Mathématiques et gestion financière
Applications avec exercices corrigés
Octave Jokung Nguéna
De boeck
Remerciements7
Sommaire9
Introduction générale11
Première partie
Les concepts fondamentaux
Chapitre 1
Éléments de mathématiques financières17
1 La valeur du temps18
1.1 La capitalisation19
1.2 L'actualisation20
1.3 Périodicité de la composition. Le taux proportionnel.
Le taux équivalent22
1.4 Le taux effectif global (T.E.G.)24
1.5 Les intérêts simples. Les intérêts précomptés.
Les intérêts post-comptés24
1.6 Les titres de créances négociables (T.C.N.)25
1.7 La prise en compte de l'inflation26
1.8 L'additivité de la valeur actuelle27
2 Les suites de flux monétaires29
2.1 Les annuités constantes30
2.1.1 Valeur acquise par une suite d'annuités constantes
30
2.1.2 Valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes
31
2.2 Les annuités en progression arithmétique33
2.2.1 Valeur acquise par une suite d'annuités en progression arithmétique
33
2.2.2 Valeur actuelle d'une suite d'annuités en progression arithmétique
34
2.3 Les annuités en progression géométrique35
2.3.1 Valeur acquise par une suite d'annuités en progression géométrique
35
2.3.2 Valeur actuelle d'une suite d'annuités en progression géométrique
36
2.4 La rente perpétuelle37
3 Les emprunts indivis37
3.1 Généralités38
3.2 Les règles générales39
3.3 Amortissement par annuités constantes41
3.4 Amortissement par remboursements constants
ou séries égales42
3.5 Amortissement in fine43
4 Exercices45
4.1 Énoncés45
4.2 Solutions47
Chapitre 2
Le rendement et le risque59
1 L'attitude vis-à-vis du risque
1.1 Le critère de l'espérance d'utilité61
1.1.1 Le paradoxe de Saint-Petersbourg
61
1.1.2 L'axiomatique de von Neumann et Morgenstern
63
1.2 L'aversion vis-à-vis du risque64
1.2.1 Définition
64
1.2.2 Aversion vis-à-vis du risque et concavité de la fonction d'utilité
66
1.3 Aversion absolue pour le risque. Équivalent certain. Prime de risque68
1.3.1 L'équivalent certain
68
1.3.2 Le prix de vente
69
1.3.3 La prime de risque
70
1.3.4 L'aversion absolue pour le risque
70
1.4 Les fonctions d'utilité classiques72
1.4.1 La fonction d'utilité décrivant la neutralité pour le risque
72
1.4.2 La fonction d'utilité décrivant une aversion absolue pour le risque constante
72
1.4.3 La fonction d'utilité décrivant une aversion relative pour le risque unitaire
72
1.4.4 La fonction d'utilité quadratique
72
1.5 Le concept de prudence73
1.5.1 De l'aversion à la prudence
73
1.5.2 Du monorisque au multirisque
75
2 Espérance-variance
2.1 L'espérance de rentabilité77
2.2 La variance et l'écart-type de la rentabilité78
2.3 La covariance et le coefficient de corrélation80
3 La gestion de portefeuille
3.1 Portefeuille à deux actifs risqués82
3.1.1 Le rendement et le risque
82
3.1.2 La frontière efficiente
85
3.2 Portefeuilles à n actifs risqués93
3.2.1 Le rendement et le risque
94
3.2.2 La frontière efficiente
95
3.3 Portefeuilles à n actifs risqués et un actif sans risque. La «Capital Market Line»98
3.4 La détermination du portefeuille optimal100
3.4.1 Les préférences des investisseurs
100
3.4.2 Le portefeuille optimal. Le théorème de séparation en deux fonds
101
4 La diversification
4.1 Le principe103
4.2 Les actifs risqués sont indépendants104
4.3 Les actifs risqués ne sont pas tous indépendants. Le risque systématique106
5 Exercices
5.1 Énoncés107
5.2 Solutions110
Chapitre 3
Les options123
1 Généralités125
1.1 Définitions et caractéristiques125
1.2 La cotation126
