Analyse complexe

Auteur(s) :

Amar, Éric (1947-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Cours et exercices sur la théorie des fonctions d'une variable complexe, mettant en valeur la position privilégiée de l'analyse complexe située entre la géométrie différentielle, la topologie, l'analyse fonctionnelle et l'analyse harmonique.

Autre(s) auteur(s)
- Matheron, Étienne
Éditeur(s)
- Cassini
Date
- 2004
Notes
- . Index
Langues
- Français
Description matérielle
- XIII-470 p. ; 23 x 15 cm
Collections
- Enseignement des mathématiques
Sujet(s)
- Fonctions de plusieurs variables complexes
- Fonctions d'une variable complexe
ISBN
- 2-84225-052-4
Indice
- 517.5 Théorie des fonctions
Quatrième de couverture
- Ce livre traite de la théorie des fonctions d'une variable complexe. On y trouvera ce qui est habituellement enseigné dans un premier cours sur les fonctions holomorphes, ainsi qu'un certain nombre de développements plus avancés. Le livre pourra donc intéresser aussi bien les étudiants en troisième ou quatrième année d'université que les étudiants préparant l'agrégation.
  Si les thèmes abordés sont bien sûr très classiques, le point de vue est moderne, inspiré par certains aspects de la théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables. En témoignent l'utilisation constante des formes différentielles, le recours occasionnel à la théorie des distributions, ou la place accordée aux fonctions sous-harmoniques. Parallèlement, les auteurs se sont attachés à mettre en valeur la position privilégiée de l'analyse complexe à la croisée des chemins entre la géométrie différentielle, la topologie, l'analyse, fonctionnelle et l'analyse harmonique.
  Une place très importante a été accordée aux exercices, qui visent à la fois à faciliter l'assimilation des contenus de base, et à proposer des ouvertures sur des sujets plus avancés.
Tables des matières
- - Analyse complexe
  - ÉRIC AMAR ÉTIENNE MATHERON
  - CASSINI
  - Introduction 1
  - Prérequis de notations 3
  - 1. Calcul différentiel 3
  - 2. Mesures et intégration 3
  - 3. Analyse fonctionnelle 5
  - 4. Topologie 6
  - Chapitre 1. Intégrale curviligne 7
  - 1.1 Formes différentielles de degré 1 7
  - 1.1.1 Formes différentielles sur un ouvert de Rⁿ7
  - 1.1.2 Notation différentielle et fonctions composées 8
  - 1.1.3 Cas du plan complexe 10
  - 1.1.4 Image réciproque d'une 1-forme par une application 12
  - 1.2 Chemins, lacets et courbes 13
  - 1.2.1 Chemins et lacets 13
  - 1.2.2 Courbes de Jordan 15
  - 1.2.3 Équivalence de chemins, équivalence de lacets 16
  - 1.3 Intégrale curviligne 17
  - 1.3.1 Intégrale d'une 1-forme sur une partie de R 17
  - 1.3.2 Intégrale sur un chemin de classe C¹ par morceaux ; exemples 18
  - 1.3.3 Propriétés de l'intégrale curviligne 19
  - 1.3.4 Mesure (dz)... associée à un chemin ... 21
  - 1.4 Orientation 22
  - 1.4.1 Orientation du plan 22
  - 1.4.2 Orientation d'une courbe du plan 22
  - 1.4.3 Notations 26
  - 1.4.4 Intégrale sur une courbe orientée 26
  - 1.5 Longueur 28
