Introduction à l'estimation non-paramétrique

Auteur(s) :

Tsybakov, Alexandre B.

Éditeur(s)
- Springer-Verlag
Date
- 2004
Langues
- Français
Description matérielle
- 175 p. ; 24 cm
Collections
- Mathématiques & Applications
Sujet(s)
- Estimation, Théorie de l'
ISBN
- 3-540-40592-5
Indice
- 519 Probabilités et statistiques mathématiques
Quatrième de couverture
- La théorie de l'estimation non-paramétrique s'est développée considérablement ces deux dernières décennies, en se fixant pour objectif quelques thèmes principaux, en particulier, l'étude de l'optimalité des estimateurs et l'estimation adaptative. Ces deux thèmes occupent la place centrale dans le livre. Il s'agit de présenter, pour quelques modèles et exemples simples, les idées principales de l'estimation non-paramétrique. Quelques sujets abordés sont: les méthodes de noyaux, de projection et de polynômes locaux, vitesses optimales de convergence, le théorème de Pinsker, les inégalités d'oracle, l'adaptation au sens minimax. Un chapitre est consacré à l'exposition détaillée des différentes techniques de minoration du risque minimax.
  La Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles (SMAI), fondée en 1983, s'est fixé comme objectif la promotion des mathématiques appliquées. Dans cet esprit, la SMAI a créé une collection d'ouvrage Mathématiques & Applications, dont voici un nouveau numéro.
  Le but de cette collection est d'éditer des textes de niveau 3ème cycle universitaire ou de dernière année d'école d'ingénieurs. Les lecteurs concernés sont donc des étudiants, mais également des chercheurs et ingénieurs qui veulent s'initier aux méthodes et aux résultats des mathématiques appliquées. Certains ouvrages auront ainsi une vocation purement pédagogique alors que d'autres pourront constituer des textes de référence.
  La principale source des manuscrits réside dans les très nombreux cours qui sont enseignés en France, compte tenu de la variété des Diplômes d'Etudes Approfondies (D.E.A.), des Diplômes d'Études Supérieures Spécialisées (D.E.S.S.) ou des options de mathématiques appliquées dans les écoles d'ingénieurs. Mais ce n'est pas l'unique source: certains textes pourront avoir une autre origine.
  Parmi les sujets que la collection souhaite aborder, figurent les suivants: Analyse numérique - Analyse stochastique - Probabilités appliquées - Équations aux dérivées partielles - Automatique - Optimisation - Recherche opérationnelle - Statistique et analyse des données - Modélisation (en mécanique, en économie...) - Infographie et Traitement d'images - Codage et cryptographie - Calcul formel - Calcul parallèle...
Tables des matières
- - Introduction à l'estimation non-paramétrique
  - Alexandre B. Tsybakov
  - Springer
  - 1 Estimateurs non-paramétriques 1
  - 1.1 Exemples de modèles non-paramétriques1
  - 1.2 Estimateurs à noyau d'une densité2
  - 1.2.1 Propriétés des estimateurs à noyau3
  - 1.2.2 Construction d'un noyau d'ordre l8
  - 1.2.3 Estimation d'une densité multidimensionnelle11
  - 1.3 Risque asymptotique exact en un point11
  - 1.4 Risque intégré des estimateurs à noyau18
  - 1.5 Validation croisée26
  - 1.6 Régression non-paramétrique. Estimateur de Nadaraya - Watson28
  - 1.7 Estimateurs par polynômes locaux31
  - 1.8 Biais et variance des estimateurs par polynômes locaux33
  - 1.9 Convergence des estimateurs dans L_infini39
  - 1.10 Estimateurs par projection43
  - 1.10.1 Représentation d'une classe de Sobolev sous la forme d'un ellipsoïde46
  - 1.10.2 Comportement du risque quadratique intégré47
  - 1.10.3 Oracles53
  - 1.10.4 Généralisations55
  - 1.11 Trois modèles gaussiens
    58
  - 2 Minorations du risque minimax 63
  - 2.1 Introduction63
  - 2.2 Schéma général de réduction65
  - 2.3 Minorations basées sur deux hypothèses67
  - 2.4 Distances entre mesures de probabilité69
  - 2.4.1 Inégalités entre les distances72
  - 2.4.2 Bornes à partir de distances76
  - 2.5 Minoration du risque pour la régression en un point77
  - 2.6 Minorations fondées sur plusieurs hypothèses82
  - 2.6.1 Minorations dans L₂87
  - 2.6.2 Minorations dans L_infini93
  - 2.7 Quelques compléments95
  - 2.7.1 Lemme de Fano95
  - 2.7.2 Lemme d'Assouad101
  - 2.7.3 Méthode de deux hypothèses "floues"105
  - 2.7.4 Minoration du risque dans le problème d'estimation d'une fonctionnelle quadratique
    108
  - 3 Efficacité asymptotique et adaptation 113
  - 3.1 Théorème de Pinsker113
  - 3.2 Lemme du minimax linéaire116
  - 3.3 Démonstration du Théorème de Pinsker122
  - 3.3.1 Majoration du risque122
  - 3.3.2 Minoration du risque minimax124
  - 3.4 Phénomène de Stein132
  - 3.4.1 Contraction de Stein et estimateur de James - Stein133
  - 3.4.2 Autres estimateurs à contraction139
  - 3.4.3 Superefficacité141
  - 3.5 Principe d'estimation sans biais du risque142
  - 3.6 Inégalités d'oracle148
  - 3.7 Adaptation au sens minimax154
  - 3.8 Inadmissibilité de l'estimateur de Pinsker
    155
  - Annexe
    161
  - Références
    169
  - Index 173
Origine de la notice:
- BPI