Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien

Auteur(s) :

Gignoux, Claude (1941-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Le but de cet ouvrage est d'établir un pont compréhensible entre la vision newtonienne classique de la mécanique et les aspects les plus modernes relevant du chaos. Il contient 130 exercices et problèmes.

Autre(s) auteur(s)
- Silvestre-Brac, Bernard (1948-....)
Éditeur(s)
- EDP sciences
Date
- 2002
Notes
- Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 467 p. : ill., couv. ill. en coul. ; 25 cm
Collections
- Collection Grenoble sciences
Sujet(s)
ISBN
- 2-86883-584-8
Indice
- 531 Mécanique des solides, rhéologie
Quatrième de couverture
- L'objectif de cet ouvrage est de présenter la mécanique de Lagrange et de Hamilton en effectuant un lien entre la mécanique newtonienne bien connue et les récents développements de ces cinquante dernières années. Le lecteur est amené progressivement de la formulation lagrangienne aux travaux récents sur les systèmes dynamiques hamiltoniens. Ces systèmes sont étudiés dans la diversité de leur comportement qui va de la régularité parfaite au chaos et conduisent à l'énoncé et l'illustration de l'important théorème KAM. De nombreux exercices et figures facilitent la compréhension. En fin de chapitre, sont proposés des exercices et problèmes corrigés de difficulté progressive, ainsi que des compléments. On peut ainsi approfondir certains thèmes. Diverses facettes de la physique sont abordées, telles la physique statistique, la théorie des champs, l'optique et surtout la mécanique quantique. Des annexes, enfin, complètent l'ensemble.
  Cet ouvrage permettra à un lecteur de niveau second cycle universitaire de s'approprier la mécanique de Lagrange et de Hamilton. Il intéressera bien sûr les étudiants, mais aussi les enseignants et chercheurs et tous ceux qui veulent rester au courant des travaux récents dans la discipline.
Tables des matières
- - Mécanique
  - De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien
  - Claude Gignoux
  - Bernard Silvestre-Brac
  - EDP Sciences
  - Avant-propos7
  - Chapitre 1 - Formulation lagrangienne13
  - Cours13
  - 1.1. Introduction13
  - 1.2. Coordonnées généralisées15
  - 1.3. Forces généralisées22
  - 1.3.1. Déplacements virtuels23
  - 1.3.2. Forces généralisées25
  - Résumé - Équations de Lagrange: mode d'emploi28
  - Exercices proposés dans le cours28
  - E1.1. Permutation des dérivées28
  - E1.2. Force de réaction de la perle28
  - E1.3. Forces d'inertie généralisées29
  - Compléments30
  - C1.1. Rappels de cinématique30
  - C1.1.1. Composition des vitesses30
  - C1.1.2. Composition des accélérations30
  - C1.1.3. Énergie cinétique d'un corps solide31
  - C1.1.4. Roulement sans glissement33
  - C1.2. Liaisons34
  - C1.2.1. Multiplicateurs de Lagrange34
  - C1.2.2. Degrés de liberté d'un système37
  - C1.3. Commentaires39
  - Exercices et problèmes39
  - E1.4. La fronde39
  - E1.5. La corde glissant sur la table40
  - E1.6. Cylindre roulant sur un plateau mobile40
  - E1.7. Masse glissant sur un coin glissant41
  - E1.8. Le cric41
  - E1.9. Principe de d'Alembert et poussée d'Archimède42
  - E1.10. Une porte de garage astucieuse43
  - P1.11. Une expérience pour mesurer la vitesse de rotation de la Terre44
  - P1.12. L'indicateur de virage44
  - P1.13. Le pendule de Huygens46
  - P1.14. Essieu libre sur un plan incliné (liaisons non holonômes)47
  - Indications et réponses48
  - E1.4. La fronde48
