégrales et de primitives243
  - 4.5.1 Intégration par parties243
  - 4.5.2 Changement de variable244
  - 4.5.3 Cas des fonctions rationnelles246
  - 4.5.4 Fonctions rationnelles en sinus et cosinus250
  - 4.5.5 Autres exemples254
  - 4.6 Intégrale généralisée sur un intervalle quelconque255
  - 4.6.1 Définition de la convergence d'une intégrale généralisée255
  - 4.6.2 Propriétés élémentaires260
  - 4.6.3 Cas particulier des fonctions positives262
  - 4.6.4 Intégrales de référence264
  - 4.6.5 Critères de convergence pour les fonctions positives267
  - 4.6.6 Parties réelles et imaginaires, absolue convergence et lien avec la convergence270
  - 4.6.7 Bilan sur les méthodes273
  - 4.6.8 Extension aux fonctions continues sur un intervalle sauf en un nombre fini de points281
  - 4.7 Exercices283
  - 4.8 Annexe290
  - 4.8.1 Démonstration du théorème d'approximation290
  - 4.8.2 Compléments sur les sommes de Riemann292
  - Chapitre 5 Séries numériques294
  - 5.1 Généralités sur les séries295
  - 5.1.1 Définitions et vocabulaire des séries295
  - 5.1.2 Convergence, divergence, divergence grossière et convergence absolue296
  - 5.1.3 Opérations sur les séries convergentes299
  - 5.2 Séries à termes positifs300
  - 5.2.1 Convergence, divergence et comparaison des termes généraux300
  - 5.2.2 Comparaison série-intégrale304
  - 5.2.3 Séries positives de référence312
  - 5.2.4 Critère de d'Alembert314
  - 5.3 Séries réelles317
  - 5.3.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes317
  - 5.3.2 Critère spécial pour les séries alternées318
  - 5.3.3 Séries et sommes réelles de référence322
  - 5.3.4 Bilan des méthodes d'étude des séries réelles325
  - 5.4 Séries complexes329
  - 5.4.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes329
  - 5.4.2 Séries complexes de référence330
  - 5.5 Familles sommables et théorèmes de Fubini331
  - 5.5.1 Notion de dénombrabilité331
  - 5.5.2 Familles sommables de nombres réels positifs337
  - 5.5.3 Séries doubles à termes positifs341
  - 5.5.4 Familles sommables de nombres complexes347
  - 5.5.5 Séries doubles complexes351
  - 5.6 Exercices361
  - 5.7 Annexe366
  - 5.7.1 Transformation d'Abel et critère pour les séries trigonométriques366
  - 5.7.2 Théorème d'associativité pour les familles sommables371
  - Chapitre 6 Probabilités discrètes375
  - 6.1 Notion de tribu et définition d'une probabilité376
  - 6.2 Mesure de probabilité conditionnelle et formule des probabilités totales383
  - 6.3 Variable aléatoire réelle et loi de probabilité385
  - 6.4 Indépendance d'événements ou de variables aléatoires388
  - 6.5 Définition d'une probabilité discrète390
  - 6.6 Variables aléatoires discrètes392
  - 6.7 Espérance, variance et moments396
  - 6.8 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev404
  - 6.9 Sommes de variables aléatoires discrètes usuelles et indépendantes405
  - 6.10 Calculs d'espérance ou de variance pour des variables aléatoires indépendantes407
  - 6.11 Exercices409
  - Chapitre 7 Fonctions convexes413
  - 7.1 Fonctions convexes414
  - 7.1.1 Définition et interprétation graphique414
  - 7.1.2 Caractérisation de la convexité par la pente des cordes416
  - 7.1.3 Caractérisation de la convexité lorsque f est dérivable418
  - 7.1.4 Régularité des fonctions convexes420
  - 7.2 Inégalités de convexité421
  - 7.2.1 Inégalité généralisée de convexité421
  - 7.2.2 Moyennes arithmétique, géométrique et harmonique423
  - 7.3 Exercices424
  - Chapitre 8 Déterminants et systèmes linéaires425
  - 8.1 Définition du déterminant426
  - 8.1.1 Formes n-linéaires, formes alternées et antisymétriques426
  - 8.1.2 Caractérisation des formes n-linéaires alternées et dimension de l'espace A_n(E)429
  - 8.1.3 Définition du déterminant dans une base B et propriétés élémentaires431
  - 8.1.4 Caractérisation des bases de E par le déterminant432
  - 8.2 Déterminant d'un endomorphisme433
  - 8.2.1 Définition433
  - 8.2.2 Propriétés du déterminant et caractérisation des isomorphismes435
  - 8.3 Déterminant d'une matrice carrée436
  - 8.3.1 Définition et propriétés « simples »436
  - 8.3.2 Développement par rapport à une ligne ou une colonne439
  - 8.3.3 Opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes440
  - 8.3.4 Cas particulier : cas des matrices triangulaires441
  - 8.3.5 Lien avec le déterminant de l'application linéaire associée et conséquences442
  - 8.4 Systèmes d'équations linéaires444
  - 8.4.1 Définitions et structure des solutions444
  - 8.4.2 Rang d'un système linéaire et dimension de l'espace homogène associé445
  - 8.4.3 Cas des systèmes de Cramer et formules de Cramer445
  - 8.4.4 Méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système449
  - 8.5 Exercices453
  - Chapitre 9 Espaces euclidiens456
  - 9.1 Produit scalaire457
  - 9.1.1 Définition d'un produit scalaire et exemples457
  - 9.1.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz, norme euclidienne et distance associée . . .461
  - 9.1.3 Propriétés remarquables463
  - 9.2 Orthogonalité464
  - 9.2.1 Définitions464
  - 9.2.2 Propriétés des familles orthogonales467
  - 9.3 Espaces euclidiens469
  - 9.3.1 Définition469
  - 9.3.2 Orthogonal d'une partie et existence de bases orthonormées469
  - 9.3.3 Projecteurs orthogonaux et symétries orthogonales473
  - 9.3.4 Procédé d'orthonormalisation de Schmidt477
  - 9.3.5 Isomorphisme naturel entre E et son dual480
  - 9.4 Automorphismes orthogonaux d'un espace euclidien481
  - 9.4.1 Définition et exemples481
  - 9.4.2 Caractérisations des automorphismes orthogonaux483
  - 9.4.3 Matrices orthogonales485
  - 9.5 Automorphismes orthogonaux du plan et étude des groupes O₂(R) et SO₂(R)491
  - 9.5.1 Étude des groupes O₂(R) et SO₂(R)491
  - 9.5.2 Rotations du plan493
  - 9.5.3 Réflexions et décomposition d'une rotation en produit de deux réflexions494
  - 9.6 Automorphismes orthogonaux de l'espace et étude du groupe O₃(R)497
  - 9.6.1 Étude théorique497
  - 9.6.2 Étude pratique504
  - 9.7 Exercices506
Origine de la notice:
- Abes ;
- Electre