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Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence 3
Livre numérique Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence 3

par Ramis, Jean-Pierre ; Warusfel, André ; Moulin, François ; Buff, Xavier ; Garnier, Josselin ; Sauloy, Jacques ; Ramis, Monique

Dunod

Résultat de Cairn Sciences

  • Consultable à la Bpi

Livre numérique

Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence 3

Auteur(s) : Ramis, Jean-Pierre ; Warusfel, André ; Moulin, François ; Buff, Xavier ; Garnier, Josselin ; Sauloy, Jacques ; Ramis, Monique
  • Éditeur(s)
  • Date
    • 2021
  • Notes
    • Ce manuel s'inscrit dans une série en 3 volumes, conçue pour couvrir les programmes de mathématiques de la plupart des Licences scientifiques. Il complète le volume 2 en traitant certains sujets habituellement enseignés au niveau de la deuxième année de Licence et il couvre par ailleurs un "tronc commun" des programmes de mathématiques au niveau de la 3e année. Il est composé de 9 modules regroupés en trois thèmes : Algèbre et Géométrie, Analyse, Probabilités et Statistique. L'ordre de lecture n'est pas toujours imposé, ce qui permet à l'étudiant, quel que soit son cursus, de s'initier à son rythme aux thèmes figurant à son programme et de conforter ses acquis. Avec cet ouvrage de référence, il dispose des définitions précises et des énoncés et démonstrations complètes de tous les résultats essentiels. 120 exercices corrigés illustrent le cours. Pour les étudiants souhaitant aller plus loin, plus de 220 exercices supplémentaires sont proposés avec, pour un grand nombre d'entre eux, des solutions et des indications. Des corrigés détaillés sont disponibles sur le site dunod. com.
  • Langues
    • Français
  • ISBN
    • 9782100825462
  • Droits
    • copyrighted
  • Résultat de :
  • Quatrième de couverture

    • Mathématiques

      Tout-en-un pour la Licence 3

      2e édition

      Ce manuel s'inscrit dans une série en trois volumes, conçue pour couvrir les programmes de mathématiques de la plupart des Licences scientifiques. Il complète le volume 2 en traitant certains sujets habituellement enseignés au niveau de la deuxième année de Licence et il couvre par ailleurs un « tronc commun » des programmes de mathématiques au niveau de la troisième année. Il est composé de onze modules regroupés en trois thèmes : Algèbre et Géométrie. Analyse. Probabilités et Statistiques.

      Sa présentation permet à l'étudiant, quel que soit son cursus, de s'initier à son rythme aux thèmes figurant à son programme et de conforter ses acquis. Avec cet ouvrage de référence, l'étudiant dispose des définitions précises et des énoncés et démonstrations de tous les résultats essentiels.

      Les plus

      • Des modules indépendants
      • 450 exercices (155 exercices corrigés + 295 exercices supplémentaires avec des indications de solutions)

      Le public

      • Étudiants en Licence 2 et 3 Mathématiques
      • Étudiants en Licence 2 et 3 Informatique
      • Étudiants en Licence 2 et 3 Physique

      Les + en ligne

      Retrouvez sur dunod.com, sur la page de présentation de l'ouvrage, des solutions détaillées de la plupart des exercices supplémentaires.


  • Tables des matières

      • Mathématiques

      • Tout-en-un pour la Licence 3

      • 2e édition

      • Jean Pierre Ramis et André Warusfel

      • Xavier Buff • Josselin Garnier • François Moulin • Monique Ramis • Jacques Sauloy