  - E1.5. La corde glissant sur la table48
  - E1.6. Cylindre roulant sur un plateau mobile49
  - E1.7. Masse glissant sur un coin49
  - E1.8. Le cric49
  - E1.9. Poussée d'Archimède49
  - E1.10. Porte de garage astucieuse49
  - P1.11. Expérience de Compton49
  - P1.12. Indicateur de virage50
  - P1.13. Pendule de Huygens50
  - P1.14. Essieu libre sur un plan incliné50
  - Chapitre 2 - Systèmes lagrangiens53
  - Cours53
  - 2.1. Introduction53
  - 2.2. Fonction de Lagrange54
  - 2.3. Intégrales premières57
  - 2.3.1. Coordonnée cyclique57
  - 2.3.2. Translation continue du temps58
  - 2.3.3. Translation continue d'espace60
  - 2.3.4. Invariance par rotation continue d'espace61
  - 2.3.5. Conclusion sur les intégrales premières62
  - 2.4. Systèmes à deux corps62
  - 2.4.1. Formulation62
  - 2.4.2. Invariance par translation du temps63
  - 2.4.3. Invariance par translation d'espace63
  - 2.4.4. Invariance par rotation65
  - 2.4.5. Description complète du mouvement par quadrature67
  - 2.5. Équilibre et petites oscillations69
  - 2.5.1. Rappels pour les systèmes à une dimension70
  - 2.5.2. Cas de deux coordonnées72
  - Résumé - Fonction de Lagrange76
  - Exercices proposés dans le cours76
  - E2.1. Changement de lagrangien76
  - E2.2. Intégrale première provenant de la translation dans le temps77
  - E2.3. Théorème d'Euler77
  - E2.4. Le cerceau à vitesse angulaire constante78
  - Compléments79
  - C2.1. Particule dans un champ électromagnétique79
  - C2.1.1. Potentiel généralisé et force de Lorentz79
  - C2.1.2. Arbitraire du lagrangien et invariance de jauge80
  - C2.2. Passage au continu80
  - C2.2.1. Corde vibrante80
  - C2.2.2. Chaîne de pendules82
  - C2.3. Traitement général des petites oscillations83
  - C2.4. Le théorème de Noether88
  - C2.5. Lien entre impulsion individuelle et moment angulaire total associé aux rotations86
  - C2.6. Fonction de dissipation88
  - C2.7. Le problème de Kepler89
  - Exercices et problèmes92
  - E2.5. Disque sur un coin en mouvement92
  - E2.6. Constance du moment cinétique92
  - E2.7. Mouvement cyclotron93
  - E2.8. Intégrale de Painlevé (1)93
  - E2.9. Intégrale de Painlevé (2)94
  - E2.10. Lagrangien dans un référentiel tournant94
  - E2.11. Application du théorème de Noether95
  - E2.12. Ondes transversales élastiques dans un solide (ondes P)95
  - E2.13. Petites oscillations avec amortissement96
  - P2.14. Dérive d'une particule dans un champ électromagnétique constant97
  - P2.15. Vibration d'une molécule linéaire triatomique. Le mode "mou"98
  - P2.16. Le pendule de L. Foucault98
  - P2.17. Précession des équinoxes100
  - P2.18. Système de trois particules102
  - P2.19. Vibration de flexion d'une lame103
  - P2.20. Ondes solitaires105
  - P2.21. Modes de vibration d'une chaîne d'atomes106
  - Indications et réponses107
  - E2.5. Disque sur un coin en mouvement107
  - E2.6. Constance du moment cinétique107
  - E2.7. Mouvement cyclotron107
  - E2.8. Intégrale de Painlevé (1)107
  - E2.9. Intégrale de Painlevé (2)108
  - E2.10. Lagragien dans un référentiel tournant108
  - E2.11. Application du théorème de Noether108
  - E2.12. Ondes transversales élastiques dans un solide (ondes P)109
  - E2.13. Petites oscillations avec amortissement109
  - P2.14. Dérive d'une particule dans un champ électromagnétique constant109
  - P2.15. Vibration d'une molécule linéaire triatomique. Le mode "mou"110
  - P2.16. Le pendule de L. Foucault111
  - P2.17. Précession des équinoxes111
