Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l'ingénieur

Auteur(s) :

Grivet, Jean-Philippe Découvrir l'auteur

Résumé

Les méthodes numériques et leurs modes d'application sont abordés.

Éditeur(s)
- EDP sciences
Date
- 2009
Langues
- Français
Description matérielle
- 300 p. ; 26 x 17 cm
Collections
- Grenoble sciences
Sujet(s)
- Équations
- Analyse numérique
ISBN
- 978-2-7598-0386-6
Indice
- 518 Calcul et analyse numériques
Quatrième de couverture
- Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l'ingénieur
  De nombreux problèmes physiques ne peuvent pas être résolus analytiquement et conduisent à des calculs numériques. L'objectif de l'ouvrage est de donner des méthodes concrètes permettant de transcrire ces problèmes dans des logiciels fonctionnant sur la majorité des ordinateurs (utilisation quasi exclusive du logiciel gratuit Scilab, mais aussi de Maple...).
  L'originalité de Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l'ingénieurréside dans la pédagogie développée : chaque thème est introduit par les bases de mathématiques strictement nécessaires avant d'aborder la partie proprement numérique ; puis de nombreux exercices d'application sont proposés dans une progression judicieuse.
  Les problématiques usuelles sont ainsi présentées : interpolation, résolution d'équations non-linéaires, dérivation et intégration numériques, équations différentielles, systèmes d'équations linéaires, valeurs propres et vecteurs propres. Mais d'autres chapitres sont plus originaux : représentation graphique, polynômes orthogonaux, probabilités et erreurs, calcul et approximation de fonction, représentation de grandeurs physiques... Le lecteur trouvera ici une variété d'exercices et de projets issus de la physique qui lui permettront de s'approprier concrètement ces méthodes ; il utilisera cet ouvrage comme un recueil de recettes numériques pour les problèmes qu'il rencontre.
  L'ouvrage est indispensable à l'ingénieur et au scientifique confrontés à des résolutions numériques. Il est accessible à partir d'un niveau L3-M1.
Tables des matières
- - Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l'ingénieur
  - Jean-Philippe Grivet
  - EDP Sciences
  - Avant-propos5
  - Chapitre 1. Représentation graphique de fonctions9
  - 1.1. Les tableurs9
  - 1.2. Java et PtPlot10
  - 1.3. Python et Matplotlib11
  - 1.4. Gnuplot12
  - 1.5. Maple13
  - 1.6. Scilab14
  - 1.7. Grace16
  - 1.8. Pour en savoir plus16
  - 1.9. Exercices18
  - Chapitre 2. Calcul et approximation de fonctions23
  - 2.1. Polynômes et fractions rationnelles24
  - 2.2. Relations de récurrence25
  - 2.3. Développement limité26
  - 2.4. Approximant de Padé28
  - 2.5. Utilisation de bibliothèques de programmes30
  - 2.6. Approximation de fonctions30
  - 2.7. Développement asymptotique32
  - 2.8. Représentation des nombres en machine34
  - 2.8.1. Les nombres entiers34
  - 2.8.2. Les nombres fractionnaires35
  - 2.9. Pour en savoir plus36
  - 2.10. Exercices37
  - 2.11. Projets43
  - Chapitre 3. Représentation des grandeurs physiques49
  - 3.1. Une méthode simple de « dédimensionnement »50
  - 3.2. Construction systématique de variables sans dimension51
  - 3.3. Pour en savoir plus53
  - 3.4. Exercices53
  - Chapitre 4. L'interpolation57
  - 4.1. Définition de l'interpolation58
