Convexité dans le plan, dans l'espace et au-delà : de la puissance et de la complexité d'une notion simple. volume.2

Auteur(s) :

Berger, Marcel (1885-1966) Découvrir l'auteur

Résumé

Contient une synthèse des connaissances sur la convexité en mathématiques.

Éditeur(s)
- Ellipses
Date
- 2006
Langues
- Français
Description matérielle
- 133 p. ; 19 x 15 cm
Collections
- Opuscules
ISBN
- 2-7298-2776-5
Indice
- 513.3 Géométrie projective, géométrie différentielle, géométries non-euclidiennes
Quatrième de couverture
- Ce n'est que vers 1900 que les mathématiciens ont commencé à étudier solidement la notion de convexité, qui aujourd'hui diffuse dans de nombreuses branches des mathématiques et de leurs applications. Ces deux Opuscules prennent la convexité, les fonctions convexes et les ensembles convexes à leur départ, dans la géométrie très visuelle du plan et de l'espace, et emmènent le lecteur jusqu'aux travaux les plus récents, même en grandes dimensions.
  Pour nous la convexité est une voie facile et peu ingrate de pénétrer dans la géométrie, qui reste une des trois branches fondamentales des mathématiques, alors qu'elle est dans une situation paradoxale dans l'enseignement (à tout le moins jusqu'au niveau Master). Elle a presque disparu de tous les programmes, y compris de l'agrégation, mais reste d'une nécessité vitale dans la vie moderne (vision et animation 3D, CAO, astronomie et astrophysique, biologie, robotique, GPS, etc.).
Tables des matières
- - Convexité dans le plan, dans l'espace et au-delà
  - De la puissance et de la complexité d'une notion simple
  - Marcel Berger
  - ellipses
  - 0 Introduction, naturalité et histoire. Plan de l'ouvrage1
  - 1 Fonctions convexes d'une variable réelle6
  - 2 Rappels de géométrie affine et euclidienne11
  - 3 Ensembles convexes. Nombreux exemples16
  - 3.1. Fonctions convexes de plusieurs variables et définition d'un ensemble convexe16
  - 3.2. Exemples de fonctions convexes de plusieurs variables19
  - 3.3. Les plus simples des convexes. Demi-espaces, intersections, enveloppe convexe, projections ; polygones et polyèdres20
  - 3.3.1. Les demi-espaces médiateurs23
  - 3.3.2. Polygones et polyèdres24
  - 3.4. Théorème de Minkowski et programmation linéaire28
  - 3.5. Disques, boules, ellipses et ellipsoïdes29
  - 3.6. Les boules L_p, les convexes centre-symétriques31
  - 3.7. Encore d'autres exemples33
  - 4 Théorèmes de base et applications, forme des convexes34
  - 4.1. Dimension d'un convexe, considérations topologiques35
  - 4.2. Pieds, projection sur un convexe, éléments d'appui36
  - 4.3. Les formes possibles- globales - d'un convexe et de sa frontière39
  - 4.4. Différents types de points de la frontière. À quoi sont-ils bons ?41
  - 5 Des invariants plus ou moins subtils pour les convexes43
  - 5.1. Diamètre et largeur44
  - 5.2. Centre de gravité et point de Steiner45
  - 5.3. Volume d'un convexe46
  - 5.3.1. Valeur des volumes des disques, ellipses, boules, ellipsoïdes48
  - 5.3.2. Aire des polygones49
  - 5.4. Longueur de la frontière d'un convexe du plan49
  - 5.4.1. Une montée conceptuelle capitale pour définir Long((...)C)49
  - 5.5. L'aire de la frontière d'un convexe de l'espace51
  - 5.6. Les invariants de Steiner (alias mesures de courbure)53
  - 5.7. L'ellipse, l'ellipsoïde de Behrend-John-L(...)wner (et leurs duaux)55
  - 5.7.1. Démonstration de l'existence et de l'unicité56
  - 5.7.2. Applications56
  - 5.8. L'ellipsoïde d'inertie, mouvement À la Poinsot, l'ellipsoïde de Legendre57
  - 5.9. La probabilité de Sylvester d'un convexe compact60
  - 5.10. Deux autres invariants beaucoup plus sophistiqués65
  - 6 Des opérations sur les convexes67
  - 6.1. L'addition de Minkowski et le point de Steiner67