1.3 La valeur intrinsèque et la valeur temps de l'option128
2 Les stratégies de base131
2.1 Achat de Call131
2.2 Vente de Call132
2.3 Achat de Put134
2.4 Vente de Put135
2.5 Exemples de gestion du risque à l'aide du Call et du Put136
2.5.1 Couverture contre la hausse de titres à acquérir
137
2.5.2 Couverture contre la baisse de titres détenus
137
3 Quelques combinaisons des stratégies de base138
3.1 Straddle138
3.2 Spread140
3.3 Strangle143
3.4 Butterfly144
3.5 Condor146
4 Les déterminants du prix de l'option148
4.1 L'effet du sous-jacent149
4.2 L'effet de la volatilité du sous-jacent149
4.3 L'effet du dividende150
4.4 L'effet du prix d'exercice150
4.5 L'effet du temps152
4.6 L'effet du taux sans risque152
4.7 Synthèse152
5 Les bornes du prix de l'option. la parité Call-Put153
5.1 Les bornes supérieures153
5.2 Les bornes inférieures154
5.3 Call européen versus Call américain155
5.4 La parité Call-Put156
6 Les paramètres de gestion : les «grecs»159
6.1 Le Delta. La gestion delta-neutre159
6.2 Le gamma160
6.3 Le thêta162
6.4 Le véga162
6.5 Le rhô162
6.6 Les «grecs» d'un portefeuille162
7 Exercices162
7.1 Enoncés162
7.2 Solutions165
Deuxième partie
L'évaluation des actifs financiers
Chapitre 4
L'évaluation des obligations à taux fixe.
Le risque de taux175
1 Généralités sur les emprunts obligataires177
1.1 Définition et caractéristiques177
1.1.1 Définition
177
1.1.2 Les caractéristiques à l'émission
177
1.2 Les obligations à taux fixes180
1.2.1 Les obligations classiques
181
1.2.2 Les obligations à durée variable
181
1.2.3 Les obligations à bons de souscription
181
1.2.4 Les obligations à rallonge
181
1.2.5 Les obligations à coupon unique ou «obligation zéro coupon»
181
1.2.6 Les obligations échangeables
182
1.2.7 Les obligations convertibles
182
1.2.8 Les obligations remboursables en actions
182
1.3 Les obligations à taux indexés182
1.3.1 Les obligations à taux de référence monétaire
182
1.3.2 Les obligations à taux de référence obligataire
183
1.4 Le taux de revient. Le taux de rendement183
1.4.1 Le taux de revient de l'emprunteur
183
1.4.2 Le taux de rendement du prêteur
185
2 La gestion obligataire185
2.1 Le prix et la cotation186
2.2 L'influence du taux. Le risque de taux. La sensibilité188
2.3 La duration. L'immunisation191
2.4 La gestion duration-neutre195
2.5 La convexité197
3 La gestion actif-passif203
3.1 Définitions. Généralités204
3.2 L'immunisation du ratio de solvabilité206
3.3 L'immunisation de la valeur liquidative207
4 La structure à terme des taux208
4.1 Définitions. Structure des taux208
4.1.1 Définitions
208
4.1.2 La détermination de la structure à terme des taux
209
4.1.3 Les taux à terme
210
4.1.4 L'évaluation et les taux spots
211
4.2 Les théories explicatives de la structure des taux212
4.2.1 La théorie des anticipations
213
4.2.2 La théorie de la prime de liquidité
213
4.2.3 La théorie de la segmentation des marchés
214
5 Exercices214
5.1 Énoncés214
5.2 Solutions219
Chapitre 5
L'évaluation des actions ordinaires231
1 Généralités233
1.1 Définition233
1.2 Les principales catégories d'actions234
1.2.1 Les actions ordinaires
234
1.2.2 Les actions privilégiées
234
1.2.3 Les actions à dividende prioritaire sans droit de vote (ADPSDV)
234
1.2.4 Les actions à bons de souscription d'actions (ABSA)
235
1.2.5 Les Certificats d'investissement
235
2 Les modèles actuariels235
2.1 Le principe des modèles actuariels236
2.2 L'équation de Fisher237
2.3 Le modèle de Gordon-Shapiro238
2.4 Lien entre la croissance et la rentabilité241