  - P2.18. Système de trois particules112
  - P2.19. Vibration de flexion d'une lame113
  - P2.20. Ondes solitaires113
  - P2.21. Modes de vibration d'une chaîne d'atomes114
  - Chapitre 3 - Le principe de Hamilton117
  - Cours117
  - 3.1. La fonctionnelle action118
  - 3.1.1. Notion de fonctionnelle118
  - 3.1.2. Fonctionnelle action119
  - 3.2. Méthode des variations avec des contraintes125
  - 3.2.1. Contraintes de type holonôme125
  - 3.2.2. Contraintes de forme intégrale128
  - 3.3. Mécanique relativiste pour une particule131
  - Résumé - Principe de Hamilton134
  - Exercices proposés dans le cours135
  - E3.1. Force de Lorentz135
  - E3.2. Fonctionnelle avec dérivée seconde136
  - Compléments136
  - C3.1. Action pour un nombre infini de degrés de liberté: équations de Lagrange pour les champs136
  - C3.2. L'action pour le champ scalaire: le potentiel de Yukawa140
  - C3.3. Action et mécanique quantique141
  - Exercices et problèmes143
  - E3.3. La chute libre143
  - E3.4. Action minimum ou maximum?144
  - E3.5. Principe de moindre action?144
  - E3.6. N'existe-t-il qu'une seule solution qui rende stationnaire l'action?145
  - E3.7. Principe de Fermat146
  - E3.8. Principe de Maupertuis146
  - E3.9. Champ de force uniforme147
  - E3.10. Mouvement libre sur un ellipsoïde148
  - E3.11. Aire minimum à volume fixé148
  - E3.12. Particule relativiste dans un champ de force central149
  - E3.13. Chaîne de pendules150
  - E3.14. Équation d'onde pour la lame flexible libre151
  - E3.15. Champ de Schrödinger151
  - P3.16. Forme des films de savon151
  - E3.17. La stratégie du skieur152
  - P3.18. Loi de Laplace sur la tension superficielle153
  - P3.19. Précession de l'orbite de Mercure154
  - Indications et réponses155
  - E3.3. La chute libre155
  - E3.4. Minimum ou maximum?155
  - E3.5. Principe de moindre action?156
  - E3.6. N'existe-t-il qu'une seule solution qui rende stationnaire l'action?156
  - E3.7. Principe de Fermat157
  - E3.8. Principe de Maupertuis157
  - E3.9. Champ de force uniforme158
  - E3.10. Mouvement libre sur un ellipsoïde158
  - E3.11. Aire minimum à volume fixé158
  - E3.12. Particule relativiste dans un champ de force central158
  - E3.13. Chaîne de pendules159
  - E3.14. Équation d'onde pour la lame flexible libre160
  - E3.15. Champ de Schrödinger160
  - P3.16. Forme des films de savon160
  - P3.17. La stratégie du skieur160
  - P3.18. Loi de Laplace sur la tension superficielle160
  - P3.19. Précession de l'orbite de Mercure161
  - Chapitre 4 - Formalisme hamiltonien163
  - Cours163
  - 4.1. Introduction163
  - 4.2. La transformation de Legendre d'une fonction165
  - 4.3. Les équations de Hamilton167
  - 4.3.1. La fonction de Hamilton167
  - 4.3.2. Les équations de Hamilton168
  - 4.4. Théorème de Liouville171
  - 4.4.1. Flot hamiltonien171
  - 4.4.2. Théorème de Liouville174
  - 4.4.3. Théorème du retour de Poincaré177
  - 4.5. Systèmes autonomes à un degré de liberté179
  - Résumé - Équations de Hamilton187
  - Exercices proposés dans le cours189
  - E4.1. Transformation de Legendre inverse189
  - E4.2. Conservation de l'aire189
  - E4.3. Le premier invariant intégral190
  - E4.4. Comportement autour d'un point elliptique190
  - Compléments191
  - C4.1. Principe de moindre action et formalisme hamiltonien191
  - C4.2. Résonance paramétrique192
  - C4.3. Espace de phase et mécanique quantique196
  - Exercices et problèmes198
  - E4.5. Plus rapide et plus écologique que le Concorde198