  - 4.2. Méthode des coefficients indéterminés59
  - 4.3. Le polynôme d'interpolation de Lagrange60
  - 4.4. Le polynôme de Newton62
  - 4.4.1. Interpolation linéaire62
  - 4.4.2. Les différences divisées63
  - 4.4.3. La formule de Newton63
  - 4.5. L'erreur d'interpolation66
  - 4.6. Interpolation entre pivots équidistants68
  - 4.6.1. Les différences finies latérales68
  - 4.6.2. La formule d'interpolation de Newton69
  - 4.7. Le polynôme d'interpolation de Hermite71
  - 4.8. L'interpolation inverse72
  - 4.9. L'interpolation par intervalle73
  - 4.10. L'interpolation « spline »74
  - 4.11. Interpolation à deux ou plusieurs dimensions78
  - 4.12. Pour en savoir plus79
  - 4.13. Exercices79
  - 4.14. Projets82
  - Chapitre 5. Résolution d'équations non linéaires85
  - 5.1. Méthode de bissection ou de dichotomie86
  - 5.2. Méthode « Regula falsi » ou des parties proportionnelles87
  - 5.3. Méthode du point fixe ou d'itération88
  - 5.4. Méthode de Newton90
  - 5.5. Méthode de la sécante93
  - 5.6. Résolution de systèmes d'équations93
  - 5.7. Racines des polynômes96
  - 5.7.1. Division des polynômes96
  - 5.7.2. Séparation des racines98
  - 5.7.3. Suites de Sturm99
  - 5.7.4. La méthode de Newton pour les polynômes101
  - 5.7.5. Scilab et les polynômes102
  - 5.7.6. Condition du problème103
  - 5.8. Pour en savoir plus104
  - 5.9. Exercices104
  - Chapitre 6. Résolution de systèmes d'équations linéaires109
  - 6.1. Le « conditionnement »111
  - 6.2. Orientation112
  - 6.3. Méthode de Gauss113
  - 6.3.1. Algorithme113
  - 6.3.2. Méthode de Gauss-Jordan117
  - 6.3.3. Décomposition LU117
  - 6.3.4. Représentation matricielle de l'élimination119
  - 6.3.5. Permutation de lignes121
  - 6.3.6. Nombre d'opérations124
  - 6.3.7. Calcul de l'inverse de A125
  - 6.4. Factorisation directe125
  - 6.4.1. Variantes126
  - 6.5. Matrices particulières127
  - 6.5.1. Matrice à diagonale dominante127
  - 6.5.2. Matrice symétrique définie positive127
  - 6.5.3. Matrice bande128
  - 6.5.4. Système tridiagonal129
  - 6.6. Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires130
  - 6.6.1. Méthode de Jacobi130
  - 6.6.2. Méthode de Gauss-Seidel132
  - 6.6.3. Méthode de surrelaxation133
  - 6.6.4. Convergence des méthodes itératives134
  - 6.7. Système surdéterminé135
  - 6.8. Pour en savoir plus136
  - 6.9. Exercices137
  - 6.10. Projet139
  - 6.11. Annexe : rappels d'algèbre linéaire140
  - 6.11.1. Base et sous-espace140
  - 6.11.2. Image, noyau et rang140
  - 6.11.3. Inverse et déterminant141
  - 6.11.4. Normes vectorielles141
  - 6.11.5. Normes de matrices142
  - 6.11.6. Opérations sur des blocs143
  - Chapitre 7. Polynômes orthogonaux145
  - 7.1. Définition, existence145
  - 7.2. Relation avec les polynômes habituels147
  - 7.3. Propriétés des zéros147
  - 7.4. Relation de récurrence148
  - 7.5. Équation différentielle149
  - 7.6. Fonction génératrice149
  - 7.7. Formule de Rodrigues150
  - 7.8. Identité de Darboux-Christofel150
  - 7.9. Polynômes particuliers150
  - 7.9.1. Legendre150
  - 7.9.2. Hermite151
  - 7.9.3. Laguerre152
  - 7.9.4. Tschebychef153
  - 7.10. Autres polynômes classiques154
  - 7.10.1. Jacobi154
  - 7.10.2. Laguerre généralisé154
  - 7.11. Pour en savoir plus154
  - 7.12. Exercices155
  - Chapitre 8. Dérivation et intégration numériques159