2.5 Estimation du taux de croissance des bénéfices242
2.6 Généralisation du modèle de Gordon-Shapiro243
3 Les opportunités de croissance244
3.1 La mesure du potentiel de croissance245
3.2 Le cours et le potentiel de croissance246
4 Le price earning ratio (PER)248
4.1 Le multiple boursier248
4.2 Le délai de recouvrement250
4.3 Le modèle de Holt251
4.4 Le modèle de Bates251
5 Exercices253
5.1 Énoncés253
5.2 Solutions254
Chapitre 6
L'évaluation des options261
1 Évaluation par le modèle binomial263
1.1 La dynamique du sous-jacent263
1.2 Le modèle267
1.2.1 Le cas monopériodique
267
1.2.2 Le cas multipériodique des options européennes
271
1.2.3 Le cas multipériodique des options américaines
275
2 Évaluation par le modèle de Black & Scholes277
2.1 Le modèle278
2.2 Le portefeuille duplicateur de l'option281
2.3 Introduction du dividende282
2.4 La volatilité implicite283
3 Les paramètres de gestion284
3.1 Le delta et la gestion delta-neutre284
3.2 Le gamma et la gestion gamma-neutre286
3.3 Le thêta287
3.4 Le véga288
3.5 Le rhô289
3.6 Relation entre les paramètres de gestion289
4 Application des options à la gestion du risque de taux290
4.1 Le risque de taux d'intérêt290
4.1.1 Le Cap
291
4.1.2 Le Floor
292
4.1.3 Le Collar
293
4.2 Le risque de change294
5 Terme versus option296
5.1 Le marché à terme296
5.2 La couverture avec les contrats de futures298
5.3 La gestion du risque de change : terme versus option301
5.4 Une alternative aux options et au marché à terme : les contrats de swap305
6 Exercices308
6.1 Énoncés308
6.2 Solutions312
Chapitre 7
Le modèle d'équilibre des actifs financiers (MEDAF).
Le modèle de marché. L'efficience des marchés325
1 Le MEDAF. La droite de marché327
1.1 Les hypothèses327
1.1.1 Les agents
328
1.1.2 Le marché
328
1.2 La droite de marché et le bêta328
1.2.1 Le portefeuille de marché
328
1.2.2 La dérivation de la droite de marché. Le bêta
330
1.3 La SML et les modifications des conditions économiques ou internes335
1.3.1 La SML et le changement du risque
335
1.3.2 La SML et le changement du taux d'intérêt
336
1.3.3 La SML et le changement de l'attitude vis-à-vis du risque
336
2 Quelques applications du MEDAF338
2.1 Le taux d'actualisation338
2.2 Les mesures de performance338
3 Le modèle de marché341
3.1 Le modèle et ses caractéristiques342
3.2 L'estimation du bêta. La décomposition du risque346
4 Les limites du modèle de marché. L'APT348
4.1 Les limites du MEDAF348
4.2 L'Arbitrage Pricing Theory (APT)349
5 L'efficience des marchés350
5.1 La notion d'efficience de marché350
5.2 Les conséquences de l'efficience de marché352
5.3 Les tests empiriques et les anomalies352
5.3.1 Méthodologie
352
5.3.2 Les anomalies informationnelles
353
6 Exercices354
6.1 Énoncés354
6.2 Solutions357
Troisième partie
Les décisions financières stratégiques
Chapitre 8
La décision d'investissement367
1 La détermination des flux369
1.1 Le coût de l'investissement369
1.2 Le résultat engendré par l'investissement371
1.2.1 L'incidence de l'investissement sur les charges et les produits
371
1.2.2 Le cas de la cession du bien en fin de période
371
1.3 Les flux de liquidité engendrés par l'investissement372
1.3.1 Les flux d'investissement (et de désinvestissement)
372
1.3.2 Les flux d'exploitation
372
1.3.3 Les flux de liquidité
373
2 Les critères de choix375
2.1 Le «pay-back» ou délai de récupération375
2.2 Le taux de rentabilité comptable377
2.3 La Valeur Actuelle Nette (VAN)378
2.4 Le Taux Interne de Rentabilité (TIR)379
