Méthodes numériques itératives : algèbre linéraire et non linéraire, niveau M1

Auteur(s) :

Brezinski, Claude (1941-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Cours et exercices corrigés.

Autre(s) auteur(s)
- Redivo-Zaglia, Michela
Éditeur(s)
- Ellipses
Date
- 2006
Langues
- Français
Description matérielle
- 320 p. ; 26 x 18 cm
Collections
- Mathématiques à l'université
Sujet(s)
- Manuels d'enseignement supérieur
- Systèmes linéaires -- Solutions numériques
ISBN
- 2-7298-2887-7
Indice
- 512 Algèbre
Quatrième de couverture
- La collection Mathématiques à l'Université se propose de mettre à la disposition des étudiants de troisième, quatrième et cinquième années d'études supérieures en mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le Capes ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des grandes écoles.
  Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous: les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels et de nombreux exercices. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur.
  Ce livre est la suite naturelle du livre Méthodes numériques directes de l'algèbre matricielle. Il présente pratiquement toutes les méthodes actuellement en usage pour la résolution des grands systèmes d'équations, linéaires ou non linéaires et la détermination des valeurs propres et vecteurs propres des matrices de grande taille. Les auteurs ont pris soin d'exposer, outre les aspects théoriques des méthodes présentées, les problèmes pratiques rencontrés lors de leur mise en oeuvre. Les avantages et inconvénients des diverses méthodes sont clairement présentés; les praticiens apprécieront les comparaisons et les conseils prodigués par les auteurs.
  Les quatre derniers chapitres de ce livre traitent de sujets rarement abordés dans les ouvrages de ce niveau. En particulier, la géométrie fractale et l'itération des applications (chapitre IX), les méthodes permettant le classement des pages web (chapitre XI), devraient intéresser de nombreux lecteurs.
  Ce livre conviendra à des lecteurs de niveaux très divers: sa clarté le rend accessible aux étudiants qui débutent en analyse numérique; sa très grande richesse, et sa bibliographie étendue, le feront apprécier des chercheurs et des spécialistes.
Tables des matières
- - Méthodes numériques itératives
  - Algèbre linéaire et non linéaire
  - Claude Brezinski et Michela Redivo-Zaglia
  - ellipses
  - Avant-propos
    V
  - I Notions fondamentales 1
  - 1. Normes de vecteurs et de matrices1
  - 2. Conditionnement d'une matrice3
  - 3. Préconditionnement d'un système linéaire4
  - 4. Estimations de l'erreur et tests d'arrêt
    5
  - II Méthodes itératives de base 9
  - 1. Convergence de matrices9
  - 2. Méthodes de relaxation11
  - 2.2 Généralités sur la convergence12
  - 2.5 Cas particuliers13
  - 2.12 Tests d'arrêt15
  - 2.13 Les méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel16
  - 2.14 Convergence des méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel18
  - 2.21 Résultats particuliers de convergence20
  - 3. La méthode de sur-relaxation22
  - 3.1 Convergence de la méthode de sur-relaxation23
  - 3.8 Théorie de Young-Frankel de la sur-relaxation25
  - 3.18 La méthode de sur-relaxation symétrique30
  - 4. La méthode des directions alternées30
  - 5. Les méthodes de Richardson32
  - 6. Les méthodes semi-itératives34
  - 6.1 Généralités34
  - 6.2 La méthode de Chebyshev35
  - 7. Pseudo-codes37
  - 7.1 La méthode de Jacobi37
  - 7.2 La méthode de Gauss-Seidel38
  - 7.3 La méthode de sur-relaxation
    39
  - III Méthodes de projection. Approche géométrique 41
  - 1. Méthodes générales de projection41
  - 2. Méthodes de projection pour systèmes symétriques44
  - 2.1 Généralités44
  - 2.7 Construction géométrique du processus47
  - 2.9 La méthode de la plus profonde descente49
  - 2.10 La méthode du gradient conjugué51
  - 3. Pseudo-codes55
  - 3.1 L'algorithme de la plus profonde descente55
  - 3.2 L'algorithme du gradient conjugué56
  - 3.3 L'algorithme du gradient conjugué préconditionné
    57
  - IV Méthodes de projection. Approche variationnelle 59
  - 1. Formulation variationnelle59
  - 1.1 La méthode de la plus profonde descente61
  - 1.2 Les différents cas62
  - 2. Méthodes itératives de projection63
  - 2.1 Les différents cas64
  - 2.4 La méthode des directions conjuguées68
  - 2.9 La méthode du gradient conjugué70
  - 3. Retour vers les directions conjuguées
    79
  - V Méthodes de projection. Approche algébrique 83
  - 1. Généralités sur les méthodes de projection83
  - 1.1 Les projections83
  - 1.8 Méthodes de projection87
  - 1.13 Méthodes de sous-espace de Krylov89
  - 2. La méthode de Lanczos91