  - E4.6. Les charges électriques peuvent être piégées par des conducteurs199
  - E4.7. Double puits parabolique200
  - E4.8. Hamiltonien d'une particule chargée201
  - E4.9. Quid des systèmes non autonomes201
  - E4.10. Temps et énergie: variables conjuguées?201
  - E4.11. Stabilité des trajectoires circulaires dans un potentiel central202
  - E4.12. Trajectoires dans un champ de force central203
  - E4.13. Symétrie de la trajectoire203
  - E4.14. Hamiltonien dans un référentiel tournant204
  - E4.15. Flots hamiltoniens identiques204
  - E4.16. Équation de Maxwell-Vlasov204
  - P4.17. Perle sur le cerceau205
  - P4.18. Le pendule inversé206
  - P4.19. Lumineuses équations de Hamilton207
  - P4.20. Le vecteur de Runge-Lenz208
  - P4.21. L'application du billard209
  - Indications et réponses210
  - E4.5. Plus rapide et plus écologique que le Concorde210
  - E4.6. Les charges électriques piégées par des conducteurs211
  - E4.7. Double puits parabolique211
  - E4.8. Hamiltonien d'une particule chargée212
  - E4.9. Quid des systèmes non autonomes212
  - E4.10. Temps et énergie: variables conjuguées?212
  - E4.11. Trajectoires circulaires dans un potentiel central212
  - E4.12. Trajectoires dans un champ de force central213
  - E4.13. Symétrie de la trajectoire214
  - E4.14. Hamiltonien dans un référentiel tournant214
  - E4.15. Flots hamiltoniens identiques214
  - E4.16. Équation de Maxwell-Vlasov214
  - P4.17. Perle sur le cerceau214
  - P4.18. Le pendule inversé216
  - P4.19. Lumineuses équations de Hamilton217
  - P4.20. Le vecteur de Runge-Lenz217
  - P4.21. L'application du billard217
  - Chapitre 5 - Formalisme de Hamilton-Jacobi219
  - Cours219
  - 5.1. La fonction action: deuxième acte219
  - 5.2. L'équation de Hamilton-Jacobi222
  - 5.3. Le théorème de Jacobi224
  - 5.4. La fonction action réduite226
  - 5.5. Cas de séparation des variables228
  - Résumé - Équations de Hamilton-Jacobi233
  - Exercices proposés dans le cours233
  - E5.1. Action pour l'oscillateur harmonique à une dimension233
  - E5.2. Action versus action réduite234
  - Compléments235
  - C5.1. Principe de Maupertuis235
  - C5.2. Analogie optique-mécanique239
  - C5.3. Ondes / approximation eikonale241
  - C5.4. Schrödinger versus Hamilton-Jacobi243
  - Exercices et problèmes244
  - E5.3. Vitesse de phase et vitesse de groupe244
  - E5.4. Hamiltonien séparable, action séparable245
  - E5.5. Principe de Maupertuis avec champ électromagnétique246
  - E5.6. Mouvement sur une surface et géodésique247
  - P5.7. Surface d'onde pour la chute libre248
  - P5.8. Effet Stark248
  - P5.9. Fronts d'onde bizarres248
  - P5.10. Lentille électrostatique249
  - P5.11. Orbites des satellites de la Terre250
  - Indications et réponses253
  - E5.3. Vitesse de phase et vitesse de groupe253
  - E5.4. Hamiltonien séparable, action séparable253
  - E5.5. Principe de Maupertuis avec champ électromagnétique254
  - E5.6. Mouvement sur une surface et géodésique254
  - P5.7. Surface d'onde et chute libre254
  - P5.8. Effet Stark255
  - P5.9. Fronts d'onde bizarres255
  - P5.10. Lentille électrostatique256
  - P5.11. Orbites des satellites de la Terre256
  - Chapitre 6 - Systèmes intégrables257
  - Cours257
  - 6.1. Systèmes réguliers ou chaotiques?257
  - 6.2. Notion et exemple de systèmes intégrables259
  - 6.3. Un système intégrable très simple261
  - 6.4. Systèmes intégrables à plus d'un degré de liberté267
  - 6.4.1. Crochets de Poisson: le minimum à savoir267