  - 8.1. Rappels d'analyse159
  - 8.2. Dérivée d'une fonction analytique160
  - 8.2.1. Développements limités160
  - 8.2.2. Méthode des coefficients indéterminés162
  - 8.2.3. Dérivée du polynôme d'interpolation163
  - 8.2.4. Accélération de la convergence163
  - 8.3. Dérivée d'une fonction empirique164
  - 8.4. Généralités sur l'intégration numérique165
  - 8.5. Méthodes élémentaires d'intégration166
  - 8.6. Méthodes de Newton-Cotes168
  - 8.6.1. Intervalle fermé168
  - 8.6.2. Intervalle ouvert170
  - 8.6.3. Formules composites171
  - 8.7. Méthode de Romberg172
  - 8.8. Intégration de Gauss174
  - 8.9. Généralisations de la méthode de Gauss176
  - 8.10. Les intégrales généralisées177
  - 8.11. Les intégrales multiples177
  - 8.12. L'intégrale sans peine178
  - 8.13. Pour en savoir plus179
  - 8.14. Exercices179
  - 8.15. Projet184
  - Chapitre 9. Analyse spectrale, transformation de Fourier numérique187
  - 9.1. Les méthodes de Fourier187
  - 9.1.1. Série de Fourier187
  - 9.1.2. Intégrale ou transformée de Fourier (TF)188
  - 9.1.3. Vocabulaire et notations189
  - 9.1.4. Échantillonnage189
  - 9.1.5. Transformée de Fourier d'une fonction échantillonnée (TFTD)190
  - 9.2. Transformée de Fourier discrète (TFD)191
  - 9.2.1. Définition191
  - 9.2.2. La TFD comme approximation de l'intégrale de Fourier191
  - 9.2.3. Notation matricielle pour la TFD192
  - 9.3. Transformée de Fourier rapide (TFR)193
  - 9.3.1. Algorithme de Cooley-Tukey ou « entrelacement en temps »194
  - 9.3.2. Le renversement binaire197
  - 9.3.3. Factorisation de la matrice V et variantes de l'algorithme TFR197
  - 9.4. Propriétés de la transformée de Fourier discrète199
  - 9.5. Pour en savoir plus205
  - 9.6. Exercices205
  - 9.7. Projet207
  - Chapitre 10. Valeurs propres, vecteurs propres209
  - 10.1. Les éléments propres sans peine210
  - 10.2. Méthode de la puissance n-ième et méthodes dérivées211
  - 10.2.1. Puissance n-ième211
  - 10.2.2. Puissance n-ième avec décalage213
  - 10.2.3. Puissance n-ième de l'inverse213
  - 10.2.4. Puissance n-ième de l'inverse avec décalage213
  - 10.2.5. Quotient de Rayleigh214
  - 10.3. Méthode de Jacobi215
  - 10.3.1. Principe215
  - 10.3.2. Mise en oeuvre216
  - 10.4. Transformation de Householder221
  - 10.5. Factorisation QR et algorithme QR224
  - 10.5.1. Factorisation QR224
  - 10.5.2. Algorithme QR225
  - 10.6. Réduction à la forme tridiagonale et calcul des valeurs propres227
  - 10.6.1. Tridiagonalisation227
  - 10.6.2. Calcul des valeurs propres228
  - 10.7. Matrices hermitiennes230
  - 10.8. Pour en savoir plus231
  - 10.9. Exercices231
  - 10.10. Projets234
  - Chapitre 11. Problèmes différentiels à conditions initiales239
  - 11.1. Méthodes analytiques241
  - 11.1.1. Développement de Taylor241
  - 11.1.2. Méthode des coefficients indéterminés (Frobenius)242
  - 11.1.3. Méthode de Picard, ou d'approximations successives242
  - 11.2. Méthodes d'Euler et de Taylor243
  - 11.3. Méthodes de Runge-Kutta246
  - 11.3.1. Méthodes d'ordre 2246
  - 11.3.2. Méthode d'ordre d'ordre 4247
  - 11.3.3. Avantages et inconvénients des méthodes de Runge-Kutta250
  - 11.3.4. Organisation d'un programme251
  - 11.4. Ordre, stabilité et convergence des méthodes à un pas251
  - 11.5. Méthodes à pas multiples255