  - 6.2. Les symétrisations de Steiner et de Schwarz69
  - 6.3. La polarité. Importance et applications75
  - 7 Relations entre ces invariants et ces opérations81
  - 7.1. L'inégalité isopérimétrique81
  - 7.2. Aire et symétrisation, première démonstration de l'inégalité isopérimétrique90
  - 7.3. Symétrisation et autres invariants91
  - 7.3.1. Symétrisation et diamètre91
  - 7.3.2. Symétrisation et volume des polyèdres inscrits91
  - 7.4. Addition de Minkowski et centre de gravité, point de Steiner, fréquence fondamentale91
  - 7.5. Aire des sections planes92
  - 7.5.1. Couper par des droites, le problème des rayons X de Hammer92
  - 7.5.2. Sections planes des ellipsoïdes95
  - 7.5.3. Sections planes du cube. Minimum, maximum95
  - 7.5.4. Sections planes de l'octaèdre régulier (cocube)102
  - 7.5.5. Le problème de Busemann-Petty. Théorie et pratique, harmoniques sphériques inutiles, transformation de Radon103
  - 7.5.6. Les projections et les aires des sections planes106
  - 7.5.7. Sections du tétraèdre régulier106
  - 7.6. Le théorème fondamental de Brunn-Minkowski. Addition de Minkowski et volume (resp. aire). Démonstration de Blaschke. Deuxième démonstration de l'inégalité isopérimétrique107
  - 7.7. Volume et polarité114
  - 7.8. Addition de Minkowski et fréquence fondamentale117
  - Biographies 119
  - éléments de bibliographie 129
  - Index pour les deux tomes 137
  - Index des notations 147
  - Liste des noms cités dans les deux tomes 149
  - Contenu de la deuxième partie
  - 8 Étude de la douceur de la frontière des convexes et des fonctions convexes de plusieurs variables
  - 9 L'espace de tous les convexes compacts. La métrique de Hausdorff et la compacité de Blaschke. Un convexe est-il bon, est-il méchant ?
  - 9.1 Introduire l'espace de tous les convexes
  - 9.2 Ce qui se passe dans le cadre euclidien
  - 10 Les polygones
  - 10.1 Polygones réguliers
  - 10.2 Déformations des polygones
  - 10.3 Inégalités isopérimétriques pour les polygones
  - 10.4 Rationalité des polygones
  - 11 Les polyèdres
  - 11.1 Combinatoire des polyèdres
  - 11.2 Polyèdres euclidiens réguliers
  - 11.3 Polyèdres euclidiens. Rigidité de Cauchy (unicité) et existence (Alexandrov)
  - 11.4 Isopérimétrie chez les polyèdres euclidiens
  - 11.5 Propriétés d'inscriptibilité chez les polyèdres euclidiens
  - 11.6 Problèmes de rationalité et polyèdres
  - 12 Convexes et points à coordonnées entières. Le théorème de Minkowski et la géométrie des nombres
  - 13 En dimensions plus grandes : ce qui se passe bien sans trop de mystère
  - 13.1 Volumes, aires, exemples, symétrisation, polarité
  - 13.2 Théorème de Brunn-Minkowski, Formule de Steiner-Minkowski
  - 13.3 L'inégalité isopérimétrique, suite et fin
  - 13.4 Polytopes, polytopes réguliers, combinatoire
  - 14 En dimensions plus grandes, des phénomènes étonnants et contraires à l'intuition
  - 14.1 La conjecture de Busemann-Petty, suite et fin provisoire
  - 14.2 Réalisations de polytopes avec des coordonnées entières
  - 14.3 Les étonnantes sections presque sphériques de Dvoretsky
  - 15 En dimensions plus grandes : les mystères qui subsistent
  - 15.1 Des invariants pour tester la méchanceté d'un convexe
  - 15.2 Retour aux sections hyperplanes, et six conjectures équivalentes
  - 16 Petite collection de brefs aperçus sur des problèmes non abordés en détail
  - 16.1 Un autre regard sur l'espace de tous les convexes ; le compact de Banach-Mazur
  - 16.2 La question de Borsuk
  - 16.3 Paver avec des cubes
  - 16.4 Les galets des plages et la fabrication des billes (à l'ancienne)
  - 16.5 Le corps flottant qui perd la tête
  - 16.6 La gravité newtonnienne
Origine de la notice:
- Electre