  - 6.4.2. Systèmes intégrables269
  - 6.5. Variables angles-actions273
  - 6.5.1. Indépendance du contour274
  - 6.5.2. Définition des variables angles-actions275
  - 6.5.3. Quasi-périodicité ou périodicité278
  - Résumé - Systèmes intégrables279
  - Exercices proposés dans le cours280
  - E6.1. Transformations ponctuelles280
  - E6.2. Conservation des aires dans une transformation canonique281
  - E6.3. Expression de la période pour un mouvement à une dimension281
  - E6.4. Quid des systèmes non autonomes282
  - E6.5. Calcul du crochet de Poisson {q,p}282
  - E6.6. Invariance du crochet de Poisson dans une transformation canonique282
  - E6.7. Invariance de la circulation par déformation continue283
  - Compléments284
  - C6.1. Générateurs des transformations canoniques284
  - C6.2. Un peu plus sur les crochets de Poisson288
  - C6.3. Cas d'un système complètement séparable290
  - C6.4. Et la mécanique quantique dans tout cela?291
  - Exercices et problèmes293
  - E6.8. Fonctions génératrices293
  - E6.9. Choix de l'impulsion294
  - E6.10. Comment vérifier si une transformation de contact indépendante du temps est canonique?294
  - E6.11. Une transformation canonique dépendant du temps295
  - E6.12. Rotation dans trois dimensions et crochet de Poisson295
  - E6.13. Particule à une dimension dans une boîte295
  - E6.14. La chute libre à une dimension296
  - E6.15. Balle rebondissant sur le sol296
  - P6.16. La particule dans un champ magnétique constant296
  - P6.17. Toujours la chute libre à une dimension297
  - P6.18. Balle rebondissant sur un plateau en mouvement297
  - P6.19. Dilatation d'échelle en fonction du temps298
  - P6.20. Actions pour le problème de Kepler298
  - P6.21. Énergie en fonction des actions299
  - P6.22. De l'oscillateur harmonique au problème coulombien300
  - Indications et réponses301
  - E6.8. Fonctions génératrices301
  - E6.9. Choix de l'impulsion301
  - E6.10. Comment vérifier si une transformation de contact indépendante du temps est canonique?301
  - E6.11. Une transformation canonique dépendant du temps301
  - E6.12. Rotation dans trois dimensions et crochet de Poisson302
  - E6.13. Particule à une dimension dans une boîte302
  - E6.14. La chute libre à une dimension302
  - E6.15. Balle rebondissant sur le sol302
  - P6.16. La particule dans un champ magnétique constant303
  - P6.17. Toujours la chute libre à une dimension303
  - P6.18. Balle rebondissant sur un plateau en mouvement303
  - P6.19. Dilatation d'échelle en fonction du temps304
  - P6.20. Actions pour le problème de Kepler304
  - P6.21. Énergie en fonction des actions304
  - P6.22. De l'oscillateur harmonique au problème coulombien304
  - Chapitre 7 - Systèmes quasi intégrables307
  - Cours307
  - 7.1. Introduction307
  - 7.2. Traitement canonique des perturbations308
  - 7.2.1. Exposé du principe308
  - 7.2.2. Perturbation canonique à un degré de liberté311
  - 7.2.3. Cas à plusieurs degrés de liberté: le problème des petits diviseurs318
  - 7.3. Les invariants adiabatiques322
  - Résumé - Systèmes quasi intégrables329
  - Exercices proposés dans le cours329
  - E7.1. Limites du développement perturbatif329
  - E7.2. Et au-delà du premier ordre?330
  - E7.3. Développement perturbatif non canonique versus canonique331
  - E7.4. La moyenne des actions perturbées est nulle331
  - Compléments332
  - C7.1. Et la mécanique quantique?332
  - C7.2. Perturbations périodiques rapides333
  - Exercices et problèmes335