  - 1.5.1 Longueur d'un chemin, longueur d'une courbe 28
  - 1.5.2 Mesure de longueur sur une courbe 30
  - Chapitre 2. Formes différentielles dans le plan 37
  - 2.1 Formes exactes et formes fermées 37
  - 2.1.1 Formule de Stokes pour un rectangle 37
  - 2.1.2 Définitions et exemples 38
  - 2.1.3 Lemme de Poincaré 39
  - 2.1.4 Caractérisation des formes exactes 41
  - 2.1.5 Cohomologie de de Rham 42
  - 2.2 Formes différentielles de degré 2 43
  - 2.2.1 Applications bilinéaires alternées 43
  - 2.2.2 Formes différentielles 44
  - 2.2.3 Image réciproque d'une 2-forme par une application 45
  - 2.2.4 Dérivée extérieure d'une 1-forme 46
  - 2.2.5 Intégration 48
  - 2.3 Formule de Stokes 48
  - 2.3.1 Compacts à bords réguliers 48
  - 2.3.2 Formule de Stokes 50
  - 2.3.3 Démonstration élémentaire dans le cas d'un « disque à trous » 56
  - Chapitre 3. Fonctions holomorphes I 65
  - 3.1 Définitions et exemples 65
  - 3.1.1 Fonctions C-dérivables 65
  - 3.1.2 Fonctions holomorphes 68
  - 3.1.3 Exemples fondamentaux 69
  - a. Séries entières 69
  - b. Transformée de Cauchy d'une mesure de Radon 70
  - 3.2 Fonctions usuelles 72
  - 3.2.1 Exponentielle 72
  - a. Exponentielle complexe 72
  - b. Remarques sur la définition 74
  - c. Exponentielle d'un élément d'une algèbre de Banach 76
  - 3.2.2 Fonctions trigonométriques 76
  - 3.2.3 Logarithmes et arguments 77
  - 3.2.4 Racines k-ièmes, puissances 80
  - 3.3 Théorème de Cauchy, formule de Cauchy 81
  - 3.3.1 Théorème de Cauchy 81
  - 3.3.2 Formule de Cauchy-Pompeiu 81
  - 3.3.3 Formule de Cauchy et conséquences immédiates 83
  - 3.4 Développement en série entière 86
  - 3.4.1 Principe du prolongement analytique 87
  - 3.5 Intégalités de Cauchy et applications 88
  - 3.5.1 Inégalités de Cauchy 88
  - 3.5.2 Suites de fonctions holomorphes 90
  - a. Théorème de convergence de Weierstrass 90
  - b. Théorème de Montel 91
  - c. Topologie de H(...)93
  - 3.5.3 Intégrales à paramètres 94
  - 3.6 Formule de Cauchy pour un disque : démonstration directe 95
  - 3.7 Transformée de Cauchy d'une mesure borélienne 97
  - 3.8 Noyau de Cauchy ; espaces A(D) et H²(D) 99
  - 3.8.1 Algèbre du disque A(D) et noyau de Cauchy 99
  - 3.8.2 Espace de Hardy H² (D) 100
  - Chapitre 4. Fonctions holomorphes II 125
  - 4.1 Primitives et logarithmes 125
  - 4.2 Théorème de Morera 126
  - 4.3 Théorème de Cauchy-Goursat 128
  - 4.4 Zéros des fonctions holomorphes 131
  - 4.4.1 Factorisation ; principe des zéros isolés 131
  - 4.4.2 Formule de Jensen 133
  - 4.4.3 Conséquences de al formule de Jensen 136
  - a. Intégrabilité du logarithme 136
  - b. Croissance et distribution des zéros 138
  - 4.5 Séries de Laurent 140
  - 4.6 Singularités isolées ; fonctions méromorphes 144
  - 4.6.1 Singularités isolées 144
  - 4.6.2 Fonctions méromorphes 147
  - 4.6.3 Exemples : prolongements méromorphes de ... 35 ... 147
  - 4.7 Théorème de Liouville 149
  - 4.8 Principe du maximum 153
  - 4.9 Lemme de Schwarz 156
  - 4.10 Produits infinis 157
  - 4.10.1 Exemples 159
  - a. Développement de sin ...z en produit infini 159