  - 2.1 Approche polynômiale92
  - 2.2 Approche matricielle97
  - 2.3 Récapitulatif98
  - 2.4 Algorithmes99
  - 2.6 Comment préconditionner102
  - 2.7 Étude de la convergence105
  - 3. Méthodes de Lanczos de type produit108
  - 3.1 CGS109
  - 3.2 BiCGSTAB111
  - 3.3 D'autres algorithmes sans transposée112
  - 4. Le problème de la division par zéro113
  - 5. Autres méthodes de sous-espace de Krylov114
  - 5.1 La méthode d'Arnoldi114
  - 5.2 FOM115
  - 5.3 GMRES117
  - 5.4 Mise en oeuvre de FOM et GMRES118
  - 5.5 QMR119
  - 6. Procédure hybride et MRS120
  - 7. Pseudo-codes123
  - 7.1 L'algorithme du gradient biconjugué123
  - 7.2 L'algorithme du gradient biconjugué préconditionné124
  - 7.3 CGS couplé avec l'algorithme du gradient biconjugué124
  - 7.4 BiCGSTAB couplé avec l'algorithme du gradient biconjugué
    125
  - VI Calcul des valeurs propres 127
  - 1. Introduction127
  - 2. La méthode de la puissance127
  - 2.1 Accélération de la convergence131
  - 2.2 Variantes de la méthode de la puissance132
  - 2.3 Recherche des autres valeurs propres133
  - 2.4 La méthode de la puissance inverse136
  - 3. Méthodes de décomposition136
  - 3.2 La méthode de Jacobi138
  - 3.5 La méthode de Greenstadt141
  - 3.6 L'algorithme LR143
  - 3.10 Application aux matrices de Hessenberg146
  - 3.12 L'algorithme QR148
  - 4. La méthode de Rayleigh-Ritz150
  - 5. Estimations des erreurs152
  - 5.1 Estimations a priori152
  - 5.4 Estimations a posteriori153
  - 6. Pseudo-codes154
  - 6.1 L'algorithme de Jacobi, choix cyclique155
  - 6.2 L'algorithme de Jacobi, choix classique156
  - 6.3 L'algorithme QR
    157
  - VII Résolution des équations non linéaires 159
  - 1. Position du problème et résultats généraux159
  - 1.1 Théorèmes de convergence160
  - 1.9 Ordre d'une suite163
  - 1.16 Tests d'arrêt165
  - 1.17 Interprétation géométrique et domaine d'attraction166
  - 1.18 Propagation des erreurs d'arithmétique167
  - 2. Méthodes itératives pour une équation168
  - 2.1 La méthode de bisection168
  - 2.2 La méthode de Newton169
  - 2.4 Méthode de la sécante172
  - 2.6 Indice d'efficacité174
  - 2.9 La méthode de Muller175
  - 2.10 Le procédé delta² d'Aitken176
  - 2.14 La méthode de Steffensen178
  - 2.19 Méthodes d'ordre supérieur180
  - 3. Exemples numériques181
  - 4. Résolution des systèmes d'équations185
  - 4.1 La méthode de Newton pour un système185
  - 4.3 La méthode d'Henrici186
  - 5. Les méthodes quasi-Newton188
  - 5.4 La méthode de Barnes191
  - 5.6 Les méthodes de Broyden192
  - 5.7 Les méthodes à plusieurs pas193
  - 5.8 La méthode de Wolfe194
  - 5.9 Les méthodes de Barzilai-Borwein195
  - 6. Les méthodes de continuation195
  - 7. L'équation de Sylvester196
  - 8. Pseudo-codes197
  - 8.1 La méthode de Newton197
  - 8.2 La méthode de la sécante198
  - 8.3 La méthode de Steffensen199
  - 8.4 Estimation de l'ordre d'une suite199
  - 8.5 Les méthodes de Barzilai-Borwein
    200
  - VIII Équations algébriques 201
  - 1. Rappels sur les polynômes201
  - 2. Localisation des racines d'un polynôme203
  - 3. Calcul des racines d'un polynôme208
  - 3.1 La méthode de Newton208
  - 3.2 La méthode de Lin209
  - 3.3 La méthode de Bernoulli209
  - 3.5 La méthode de Bairstow211
  - 3.6 La méthode de Durand-Kerner213
  - 3.7 L'algorithme QD214
  - 3.9 La méthode de Graeffe215
  - 3.10 La méthode de Laguerre216
  - 3.11 Contrôle de l'erreur218
  - 4. Pseudo-codes218
  - 4.1 La méthode de Bairstow218
  - 4.2 La méthode de Laguerre
    219
  - IX Fractals et dynamique des itérations 223
  - 1. Fractals223
  - 2. Dynamique des itérations228
  - 2.1 Bifurcation229
  - 2.2 Ensembles de Julia et de Mandelbrot
    231
  - X Accélération de la convergence 237
  - 1. L'extrapolation de Richardson239
  - 2. Le procédé delta² d'Aitken242
  - 3. La transformation de Shanks244
  - 4. Le E-algorithme247
  - 5. Pseudo-codes248
  - 5.1 Le procédé de Richardson249
  - 5.2 Le procédé delta² itéré
    249
  - XI Une application: le web 251
  - 1. Le problème251
  - 2. Le vecteur PageRank253
  - 2.1 Expressions implicites du vecteur PageRank254
  - 2.5 Expressions explicites du vecteur PageRank255
  - 3. Calcul du vecteur PageRank257
  - 4. Approximation de Padé du vecteur PageRank260
  - 4.1 Les approximants de Padé260
  - 4.2 Application au vecteur PageRank261
  - 5. Accélération de la méthode de la puissance262
  - 5.1 Extrapolation vectorielle au sens des moindres carrés262
  - 5.5 Les epsilon-algorithmes
    264
  - XII Biorthogonalité et méthode des moments 267
  - 1. Biorthogonalité et méthode de Galerkin267
  - 2. La méthode des moments270
  - Appendice
    275
  - Problèmes
    279
  - Bibliographie
    293
  - Index 301
Origine de la notice:
- Electre