2.5 L'Indice de Profitabilité382
3 Les cas particuliers383
3.1 La comparaison de projets ayant des maturités différentes383
3.2 La méthode de l'annuité équivalente384
3.3 Les flux de liquidité du projet peuvent être réinvestis. TIR global. VAN globale385
3.4 La comparaison de projets ayant des investissements initiaux différents386
3.5 La valeur actuelle nette ajustée (VANA)387
4 La prise en compte du risque389
4.1 Analyse de la sensibilité389
4.2 Les simulations et les différents scénarios. Moyenne-variance392
4.3 Le MEDAF393
5 Les options réelles394
5.1 L'option de report394
5.2 L'option d'abandon396
5.3 L'option d'expansion398
6 Exercices399
6.1 Énoncés399
6.2 Solutions402
Chapitre 9
La décision de financement. Le coût du capital419
1 Les sources de financement421
1.1 Fonds propres d'origine interne421
1.1.1 L'autofinancement
421
1.1.2 Les cessions
422
1.2 Fonds propres d'origine externe422
1.2.1 L'augmentation de capital
422
1.2.2 Les primes et les subventions
424
1.3 Les quasi-fonds propres424
1.3.1 Les prêts participatifs
425
1.3.2 Les titres participatifs
425
1.3.3 Les titres subordonnés
425
1.3.4 Les avances en compte courant d'associés
425
1.4 Financement par fonds étrangers425
1.4.1 Emprunts auprès des établissements de crédit
425
1.4.2 Emprunts obligataires
426
1.4.3 Crédit-bail
426
2 Le coût du capital426
2.1 Le coût des fonds propres426
2.1.1 L'approche par le dividende
427
2.1.2 L'approche par le Marché
427
2.2 Le coût des dettes. Le coût du crédit-bail428
2.3 Le Coût Moyen Pondéré du Capital. Le Coût Moyen des Ressources429
2.4 Application au choix d'investissement430
2.5 Le coût marginal du capital et la décision d'investissement434
2.5.1 La courbe des opportunités d'investissement
434
2.5.2 Le coût marginal du capital
434
2.5.3 Le budget d'investissement optimal
436
3 La structure financière et ses implications437
3.1 L'effet de levier. Le coup de massue438
3.2 La valeur de l'entreprise et l'imposition444
3.2.1 En absence d'imposition
445
3.2.2 En présence d'impôt sur les sociétés
445
3.2.3 En présence d'impôt sur les sociétés et de fiscalité personnelle
447
3.3 La structure financière et le coût du capital448
3.4 La structure financière et le risque systématique450
3.5 La structure financière, le risque de faillite et les coûts d'agence452
3.6 La structure financière et la théorie des options453
4 Exercices455
4.1 Énoncés455
4.2 Solutions459
Chapitre 10
La décision de distribution. La politique de dividende473
1 Généralités474
1.1 Les dates associées au dividende475
1.2 Les restrictions475
1.2.1 La restriction sur le capital
475
1.2.2 La restriction sur les bénéfices
475
1.2.3 La restriction sur la solvabilité
475
1.3 Les différentes formes de versement475
2 La neutralité de la politique de dividende selon Modigliani
et Miller, et ses limites477
2.1 La neutralité de la politique de dividende selon Modigliani et Miller477
2.2 Les limites de la neutralité478
2.2.1 Les coûts d'émission et d'échange
478
2.2.2 La fiscalité
478
2.2.3 L'effet clientèle
479
2.2.4 Le contenu informatif
479
2.2.5 Les coûts d'agence
479
2.2.6 Les anticipations rationnelles
480
2.2.7 Synthèse
481
3 Le choix de la politique de dividende481
3.1 Les principales modalités481
3.1.1 La politique de dividende stable
481
3.1.2 La politique de dividende proportionnelle
482
3.1.3 La politique de dividende résiduelle
482
3.2 Les déterminants482
3.2.1 Les opportunités d'investissement
483
3.2.2 Le free cash-flow
484