  - 11.5.1. Schémas explicites (ouverts)255
  - 11.5.2. Schémas implicites (fermés)257
  - 11.5.3. Méthodes de prédiction-correction258
  - 11.5.4. Surveillance de l'erreur260
  - 11.5.5. Formules d'ordre 4260
  - 11.5.6. Avantages et inconvénients des méthodes à pas multiples261
  - 11.6. Ordre, stabilité et convergence des méthodes multi-pas261
  - 11.7. Méthodes pour les équations du second ordre262
  - 11.7.1. Algorithme de Verlet ou de saute-mouton262
  - 11.7.2. Algorithme de Numerov263
  - 11.8. Équations « raides »264
  - 11.9. Résoudre une équation différentielle en dormant265
  - 11.10. Pour en savoir plus269
  - 11.11. Exercices269
  - 11.12. Projets273
  - Chapitre 12. Problèmes à conditions aux limites et problèmes aux valeurs propres277
  - 12.1. La méthode du tir279
  - 12.1.1. Problème aux limites279
  - 12.1.2. Problèmes de valeurs propres281
  - 12.2. Méthodes des différences finies282
  - 12.2.1. Problème aux limites282
  - 12.2.2. Problème de valeurs propres284
  - 12.3. Les boîtes noires287
  - 12.4. Pour en savoir plus288
  - 12.5. Exercices288
  - 12.6. Projets290
  - Chapitre 13. Équations aux dérivées partielles297
  - 13.1. Approximation des dérivées par des différences finies297
  - 13.2. Équations de Laplace et Poisson298
  - 13.3. Équation de la chaleur300
  - 13.4. Équation des ondes303
  - 13.5. Pour en savoir plus304
  - 13.6. Exercices305
  - 13.7. Projet306
  - Chapitre 14. Probabilités et erreurs309
  - 14.1. Probabilité309
  - 14.2. Lois de probabilité311
  - 14.2.1. Loi binomiale311
  - 14.2.2. Loi de Poisson312
  - 14.2.3. Loi uniforme313
  - 14.2.4. Loi normale ou de Gauss313
  - 14.2.5. Loi du X² ou de Pearson314
  - 14.2.6. Paramètres de la loi de probabilité et paramètres de l'échantillon315
  - 14.2.7. Vérification d'une loi de probabilité316
  - 14.3. Erreurs317
  - 14.4. Propagation des erreurs320
  - 14.5. Méthode du maximum de vraisemblance321
  - 14.6. Méthode des moindres carrés323
  - 14.6.1. Ajustement sur une fonction affine324
  - 14.6.2. Linéarisation326
  - 14.7. Qualité de l'ajustement326
  - 14.8. Coefficient de corrélation329
  - 14.9. Ajustement sur une fonction linéaire de plusieurs paramètres329
  - 14.10. Pour en savoir plus331
  - 14.11. Exercices332
  - Chapitre 15. Méthodes de Monte Carlo337
  - 15.1. Générateurs de nombres aléatoires338
  - 15.1.1. Principe338
  - 15.1.2. Vérification d'un GNA339
  - 15.1.3. Validation d'un GNA à l'aide d'une marche aléatoire340
  - 15.2. Nombres aléatoires à répartition non-uniforme341
  - 15.2.1. Fonction d'une variable aléatoire342
  - 15.2.2. Méthode de la fonction réciproque ou du changement de variable343
  - 15.2.3. La méthode du rejet de von Neumann344
  - 15.2.4. La distribution normale345
  - 15.3. Simulation de phénomènes aléatoires346
  - 15.3.1. La radioactivité347
  - 15.3.2. L'agrégation348
  - 15.4. Méthodes de Monte Carlo déterministes : calcul d'intégrales349
  - 15.4.1. Calcul de (...)349
  - 15.4.2. Avantages et inconvénients des méthodes stochastiques pour le calcul d'intégrales350
  - 15.4.3. Intégrales par la méthode du rejet351
  - 15.4.4. Intégrales par la valeur moyenne352
  - 15.5. Pour en savoir plus353
  - 15.6. Exercices354
  - 15.7. Projet356
  - Index359
  - Table des matières363
Origine de la notice:
- Electre