      • Dunod

      • Préfaceiii
      • Avant-proposxi
      • I Algèbre
      • I.1 Arithmétique 3
      • 1 Divisibilité dans un anneau commutatif4
      • 1.1 Anneaux euclidiens et anneaux principaux4
      • 1.2 Anneaux principaux et anneaux factoriels7
      • 1.3 Polynômes sur un anneau factoriel12
      • 2 Le groupe multiplicatif de l'anneau Z/NZ13
      • 2.1 Rappels sur (Z/nZ)*13
      • 2.2 Le groupe multiplicatif d'un corps fini14
      • 2.3 Le groupe multiplicatif de l'anneau Z/pr Z15
      • 2.4 Deux applications informatiques16
      • 3 Résidus quadratiques21
      • 3.1 Carrés dans un corps fini21
      • 3.2 Symbole de Legendre22
      • 3.3 Loi de réciprocité quadratique24
      • 3.4 Symbole de Jacobi27
      • 4 Sommes de deux carrés29
      • 4.1 Rappels sur l'anneau des entiers de Gauß29
      • 4.2 Sommes de deux carrés : théorème de Fermat et Euler33
      • 4.3 Sommes de trois et de quatre carrés35
      • 5 Nombres premiers, critères de primalité37
      • 5.1 Aspects pratiques39
      • 5.2 Mauvaises méthodes42
      • 5.3 Bonnes méthodes probabilistes : Solovay-Strassen45
      • 5.4 Bonnes méthodes déterministes45
      • 5.5 Deux classes spéciales de nombres premiers50
      • 6 Fractions continues53
      • 6.1 Compléments à l'algorithme d'Euclide53
      • 6.2 Développement en fraction continue dans Q et dans K(X)56
      • 6.3 Les réduites d'une fraction continue sur un corps arbitraire58
      • 6.4 Développement en fraction continue d'un réel61
      • 6.5 Développement en fraction continue d'une série formelle64
      • Exercices66
      • I. 2 Compléments sur les formes bilinéaires alternées et sur les formes quadratiques 75
      • 1 Compléments sur les formes bilinéaires alternées76
      • 1.1 Sous-espaces isotropes, involutifs, Lagrangiens79
      • 1.2 Classification des formes bilinéaires alternées80
      • 1.3 Pfaffien82
      • 1.4 Introduction au groupe symplectique86
      • 2 Compléments sur les formes quadratiques88
      • 2.1 Rappels et compléments90
      • 2.2 Discriminant d'une forme quadratique93
      • 2.3 Classification des formes quadratiques sur un corps fini Fq97
      • 2.4 Espaces hyperboliques - Théorème de décomposition de Witt99
      • 2.5 Introduction à l'étude des formes quadratiques sur Q111
      • Exercices116
      • II Géométrie
      • II. 1 Surfaces 127
      • 1 Nappes paramétrées128
      • 1.1 Définitions128
      • 1.2 Nappes géométriques131
      • 1.3 Plan tangent, espace tangent133
      • 1.4 Position par rapport au plan tangent137
      • 2 Surfaces implicites 144
      • 2.1 Définitions144
      • 2.2 Sous-variétés lisses145
      • 2.3 Espace et plan tangent146
      • 2.4 Intersection de deux surfaces148
      • 3 Exemples 151
      • 3.1 Nappes réglées151
      • 3.2 Nappes de révolution153
      • 3.3 Quadriques156
      • Exercices165
      • III Analyse
      • III.1 Intégration 173
      • 1 Initiation aux intégrales multiples175
      • 1.1 Intégration sur un pavé176
      • 1.2 Intégration sur un ensemble cubable195
      • 1.3 Intégrales itérées et théorème de Fubini207
      • 1.4 Formule de changement de variables215
      • 1.5 Intégrales multiples généralisées225
      • 2 L'intégrale de Henstock-Kurzweil 245
      • 2.1 Intégrale de Henstock-Kurzweil sur un segment246
      • 2.2 Le théorème fondamental de l'analyse267
      • 2.3 Intégrale de Henstock-Kurzweil sur un intervalle quelconque273
      • 2.4 Le lemme de Henstock279
      • 2.5 Lemme de Vitali et différentiabilité des intégrales indéfinies283
      • 2.6 Fonctions absolument intégrables286
      • 2.7 Les théorèmes de convergence294
      • 2.8 Fonction définie par une intégrale : continuité et dérivabilité305
      • 2.9 Intégrale de Henstock-Kurzweil des fonctions à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie307
      • 3 Intégrale de Henstock-Kurzweil et mesure de Lebesgue310
