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L'outil mathématique pour la physique :

Résumé

Visite commentée d'une partie de l'arsenal des mathématiciens à l'usage des scientifiques des autres disciplines. L'itinéraire a été choisi compte tenu des besoins et des difficultés auxquels l'auteur lui-même a été confronté dans ses recherches en physique mathématique.


  • Éditeur(s)
  • Date
    • 1998
  • Langues
    • Français
  • Description matérielle
    • 288 p. ; 24 x 17 cm
  • Collections
  • Sujet(s)
  • ISBN
    • 2-10-003960-1
  • Indice
    • 519.8 Mathématiques appliquées, physique mathématique
  • Quatrième de couverture
    • Comme le laisse deviner son titre, cet ouvrage n'est pas destiné à la formation des mathématiciens ; il s'adresse surtout aux autres scientifiques désireux d'utiliser les mathématiques dans leur propre domaine de spécialisation. Le lecteur, qui est supposé avoir assimilé les connaissances générales enseignées dans le premier cycle de l'enseignement supérieur, est convié à une visite commentée d'une partie de l'arsenal des mathématiciens.

      L'itinéraire a été choisi compte tenu des besoins et des difficultés auxquels l'auteur a lui-même été confronté dans ses activités de recherche en physique mathématique : distributions, convolution, transformation de Fourier et transformation de Laplace, fonctions d'une variable complexe, fonctions eulériennes. Ainsi se trouvent réunies en en un nombre de pages restreint des notions qui semblent aujourd'hui indispensables à une bonne formation générale.

      Même si les démonstrations de certains grands théorèmes ont été omises et si l'on s'éloigne volontiers du style austère des ouvrages théoriques, l'auteur s'efforce de rester précis et rigoureux ; on est loin d'une simple collection de recettes.