  - b. Développement de ... 161
  - c. Développement de ... 162
  - d. Formule des compléments 163
  - 4.10.2 Produits de Blaschke ; zéros des fonctions de ...(D) 164
  - Chapitre 5. Homotopie 181
  - 5.1 Introduction 181
  - 5.2 Intégrale curviligne : cas des chemins continus 182
  - 5.2.1 Primitive d'une forme fermée le long d'un chemin 182
  - 5.2.2 Intégrale sur un chemin continu 185
  - 5.3 Homotopie 187
  - 5.3.1 Définitions ; invariance de l'intégrale par homotopie 187
  - 5.3.2 Ouverts simplement connexes 190
  - 5.4 Indice d'un lacet par rapport à un point 191
  - 5.4.1 Déterminations du logarithme le long d'un chemin ; variation de l'argument 191
  - 5.4.2 Définition de l'indice ; exemples ; calcul pratique 193
  - 5.4.3 Formule e Cauchy homotopique 195
  - 5.4.4 Propriétés de l'indice 196
  - a. Invariance par homotopie 196
  - b. Dépendance par rapport au point p197
  - 5.4.5 Indice et logarithmes continus 198
  - Chapitre 6. Topologie du plan 209
  - 6.1 Degré d'une application définie sur un cercle 209
  - 6.2 Théorème de Brouwer et théorème de l'image ouverte 211
  - 6.3 Homotopie, extensions et logarithmes continus 212
  - 6.3.1 Autre définition de l'indice 214
  - 6.3.2 L'ensemble des exponentielles dans une algèbre de Banach 214
  - 6.4 Théorème de Jordan 215
  - 6.4.1 Les groupes ...(K), ......(K) et G(K) 216
  - 6.4.2 Un exemple 216
  - 6.4.3 Étude du groupe G(K) dans le cas général 217
  - 6.4.4 Théorème de Jordan 220
  - 6.5 Séparation de deux points du plan 221
  - Chapitre 7. Théorème de Cauchy homologique 231
  - 7.1 Cycles, homologie 231
  - 7.2 Théorème de Cauchy homologique 232
  - 7.3 Remarques 235
  - 7.3.1 Densité des fonctions rationnelles 235
  - 7.3.2 Homologie et cohomologie 236
  - Chapitre 8. Résidus 239
  - 8.1 Théorème des résidus 239
  - 8.2 Calcul pratique d'un résidu 240
  - 8.3 Dénombrement de zéros et de pôles; applications 241
  - 8.3.1 Principe de l'argument, théorème de Rouché 241
  - 8.3.2 Comportement local d'une fonction holomorphe 243
  - 8.3.3 Suites de fonctions holomorphes 245
  - 8.4 Exemples de calculs d'intégrales 246
  - 8.4.1 Intégrales trigonométriques 246
  - 8.4.2 Intégrales d'une fonction rationnelles sans pôles réels 246
  - 8.4.3 Intégrales de Fourier 248
  - 8.4.4 Formule des compléments ; prolongement méromorphe de ... à C 249
  - Chapitre 9. Théorème de Runge et applications 265
  - 9.1 Théorème de Runge 265
  - 9.2 Enveloppe d'holomorphie 269
  - 9.3 Résolution de l'équation ... 274
  - 9.4 Problème de Cousin et théorème de Mittag-Leffler 275
  - 9.5 Théorème de Weierstrass 277
  - Chapitre 10. Représentation conforme 297
  - 10.1 La sphère de Riemann 297
  - 10.2 Fonctions holomorphes sur un ouvert de S₂298
  - 10.2.1 Définition et exemples 298
  - 10.2.2 Biholomorphismes 300
  - 10.3 Exemples : automorphismes de C, de S₂ et de D 301
  - 10.3.1 Automorphismes de C 301
  - 10.3.2 Automorphismes de S₂302
  - a. Caractérisation 302
  - b. Homographies et cercles de S₂303
  - 10.3.3 Automorphismes du disque unité 304
