Introduction a la logique
Alfred Tarski
Paris Gauthier-Villars éditeur-imprimeur-libraire/Louvain E. Nauwelaerts éditeur
AvertissementVII
Préface de l'Edition originaleIX
Préface de l'Édition augmentéeXI
Première Partie
Éléments de logique. Méthode déductive
I. L'Usage des Variables
1. Constantes et variables3
2. Expressions contenant des variables - Fonctions propositionnelles
et fonctions descriptives4
3. Formation de propositions au moyen de variables - Propositions
universelles et propositions existentielles6
4. Quantificateur universel et quantificateur existentiel ; variables
libres et variables liées8
5. L'importance des variables en mathématiques11
Exercices12
II. Le Calcul des Propositions
6. Les constantes logiques ; l'ancienne logique et la nouvelle logique17
7. Le calcul des propositions ; négation d'une proposition, conjonction
et disjonction des propositions18
8. Implication ou proposition conditionnelle ; implication au sens
matériel21
9. L'usage de l'implication en mathématiques26
10. Équivalence des propositions29
11. La formulation des définitions et ses règles30
12. Lois du calcul des propositions32
13. Symbolisme du calcul des propositions ; fonctions de vérité et
tables de vérité34
14. Application des lois du calcul des propositions dans les inférences40
15. Règles d'inférence, preuves complètes42
Exercices44
III. La Théorie de l'Identité
16. Les concepts logiques en dehors du calcul des propositions ; le
concept d'identité49
17. Lois fondamentales de la théorie de l'identité50
18. L'identité des choses et l'identité de leurs désignations ; usage des
guillemets52
19. L'égalité en arithmétique et en géométrie, et sa relation avec
l'identité logique55
20. Quantificateurs numériques57
Exercices58
IV. La Théorie des Classes
21. Les classes et leurs éléments63
22. Classes et fonctions propositionnelles à une variable libre64
23. La classe universelle et la classe nulle67
24. Les relations fondamentales entre les classes68
25. Opérations sur les classes71
26. Classes équipotentes, nombre cardinal d'une classe, classes finies et
classes infinies ; l'arithmétique comme une partie de la logique73
Exercices75
V. La Théorie des Relations
27. Les relations, leurs domaines et leurs domaines contre-domaines ; les
relations et les fonctions propositionnelles à deux variables libres81
28. Le calcul des relations84
29. Quelques propriétés des relations87
30. Relations qui sont réflexives, symétriques et transitives88
31. Relations d'ordre, exemples d'autres relations90
32. Relations univoques ou fonctions91
33. Relations ou fonctions biunivoques, et correspondances bi-univoques95
34. Relations à plusieurs termes ; fonctions à plusieurs variables et
opérations98
35. L'importance de la logique pour les autres sciences100
Exercices101
VI. La Méthode Déductive
36. Les constituants fondamentaux d'une théorie déductive -
Termes primitifs et termes définis, axiomes et théorèmes109
37. Modèle et interprétation d'une théorie déductive112
38. La loi de déduction ; caractère formel des sciences déductives117
39. Choix des axiomes et des termes primitifs ; leur indépendance121
40. La formalisation des définitions et des preuves, les théories déductives
formalisées122
41. Consistance et complétude d'une théorie déductive ; le problème
de décision (decision problem)125
42. La conception élargie de la méthodologie des sciences déductives128
Exercices130
Seconde Partie
Applications de la logique et de la méthodologie
a la construction des théories mathématiques
VII. Construction d'une Théorie Mathématique :
Lois d'Ordre pour les Nombres
43. Termes primitifs de la théorie à construire ; axiomes concernant
les relations fondamentales entre les nombres145
44. Lois de non réflexivité pour les relations fondamentales ; preuves
indirectes147
45. Autres théorèmes portant sur les relations fondamentales149
46. Autres relations entre les nombres151
Exercices155
VIII. Construction d'une Théorie Mathématique :
Lois de l'Addition et de la Soustraction
47. Axiomes concernant l'addition ; propriétés générales des opérations,
concepts de groupe et de groupe abélien157
48. Les lois commutative et associative pour un nombre plus grand
d'éléments à additionner159
49. Lois de monotonie pour l'addition et leurs converses160
50. Systèmes fermés de propositions164
51. Conséquences des lois de monotonie165
52. Définition de la soustraction ; opérations inverses168
53. Définitions dont le definiendum contient le signe d'identité169
54. Théorèmes sur la soustraction171
Exercices172
IX. Considérations Méthodologiques sur la Théorie
que nous venons de Construire
55. Élimination des axiomes superflus dans le système d'axiomes
originel179
56. Indépendance des axiomes du système simplifié182
57. Élimination des termes primitifs superflus et simplification
subséquente du système d'axiomes ; concept de groupe abélien
ordonné183
58. Autre simplification du système d'axiomes ; transformations
possibles du système de termes primitifs186
59. Le problème de la consistance de la théorie que nous venons de
construire191
60. Le problème de la complétude de la théorie que nous avons
construite192
Exercices193
X. Extension de la Théorie Construite :
Fondements de l'Arithmétique des Nombres Réels
61. Premier système d'axiomes pour l'arithmétique des nombres réels199
62. Caractérisation plus stricte du premier système d'axiomes ; ses
avantages méthodologiques et ses inconvénients didactiques200
63. Second système d'axiomes pour l'arithmétique des nombres réels202
64. Caractérisation plus stricte du second système d'axiomes ;
concepts de corps et de corps ordonné203
65. Équipollence des deux systèmes d'axiomes ; désavantages méthodologiques
et avantages didactiques du second système205
Exercices206
Lectures conseillées
A. Développement systématique de la logique212
B. Théorie générale des ensembles214
C. Fondements de l'arithmétique en logique et en théorie des
ensembles216
D. Méthodologie des sciences déductives218
E. Fondements axiomatiques de théories mathématiques particulières220
F. Histoire de la logique221
G. Philosophie de la logique et des mathématiques222
Index Français-Anglais225