3.2.3 La stabilité des flux de liquidité
484
3.2.4 La gouvernance
484
3.2.5 L'émission de signaux
485
4 Le rachat d'actions comme alternative au versement du dividende485
4.1 Rachat d'actions et versement de dividendes485
4.2 Les modalités487
4.2.1 «Repurchase Tender Offers»
487
4.2.2 «Open Market Repurchases»
487
4.2.3 «Privately Negociated Repurchases»
487
4.3 Le rachat d'actions : décision de distribution, de financement ou d'investissement ?487
4.3.1 Le rachat d'actions : décision de distribution
488
4.3.2 Le rachat d'actions : décision de financement
488
4.3.3 Le rachat d'actions : décision d'investissement
488
5 Exercices489
5.1 Énoncés489
5.2 Solutions491
Quatrième partie
Les décisions financières tactiques
Chapitre 11
Les fusions-acquisitions497
1 Définitions499
1.1 Fusion. Consolidation499
1.2 Offre publique d'achat (OPA). Offre publique d'échange (OPE)500
1.3 L'achat d'actifs501
1.4 Les Offres Publiques d'Achat sur les filiales501
2 L'évaluation501
2.1 Les gains de synergie502
2.1.1 Les recettes plus importantes
502
2.1.2 Les réductions de coût
503
2.1.3 Les baisses d'impôt
503
2.1.4 Amélioration de la qualité de la gestion
503
2.1.5 Acquisition d'information
503
2.1.6 Les synergies financières
503
2.1.7 La diversification
503
2.2 Analyse de l'opération de fusion-acquisition503
2.2.1 Les étapes
503
2.2.2 VAN de la fusion
504
2.2.3 Paiement en numéraire ou par actions
504
2.3 Fixation du prix de la cible506
2.4 Paiement en numéraire versus paiement en actions507
2.5 Les effets induits sur le bénéfice par action et sur le PER508
2.5.1 Effet sur le bénéfice par action
508
2.5.2 Effet sur la valeur de marché
509
2.6 Les conséquences du choix de la méthode de comptabilisation510
2.6.1 La mise en commun d'intérêts
511
2.6.2 Purchase accounting
512
3 Les résultats empiriques514
3.1 La méthodologie des études événementielles514
3.2 Les résultats515
4 Exercices516
4.1 Énoncés516
4.2 Solutions519
Chapitre 12
Les restructurations525
1 Les holdings527
1.1 Effet de levier juridique528
1.2 Effet de levier financier529
1.3 Effet de levier fiscal529
2 Les LBO530
2.1 Les différents types de LBO531
2.1.1 Leverage Management Buy Out (LMBO ou MBO)
531
2.1.2 Leverage Management Buy In (LMBI)
531
2.1.3 Leverage Buy in Management Buyout (BIMBO)
531
2.1.4 Leverage Build Up (LBU)
531
2.1.5 Management and Employee Buyout (MEBO,RES)
531
2.2 Les motivations532
2.2.1 La transmission d'entreprise
532
2.2.2 Les stratégies anti-OPA
532
2.2.3 L'asymétrie d'information et la sous-évaluation
532
2.2.4 Les coûts d'agence et la motivation des dirigeants
533
2.2.5 L'amélioration de la gestion par restructuration
533
2.3 Le processus et les acteurs533
2.3.1 La constitution des fonds
534
2.3.2 L'acquisition de la cible
534
2.3.3 La restructuration de la cible
534
2.3.4 Le retour à la cotation
535
3 Les scissions535
3.1 Définitions535
3.1.1 Le «Spin-off»
536
3.1.2 Le «Split-off»
536
3.1.3 Le «Split-up»
536
3.2 Les motivations536
3.2.1 Les observations empiriques
536
3.2.2 La séparation des entités
537
3.2.3 Le financement
537
3.2.4 Le recentrage
538
4 Les cessions538
4.1 Les cessions d'immobilisations539
4.1.1 La cession d'actifs matériels et immatériels
539
4.1.2 Les cessions de participations
539
4.2 Les motivations540
4.2.1 Quelques résultats empiriques
540
4.2.2 Le recentrage
540
4.2.3 Le financement
540
4.2.4 L'amélioration de la gestion
541
5 Exercices541
5.1 Énoncés541
5.2 Solutions543
Conclusion générale547
Index549
Table des matières555