  • Tables des matières
      • L'outil mathématique pour la physique

      • Roger Petit

      • Dunod

      • Avant-proposXI
      • Avant-propos à la deuxième éditionXIII
      • Au sujet des deux dernières éditionsXIV
      • NotationsXV
      • 0 Rappels et compléments d'analyse1
      • Sous-ensembles de IR1
      • L'intégrale de Riemann et ses extensions3
      • Convergence des suites de fonctions7
      • Séries de fonctions10
      • Fonctions définies par des intégrales : f(x) = intégrale deba K (x,t) dt12
      • Fonctions définies par des intégrales généralisées13
      • Convergence uniforme d'une intégrale généralisée14
      • Critère de convergence uniforme pour les intégrales généralisées14
      • Intégrales à limites variables : f(x) = intégrale deb(x)a K (x,t) dt15
      • Notions sommaires sur l'intégrale de Lebesgue16
      • Le théorème de la convergence dominée (Lebesgue)19
      • L'intégrale de Lebesgue dans IRn21
      • Questions et conseils25
      • I. Espaces fonctionnels, fonctionnelles, distributions26
      • Espace fonctionnel26
      • Fonctionnelle26
      • Dual27
      • L'espace (...)28
      • Les distributions de L. Schwartz30
      • Support d'une distribution34
      • L'espace (...) et les distributions à support borné34
      • Trois remarques importantes36
      • II. Opérations sur les distributions38
      • Combinaison linéaire de distributions38
      • Dérivation d'une distribution38
      • Translation d'une distribution42
      • Distributions paires et impaires43
      • La distribution T (x/a)44
      • Produit de deux distributions44
      • Suites et séries de distributions47
      • Utilisation des distributions pour énoncer les lois physiques50
      • Questions et conseils54
      • III. Distributions de «plusieurs variables»56
      • Généralités56
      • Les distributions associées aux fonctions localement sommables56
      • Les distributions singulières Delta (Vecteur r - Vecteur a) et Alpha Delta s57
      • Dérivées partielles d'une distribution T57
      • Un exemple très utile : dérivation des fonctions discontinues58
      • Les distributions vectorielles dans IR360
      • Quatre formules à bien connaître60
      • Application à l'analyse vectorielle62
      • Laplacien de f(Vecteur r) = 1/r63
      • Solutions élémentaires de l'équation de Helmholtz dans IR364
      • Utilisation des distributions pour l'énoncé des lois physiques65
      • Produit direct de distributions66
      • Questions et conseils69
      • IV. Produit de convolution70
      • Produit de convolution de deux fonctions d'une variable70
      • Produit de convolution de deux distributions71
      • Commutativité et distributivité du produit de convolution72
      • Support de S * T72
      • Produit de convolution de plusieurs distributions72
      • Résultats importants pour les applications73
      • Autres propriétés importantes sur le plan théorique75
      • Produit de convolution de distributions de plusieurs variables77
      • Algèbre de convolution79
      • Quelques applications de l'algèbre (...)80
      • Les filtres linéaires83
      • Questions et conseils85
      • V. Transformation de Fourier des fonctions86
      • Définition86
      • Premiers exemples de transformées87
      • Formule d'inversion88
      • Propriétés souvent utilisées89
      • Transformation de Fourier et produit de convolution93
      • Formule de Parseval-Plancherel94
      • Remarque utile pour la suite94
      • VI. Transformation de Fourier des distributions95
      • Introduction95
      • L'espace (...)95
      • L'espace (...) des distributions tempérées96
      • Exemples de distributions tempérées97
      • Transformée de Fourier d'une distribution tempérée98
      • Recherche des transformées de Fourier101
      • VII. Notions sur la transformation des fonctions et distributions de plusieurs variables106
      • La transformée des fonctions106
      • Le cas des fonctions radiales107
      • La transformée des distributions tempérées109
      • Recherche des transformées110
      • VIII. Notions sur la transformation de Fourier des distributions périodiques112
      • Rappel112
      • Transformée de Fourier du peigne de Dirac112
      • Transformée de Fourier d'une distribution périodique115
      • Série de Fourier116
      • Théorème d'échantillonnage (Shannon-Wittaker)119
      • IX. Compléments sur quelques familles de fonctions et leurs transformées de Fourier122
      • Les fonctions de carré sommable. L'espace L2122
      • La transformée de Fourier dans L2125
      • Les fonctions de L2 en physique126
      • Espace L2 (a,b)129
      • Les fonctions dont la transformée de Fourier est à support borné131
      • La transformée de Fourier des fonctions causales132
      • Questions et conseils135
      • X. Transformation de Laplace des fonctions138
      • L'intégrale de Laplace138
      • Transformée de Laplace d'une fonction140
      • Propriétés fondamentales141
      • Transformées de Laplace de quelques fonctions usuelles145
      • XI. Transformation de Laplace des distributions147
      • Définition147
      • Transformation de Laplace et produit de convolution148
      • Autres théorèmes constamment utilisés148
      • Complément au formulaire du chapitre X, § 4151
      • Applications à la physique mathématique151
      • Original d'une fonction rationnelle153
      • XII. Commentaires sur les transformations de Fourier et de Laplace. Inversion de la transformation de Laplace154
      • Rappels et commentaires154
      • Relations entre la T.F. et la T.L. d'une même fonction155
      • Inversion de la transformation de Laplace156
      • Questions et conseils158
      • XIII. Fonctions d'une variable complexe159
      • Définitions159
      • Dérivée d'une fonction de variable complexe. Conditions de Cauchy161
      • Fonction holomorphe dans un domaine164
      • Fonctions usuelles168
      • Intégration dans le plan complexe177
      • Intégration des fonctions holomorphes181
      • Série de fonctions d'une variable complexe191
      • Séries entières193
      • Série de Laurent201
      • Points singuliers isolés d'une fonction de variable complexe203
      • Théorème des résidus et applications206
      • Questions et conseils214
      • XIV. Fonctions eulériennes216
      • La fonction Gamma(z), dite "fonction gamma"216
      • La Fonction B(p,q)218
      • Formule des compléments220
      • Etude de la fonction y = Gamma(x) pour x réel221
      • La formule de Stirling223
      • Développement de 1/Gamma en produit infini224
      • Développement de sin z en produit infini226
      • Exercice227
      • Formulaire227
      • Annexe 1 : Produits infinis229
      • Définitions et généralités229
      • Etude de la convergence230
      • Produit infini de fonctions232
      • Annexe 2 : Compléments sur les points singuliers et le prolongement analytique234
      • Point-frontière isolé234
      • Point-frontière singulier234
      • Points singuliers et coupures236
      • Quelques exercices sur la série de Taylor d'une fonction237
      • Prolongement analytique et calcul numérique238
      • Principe de réflexion (ou de symétrie) de Schwarz239
      • Annexe 3. Représentation conforme241
      • Rappels et généralités241
      • Définition d'une représentation conforme242
      • Le problème fondamental de la représentation conforme242
      • La représentation conforme et l'équation de Laplace244
      • Quelques compléments utiles en pratique246
      • Annexe 4. La pratique de la transformation de Fourier248
      • Définition de la T.F. et formule d'inversion248
      • Règles de calculs249
      • Transformée d'une fonction constante et de la distribution de Dirac249
      • Produit de convolution250
      • Formule de Parseval-Plancherel250
      • Conclusion250
      • Bibliographie252
      • Index alphabétique des matières254

  • Origine de la notice:
    • Electre
  • Disponible - 519.8 PET

    Niveau 2 - Sciences