      • 3.1 Mesure de Lebesgue - Ensembles négligeables311
      • 3.2 Ensembles et fonctions mesurables321
      • 3.3 Espaces L1 et L2334
      • 4 Intégrales multiples au sens de Henstock-Kurzweil341
      • 4.1 Définition et premières propriétés341
      • 4.2 Théorème de Fubini345
      • 4.3 Intégrales sur un ouvert de Rn347
      • 4.4 Formule de changement de variables353
      • Exercices357
      • III.2 Introduction aux équations aux dérivées partielles 373
      • 1 Généralités373
      • 1.1 Définitions et premiers exemples373
      • 1.2 Problèmes bien posés376
      • 1.3 Équations linéaires382
      • 2 Équations d'ordre 1383
      • 2.1 Équations de transport383
      • 2.2 Méthode des caractéristiques387
      • 2.3 Le problème de Cauchy en dimension 2391
      • 3 Équations linéaires d'ordre 2397
      • 3.1 Caractéristiques et classification des équations397
      • 3.2 Réduction aux formes standards402
      • 4 Équations linéaires d'ordre 2 à coefficients constants408
      • 4.1 L'équation des ondes uni-dimensionnelle408
      • 4.2 Méthode de séparation de variables414
      • 4.3 L'équation des cordes415
      • 4.4 L'équation de la chaleur uni-dimensionnelle422
      • Exercices425
      • III.3 Constructions de R et introduction aux nombres p-adiques 429
      • 1 Constructions à partir d'écritures décimales431
      • 1.1 Écritures décimales431
      • 1.2 Construction de R à partir des écritures décimales432
      • 1.3 Écritures décimales à gauche - Nombres décadiques439
      • 2 Introduction aux nombres p-adiques445
      • 2.1 Anneaux b-adiques - Corps p-adiques - Présentation algébrique445
      • 2.2 Distances et topologie. Suites et séries450
      • 2.3 Zéros d'un polynôme dans un corps p-adique470
      • 2.4 Nombres automorphes - Nombres b-adiques et nombres p-adiques474
      • 3 Coupures et sections commençantes479
      • 3.1 Construction de R par les sections commençantes479
      • 3.2 Un théorème d'unicité489
      • 4 Complétions de corps et construction de R491
      • 4.1 Complétion d'un corps normé493
      • 4.2 Comparaison entre les anneaux C[X] et Qp507
      • 4.3 Pour aller plus loin : extensions, clôtures algébriques et complétions508
      • 5 Nombres, observabilité et calculabilité509
      • 5.1 Qu'est-ce qu'un nombre ? Approximations rationnelles et approximations décimales509
      • 5.2 Les réels sont-ils réels ? Alan Turing et la calculabilité514
      • Exercices517
      • III.4 Polynômes orthogonaux 531
      • 1 Introduction531
      • 2 Généralités532
      • 2.1 Introduction532
      • 2.2 Formules de récurrence et de Darboux-Christoffel537
      • 2.3 Les zéros des polynômes orthogonaux544
      • 2.4 Approximation et formules de quadrature546
      • 3 Polynômes orthogonaux classiques555
      • 3.1 Équations différentielles et polynômes orthogonaux557
      • 3.2 Formule d'Olinde Rodrigues574
      • 3.3 Polynômes de Jacobi et cas particuliers (Legendre et Tchebychev)581
      • 3.4 Polynômes d'Hermite590
      • 3.5 Polynômes de Laguerre599
      • 3.6 Séries génératrices604
      • 3.7 Propriétés de densité pour les polynômes d'Hermite et de Laguerre608
      • 3.8 Tables des polynômes orthogonaux classiques611
      • 4 Compléments617
      • 4.1 Déterminants de Hankel, approximants de Padé617
      • 4.2 Polynômes orthogonaux et fractions continues641
      • Exercices647
      • IV Probabilités
      • IV.l Notions fondamentales sur les probabilités 665
      • 1 Ensemble fondamental et événements665
      • 1.1 Ensemble fondamental665
      • 1.2 La notion d'événement666
      • 1.3 La notion de tribu667
      • 2 Probabilités668
      • 2.1 Propriétés élémentaires d'une probabilité669
      • 2.2 Probabilité uniforme sur un ensemble fini672
      • 2.3 Probabilités sur un ensemble dénombrable674
      • 2.4 Probabilités uniformes sur R (ou Rd)675
