Mathématiques pour la physique
Introduction à la théorie qualitative des systèmes dynamiques
Pierrette Benoist-Gueutal
De boeck
I - Théorie qualitative des itérations
2
1 - Itérations - Déterminisme et imprévisibilité
3
1.1 - Sensibilité aux conditions initiales (S.C.I.)4
1.2 - Sensibilité structurelle et bifurcations6
2 - Itérations dans Rn
7
2.1 - Topologie de Rn7
2.2 - Itérations autonomes8
2.3 - Stabilité au sens de Lyapunov d'une solution d'une itération12
3 - Portrait de phase d'une itération
14
3.1 - Trajectoire (ou itinéraire) d'une itération14
3.2 - Points fixes et solutions périodiques15
3.3 - Solutions cycliques et solutions apériodiques16
3.4 - Orbite d'une itération18
4 - Convergence des solutions d'une itération
19
4.1 - Ensemble Omega-limite d'une solution d'une itération19
4.2 - Ensemble Omega-limite de l'itération d'un ensemble D compact21
4.3 - Ensemble Alpha-limite d'une itération inversible22
5 - Itérations contractantes
23
6 - Systèmes mélangeant
25
7 - Exemples d'itérations de R
26
7.1 - L'itération de décalage26
7.2 - Itération "tente"30
8 - Itérations qualitativement équivalentes
37
8.1 - Homéomorphismes37
8.2 - Définition et propriétés des itérations qualitativement équivalentes38
8.3 - Équivalence linéaire de deux itérations43
8.4 - Exemple d'itérations qualitativement équivalentes44
9 - Systèmes conservatifs et non conservatifs
45
9.1 - Systèmes conservatifs45
9.2 - Systèmes dissipatifs et attracteurs46
10 - La transformation du boulanger
49
Résolution de la transformation du boulanger dans la représentation binaire51
Points fixes et solutions périodiques53
Ensemble Omega-limite d'une solution54
11 - Un attracteur fractal
55
II - Itérations non linéaires continûment différentiables
60
1 - Applications continûment différentiables
61
2 - Itérations linéaires
64
2.1 - Stabilité des solutions de l'équation linéaire65
2.2 - Opérateurs linéaires sur Cn67
2.3 - Itérations linéaires qualitativement équivalentes69
2.4 - Théorème de Jordan et anamorphoses74
2.5 - Itérations hyperboliques82
3 - Itérations non linéaires de classe C1
83
3.1 - Points fixes des itérations de classe C184
3.2 - Linéarisation d'une itération au voisinage d'un point fixe84
3.3 - Stabilité des points fixes hyperboliques86
3.4 - Stabilité des solutions périodiques92
4 - Itérations d'un intervalle I de R
94
4.1 - Généralités94
4.2 - Application logistique96
5 - Itérations quadratiques dans le plan complexe
104
5.1 - Ensemble de Julia106
5.2 - Ensemble de Mandelbrot109
6 - L'itération de Hénon
109
6.1 - L'itération Gc, d de Hénon pour d = 1,4 et c = 0,3112
6.2 - Recherche d'un compact invariant par l'itération dans le cas dissipatif115
7 - Exposant de Lyapunov d'une solution d'une itération
119
7.1 - Itérations d'un intervalle de R119
7.2 - Itérations dans Rn123
Exercices I
128
Énoncés des exercices
129
Exercices supplémentaires
145
Solutions des exercices
149
Solutions des exercices supplémentaires
187
III - Équations différentielles - généralités
194
1 - Systèmes différentiels
195
2 - Systèmes dynamiques déterministes
200
2.1 - Condition de Lipschitz201
2.2 - Théorème de Cauchy-Lipschitz202
2.3 - Stabilité d'une solution au sens de Lyapunov209
2.4 - Trajectoires et orbites210
2.5 - Ensembles Omega-limite et Alpha-limite211
3 - Systèmes conservatifs et dissipatifs
214
4 - Bifurcations et perturbations
220
5 - Systèmes dynamiques autonomes
222
5.1 - Points critiques222
5.2 - Invariance par translation du temps224
5.3 - Propriétés des orbites224
5.4 - Équations différentielles autonomes du premier ordre226
5.5 - Solutions périodiques227
5.6 - Solutions quasi-périodiques229
5.7 - Intégrales premières230
5.8 - Systèmes hamiltoniens233
IV - Systèmes différentiels autonomes de classe C1
238
1 - Introduction
239
2 - Systèmes autonomes linéaires
240
2.1 - Solutions des équations241
2.2 - Stabilité des solutions245
2.3 - Systèmes différentiels linéaires du second ordre246
3 - Stabilité des points fixes des équations autonomes non linéaires
255
3.1 - Méthode de linéarisation pour les points fixes hyperboliques256
3.2 - Méthode de la fonction de Lyapunov270
4 - Systèmes dynamiques autonomes dans R2
274
4.1 - Existence des orbites périodiques dans R2275
4.2 - Stabilité des solutions périodiques278
4.3 - Cycles limites281
4.4 - Sections de Poincaré282
4.5 - Théorème de Poincaré-Bendixson284