  - E7.5. Première correction canonique au pendule335
  - E7.6. Invariant adiabatique dans un ascenseur336
  - E7.7. L'oscillateur harmonique à pulsation variable337
  - E7.8. Particule soumise à une force périodique337
  - E7.9. Particule soumise à une force uniforme périodique338
  - P7.10. Perle sur une tige rigide: la phase de Hannay338
  - P7.11. Invariant adiabatique et détente adiabatique340
  - P7.12. Charge dans un champ magnétique lentement variable341
  - Indications et réponses342
  - E7.5. Première correction canonique au pendule342
  - E7.6. Invariant adiabatique dans un ascenseur343
  - E7.7. L'oscillateur harmonique à pulsation variable344
  - E7.8. Particule soumise à une force périodique344
  - E7.9. Particule soumise à une force uniforme périodique344
  - P7.10. Perle sur une tige rigide: la phase de Hannay345
  - P7.11. Invariant adiabatique et détente adiabatique345
  - P7.12. La particule dans un champ magnétique lentement variable346
  - Chapitre 8 - De l'ordre au chaos347
  - Cours347
  - 8.1. Introduction347
  - 8.2. Le rotateur percuté351
  - 8.2.1. Description du modèle351
  - 8.2.2. Expérimentation numérique354
  - 8.3. Le théorème KAM363
  - 8.3.1. Énoncé et définitions364
  - 8.3.2. Le théorème des points fixes368
  - 8.3.3. Comportement au voisinage d'une trajectoire périodique371
  - 8.3.4. Les séparatrices et la nursery du chaos377
  - Résumé - Le chaos: où, comment, pourquoi?382
  - Exercices proposés dans le cours382
  - E8.1. Application standard et points fixes d'ordre 5382
  - E8.2. Condition de dégénérescence383
  - E8.3. Disparition des tores résonnants384
  - E8.4. Fractions continues ou comment jouer avec les irrationnels385
  - E8.5. Propriétés de l'espace de phase de l'application standard387
  - E8.6. Étude des points fixes d'ordre 2 de l'application standard387
  - Compléments390
  - C8.1. Imprévisibilité et déterminisme390
  - C8.2. Le théorème KAM et la mécanique céleste394
  - C8.3. Section de Poincaré397
  - C8.4. Chaos et mécanique quantique401
  - Exercices et problèmes403
  - E8.7. Le théorème de Poincaré-Birkhoff pour l'application standard403
  - E8.8. Bifurcation de la trajectoire périodique 1:1 de l'application standard404
  - E8.9. Chaos-ergodicité: une nuance404
  - E8.10. Les modes d'accélération: une curiosité de l'application standard406
  - E8.11. Comment réaliser un rotateur percuté?406
  - P8.12. L'application de Anosov (ou chat de Arnold)407
  - P8.13. L'accélérateur de Fermi409
  - P8.14. Pendule amorti et application non standard410
  - P8.15. Stabilité des orbites périodiques dans les billards411
  - P8.16. Les points de Lagrange: grecs et troyens de Jupiter414
  - Indications et réponses417
  - E8.7. Théorème de Poincaré-Birkhoff417
  - E8.8. Bifurcation de la trajectoire périodique 1:1417
  - E8.9. Chaos et ergodicité: une nuance418
  - E8.10. Les modes d'accélération418
  - E8.11. Comment réaliser un rotateur percuté?418
  - P8.12. L'application de Anosov419
  - P8.13. L'accélérateur de Fermi420
  - P8.14. Pendule amorti420
  - P8.15. Stabilité des orbites périodiques dans les billards421
  - P8.16. Les points de Lagrange422
  - Annexe 1 - Rappels d'électromagnétisme423
  - Annexe 2 - Indications sur la résolution des équations différentielles427
  - Annexe 3 - Coordonnées elliptiques et paraboliques431
  - Annexe 4 - Brève histoire de la mécanique435
  - Bibliographie445
  - Index449
  - Table des matières457
Origine de la notice:
- FR-751131015 ;
- Electre