      • 2.5 Probabilités de réunions d'ensembles : règle d'inclusion-exclusion677
      • 3 Probabilités conditionnelles680
      • 3.1 Intuition et définition680
      • 3.2 Formule de Bayes682
      • 3.3 Conditionnement multiple685
      • 4 Indépendance686
      • 4.1 Indépendance de deux événements686
      • 4.2 Indépendance de plusieurs événements688
      • 4.3 Construction d'un espace de probabilité690
      • 4.4 Probabilité de réunions d'événements indépendants692
      • 5 Problèmes et paradoxes696
      • 5.1 Un exemple classique : la ruine du joueur696
      • 5.2 Paradoxes698
      • 6 Complément : équations aux différences701
      • Exercices702
      • IV.2 Variables aléatoires discrètes 707
      • 1 Lois et variables aléatoires discrètes 707
      • 1.1 Définitions707
      • 1.2 Histogrammes709
      • 2 Quelques lois usuelles710
      • 2.1 Loi de Bernoulli710
      • 2.2 Loi binomiale et nombre de succès711
      • 2.3 Temps d'attente et loi géométrique714
      • 2.4 Échantillonnage et loi hypergéométrique715
      • 3 Espérance de variables aléatoires discrètes réelles717
      • 3.1 Définition de l'espérance717
      • 3.2 Propriétés élémentaires de l'espérance718
      • 3.3 Propriétés de transport720
      • 3.4 Quelques remarques721
      • 3.5 Variance722
      • 3.6 Espérances et variances pour des lois usuelles723
      • 4 Problèmes d'approximation727
      • 4.1 Approximation de la loi hypergéométrique727
      • 4.2 Approximation de la loi binomiale, loi de Poisson729
      • 5 Familles de variables aléatoires 730
      • 5.1 Loi d'un vecteur aléatoire730
      • 5.2 Covariance et corrélation733
      • 5.3 Indépendance735
      • 5.4 Indépendance et covariance736
      • 5.5 Schéma succès-échec infini739
      • 6 Fonctions génératrices741
      • 6.1 Définition741
      • 6.2 Cas des vecteurs aléatoires743
      • 6.3 Indépendance et convolution744
      • 6.4 Fonctions génératrices de lois usuelles745
      • 6.5 Sommes aléatoires de v.a. indépendantes748
      • Exercices750
      • IV.3 Variables aléatoires à densité 755
      • 1 Variables aléatoires réelles755
      • 1.1 Définition755
      • 1.2 Loi et fonction de répartition756
      • 2 Variables à densité758
      • 2.1 Densité de probabilité758
      • 2.2 Lois usuelles759
      • 2.3 Caractérisation des v.a. réelles à densité762
      • 3 Moments de variables aléatoires à densité764
      • 3.1 Espérance764
      • 3.2 Moments766
      • 3.3 Moments des lois usuelles767
      • 3.4 Inégalités célèbres769
      • 4 Vecteurs aléatoires770
      • 4.1 Définition et loi770
      • 4.2 Vecteur aléatoire à densité771
      • 5 Indépendance773
      • 5.1 Définition773
      • 5.2 Indépendance de variables aléatoires à densité774
      • 5.3 Covariance et variance776
      • 5.4 Somme de variables aléatoires à densité indépendantes778
      • 5.5 Vecteurs gaussiens780
      • 6 Simulation de variables aléatoires786
      • 6.1 Simulation d'une v.a. uniforme786
      • 6.2 Méthode de la fonction inverse787
      • 6.3 Simulation d'une v. a. discrète788
      • 6.4 Simulation d'une v. a. gaussienne789
      • 6.5 Méthode du rejet pour une loi uniforme789
      • Exercices792
      • IV.4 Théorèmes limites et estimation 797
      • 1 Loi des grands nombres797
      • 1.1 Loi faible des grands nombres797
      • 1.2 Loi forte des grands nombres798
      • 2 Théorème de la limite centrale800
      • 2.1 Approximation normale de la loi binomiale800
      • 2.2 Énoncé du théorème803
      • 3 Estimation809
      • 3.1 But de l'estimation809
      • 3.2 Qualités d'un estimateur811
      • 3.3 Estimateurs usuels812
      • 4 Intervalles de confiance816
      • 4.1 Intervalle de confiance et estimation816
      • 4.2 Échantillons gaussiens816
      • 4.3 Échantillons non gaussiens824
      • Exercices828
      • Bibliographie835
      • Indications837
      • Index853

  • Consultable à la Bpi