5 - Exemples de systèmes dynamiques dans R2 : Les oscillateurs
285
5.1 - Les oscillateurs linéaires285
5.2 - Le pendule simple sans frottement286
5.3 - Le pendule avec amortissement linéaire292
5.4 - L'équation de van der Pol294
6 - Systèmes autonomes dans Rn, n 3
298
6.1 - Solutions m-périodiques et quasi-périodiques298
6.2 - Sections de Poincaré299
6.3 - Les équations de Lorenz301
V - Équations différentielles non autonomes
308
1 - Introduction
309
2 - Systèmes différentiels linéaires homogènes
312
2.1 - Existence des solutions312
2.2 - Systèmes linéaires non autonomes "proches" d'un système autonome315
2.3 - Équations linéaires à coefficients périodiques319
3 - Systèmes différentiels linéaires inhomogènes
324
3.1 - Théorème de Lagrange324
3.2 - Stabilité des solutions325
3.3 - Équations autonomes "excitées"326
3.4 - Itération de T-premier retour327
3.5 - Equations différentielles du premier ordre331
3.6 - Équations différentielles de second ordre332
3.7 - Oscillateur harmonique forcé333
4 - Systèmes différentiels non linéaires
339
4.1 - Point fixe asymptotiquement stable340
4.2 - Point fixe instable340
4.3 - Point fixe stable340
VI - Méthodes d'approximation
342
1 - Développements limités (ou asymptotiques)
343
2 - L'équation de Van der Pol
346
3 - Méthode de Poincaré-Lindstedt
348
3.1 - Cycle limite de l'équation de van der Pol348
3.2 - Exemple d'application de la méthode de Poincaré-Lindstedt349
3.3 - Autre exemple : exercice E II-11351
4 - Oscillateur forcé non linéaire
352
5 - Courbes de transition de l'équation de Mathieu
355
6 - Méthode de moyennisation
358
6.1 - Principe de la méthode358
6.2 - L'équation de Mathieu360
Exercices II
364
Énoncés
365
Solutions
381
Appendice A
428
1 - Quelques définitions ensemblistes
429
2 - Applications
430
3 - Espaces métriques
431
4 - L'espace Rn - Norme euclidienne
432
5 - L'espace Cn
433
6 - Topologie des espaces métriques
433
7 - Ouverts connexes de Rn
435
8 - Continuité d'une application
436
9 - Espaces compacts
436
10 - Espaces complets - Suites de Cauchy
437
11 - Homéomorphie
438
12 - Opérateurs linéaires sur Rn
440
12.1 - Valeurs propres d'une matrice A réelle441
12.2 - Norme sur Rn d'une matrice réelle A443
12.3 - Une matrice réelle A opérateur sur Cn444
Appendice B
446
1 - Applications différentiables
447
2 - Condition de Lipschitz
448
3 - Applications continûment différentiables
449
4 - Applications composées
452
5 - Difféomorphismes
454
6 - Point fixes de F : D Vecteur D
456
7 - Méthode de Newton
456
8 - Fonctions implicites
459
9 - Inversion locale d'une application
462
10 - Itérations continûment différentiables
465
11 - Équations différentielles continûment différentiables
466
Appendice C
472
1 - Coefficient de Lyapunov d'une suite positive
473
2 - Coefficient de Lyapunov d'une fonction positive
476
3 - Étude de la suite ||Ar||, où A est une matrice
477
4 - Équations différentielles autonomes linéaires
480
Appendice D
484
Appendice E
488
1 - Partie entière et partie fractionnaire d'un nombre réel
489
2 - L'ensemble Sigmab
490
3 - Nombres rationnels et nombres cycliques
493
4 - Nombres irrationnels
496
5 - Fractions continues
497
Appendice F
502
1 - Fonctions bi-périodiques
503
2 - Solutions m -périodiques des équations différentielles et les tores Tm
505
Appendice G
512
1 - Exemples de fractals
514
1.1 - Les ensembles de Cantor dans R514
1.2 - La courbe "flocon de neige" de von Koch dans R2517
2 - Dimension fractale (des ensembles auto-similaires)
518
2.1 - Ensembles "simples"519
2.2 - Dimension fractale d'un ensemble de Cantor sur R520
2.3 - Dimension fractale de la courbe de von Koch521
2.4 - Dimension fractale d'un ensemble de Cantor sur R2521
Appendice H
524
1 - Existence des solutions
525
2 - Équations linéaires homogènes
527
2.1 - Opérateur résolvant527
2.2 - Application du théorème de Liouville528
2.3 - Matrices fondamentales529
2.4 - Wronskien d'un système de n solutions532
3 - Équations linéaires à coefficients périodiques
532
3.1 - Multiplicateurs533
3.2 - Théorème de Floquet535
3.3 - Stabilité des solutions de l'équation linéaire périodique538
3.4 - Itération de T-premier retour540
4 - Méthode de Lagrange
541
5 - Équations différentielles linéaires du second ordre
542
5.1 - Théorème du Wronskien542
5.2 - Equation différentielle linéaire autonome du second ordre544