  - 10.4 Le théorème de la représentation conforme 306
  - 10.4.1 Réduction au cas d'un domaine borné 306
  - 10.4.2 Une propriété d'extremum 307
  - 10.4.3 Preuve du théorème de Riemann 308
  - 10.4.4 Un exemple explicite 308
  - 10.5 Caractérisations des ouverts simplement connexes 312
  - 10.6 Domaines de Jordan ; théorème de Carathéodory 313
  - Chapitre 11. Fonctions harmoniques 327
  - 11.1 Définition et propriétés élémentaires 327
  - 11.2 Harmonicité et holomorphie 328
  - 11.3 Analyticité ; principe du prolongement analytique 330
  - 11.4 Propriété de la moyenne ; principe du maximum 332
  - 11.5 Formule de Poisson 333
  - 11.5.1 Noyau de Poisson 334
  - 11.5.2 Formule de Poisson 335
  - 11.6 Inégalités de Cauchy, inégalités de Harnack 338
  - 11.6.1 Inégalités de Cauchy 338
  - 11.6.2 Inégalités de Harnack 339
  - 11.7 Intégrale de Poisson ; problème de Dirichlet 342
  - 11.7.1 Intégrale de Poisson 342
  - 11.7.2 Problème de Dirichlet 344
  - 11.7.3 Une application : harmonicité et propriété de la moyenne 345
  - 11.8 Convergence des séries de Fourier au sens d'A bel-Poisson 347
  - 11.8.1 Convergence en norme 348
  - 11.8.2 Convergence préfaible 350
  - 11.8.3 Convergence presque partout 350
  - 11.9 Espaces h_p353
  - 11.10 Formule de Green et applications 359
  - 11.10.1 Formule de Green 359
  - 11.10.2 Une formule du type « Cauchy-Pompeiu » 362
  - 11.10.3 Potentiel logarithmique 365
  - Chapitre 12. Fonctions sous-harmoniques 383
  - 12.1 Définitions et propriétés élémentaires 383
  - 12.1.1 Semi-continuité 383
  - 12.1.2 Fonctions sous-harmoniques ; exemples 386
  - 12.1.3 Propriétés de stabilité 387
  - 12.2 Principe du maixmum 388
  - 12.3 Propriété du majorant harmonique 390
  - 12.4 Moyennes circulaires ; théorème de trois cercles 391
  - 12.5 Intégrabilité 393
  - 12.6 Approximation par convolution 395
  - 12.7 Fonctions sous-harmoniques et distributions 398
  - 12.7.1 Distributions positives 398
  - 12.7.2 Distributions sous-harmoniques 399
  - 12.7.3 Lemme de Weyl ; hypoellipticité 402
  - 12.7.4 Théorème de décomposition de Riesz 403
  - 12.7.5 Formule de Jensen 404
  - 12.8 Exemples d'utilisation de la sous-harmonicité 405
  - 12.8.1 Problème de Dirichlet 406
  - 12.8.2 Opérateurs de composition sur H² (D) 410
  - 12.8.3 Fonctions holomorphes de plusieurs variables 412
  - 12.8.4 Algèbres de Banach 417
  - a. Théorème de Vesentini 417
  - b. Algèbres semi-simples 418
  - c. Homomorphismes d'algèbres de Banach 419
  - Annexe A. Convolution, partitions de l'unité 431
  - A.1 Convolution 431
  - A.1.1 Définition et exemples 431
  - A.1.2 Régularisation et approximation 433
  - A.2 Fonctions plateaux ; partitions de l'unité 434
  - Annexe B. Distributions 443
  - B.1 Définition et exemples 443
  - B.2 Opérations algébriques, restriction 445
  - B.3 Dérivation 445
  - B.4 Support d'une distribution 446
  - B.5 Convolution 447
  - Bibliographie 455
  - Commentaires bibliographiques succincts 459
  - Index 465
  - Index des notations 469
Origine de la notice:
- Electre