par Gourmelen, Stéphane
Hermann
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Disponible - 517.6 GOU
Niveau 2 - Sciences
Équations différentielles : théorie, algorithmes et modèles
| Auteur(s) : |
Gourmelen, Stéphane
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Résumé
Ce manuel étudie les diverses questions relatives aux équations différentielles, avec des exemples et des exercices corrigés. Pour aller plus loin, sont également abordés la modélisation à travers de nombreuses applications, notamment à la physique, et les principaux algorithmes de résolution numérique de ce type d'équation.
- Autre(s) auteur(s)
- Éditeur(s)
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Date
- impr. 2009
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Notes
- La couv. porte en plus : "avec exercices corrigés"
- Bibliogr. p. 301. Index
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Langues
- Français
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Description matérielle
- 1 vol. (IX-301 p.) : ill., couv. ill. en coul. ; 22 cm
- Collections
- Sujet(s)
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ISBN
- 978-2-7056-6948-5
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Indice
- 517.6 Équations différentielles, différences finies, équations intégrales et intégrodifférentielles, équations fonctionnelles, fonctions spéciales
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Quatrième de couverture
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- Qu'est-ce qu'une équation différentielle, linéaire ou non ?
- Que modélise-t-elle ?
- Comment la résoudre, de manière exacte ou approchée ?
- Est-il d'ailleurs nécessaire de la résoudre ou une analyse qualitative suffit-elle ?
- Possède-t-elle des intégrales premières, des solutions périodiques, des points d'équilibre stables ou instables ?
- Et cette stabilité dépend-elle des paramètres du modèle ?
Pour traiter toutes ces questions, l'exposé s'appuie principalement sur le bagage d'un étudiant en mathématiques après deux années de licence. Le livre est illustré par de nombreux exemples, figures et exercices corrigés. Développée depuis ses fondements (existence, unicité et régularité d'une solution), la théorie est poussée jusqu'à aborder l'étude des bifurcations, le calcul de perturbations, les fonctions de Liapounov, la théorie de Floquet et les cycles limites.
Au-delà de l'exposé mathématique, une large part est consacrée à la modélisation à travers de nombreuses applications, notamment à la physique. Dans ce livre sont aussi présentés les principaux algorithmes de résolution numérique d'une équation différentielle.
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Tables des matières
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Équations différentielles
Théorie, algorithmes et modèles
Stéphane Gourmelen/Hicham Wadi
Hermann éditeurs
- I Le problème de Cauchy 1
- 1 Qu'est-ce qu'une équation différentielle ? 3
- 1.1 Espace des phases et courbe intégrale3
- 1.2 Orbite et portrait de phase4
- 1.3 Équations différentielles autonomes6
- 1.4 Équations scalaires7
- 2 Séparer les variables 11
- 2.1 Points d'équilibre et séparation des variables11
- 2.2 Équation logistique15
- 2.3 Équation de la chute17
- 2.4 Équation de la poursuite19
- 3 Existence et unicité locales d'une solution 23
- 3.1 Condition initiale et équation intégrale23
- 3.2 Cylindre de sécurité et condition de Lipschitz24
- 3.3 Existence et unicité27
- 3.4 Unicité locale et déterminisme29
- 4 Prolonger une solution 31
- 4.1 Prolongement et solution maximale31
- 4.2 Le théorème de Cauchy-Lipschitz34
- 4.3 Flot d'une équation différentielle35
- 4.4 Globalité d'une solution37
- 4.5 Sortie de tout compact40
- 5 Exercices 45
- II Équations linéaires 49
- 6 Équations différentielles linéaires 51
- 6.1 Qu'est-ce qu'une équation différentielle linéaire ?51
- 6.2 Équations linéaires sans second membre53
- 6.3 Variation de la constante57
- 6.4 Équations linéaires scalaires60
- 6.5 Le wronskien63
- 7 Équations linéaires à coefficients constants 67
- 7.1 Diagonaliser68
- 7.2 Équations linéaires en dimension 275
- 7.3 Sous-espaces propres et caractéristiques78
- 7.4 Équations scalaires81
- 8 Exercices 85
- III Stabilité 89
- 9 Stabilité et attractivité 91
- 9.1 Stabilité et attractivité d'un équilibre91
- 9.2 Équations linéaires à coefficients constants96
- 9.3 Stabilité d'une solution ou d'une équation103
- 10 Étude de la stabilité par linéarisation 107
- 10.1 Stabilité asymptotique108
- 10.2 Stabilité et instabilité110
- 10.3 Espèces en compétition114
- 11 Intégrales premières et fonctions de Liapounov 117
- 11.1 Intégrales premières117
- 11.2 Fonctions de Liapounov120
- 11.3 Équation de Lotka-Volterra124
- 12 Bifurcations 129
- 12.1 Équation logistique et effet laser130
- 12.2 Pendule tournant et régulateur de Watt134
- 12.3 Conditions nécessaires ou suffisantes de bifurcations139
- 13 Exercices 149
- IV Sensibilité 155
- 14 Le lemme de Gronwall 157
- 14.1 Inégalités de Gronwall157
- 14.2 Approximation d'un problème de Cauchy158
- 14.3 Méthodes numériques à un pas161
- 15 Sensibilité aux conditions initiales et aux paramètres 169
- 15.1 Continuité du flot169
- 15.2 Équation variationnelle173
- 15.3 Équation de perturbation177
- 16 Puits de potentiel 181
- 16.1 Mouvement dans un puits de potentiel181
- 16.2 Petites oscillations187
- 16.3 Le pendule simple189
- 17 Exercices 195
- V Solutions périodiques 199
- 18 Équations linéaires périodiques 201
- 18.1 Qu'est-ce qu'une équation périodique ?201
- 18.2 Multiplicateurs de Floquet202
- 18.3 Solutions périodiques204
- 18.4 Le théorème de Floquet205
- 18.5 Stabilité des solutions207
- 19 Stabilité d'un cycle 213
- 19.1 Application de Poincaré213
- 19.2 Stabilité orbitale216
- 19.3 Discrétisation219
- 19.4 Oscillateur de Van der Pol220
- 20 Ensembles limites 229
- 20.1 Ensembles invariants et ensembles limites229
- 20.2 Principe d'invariance de Lasalle232
- 20.3 Sections transverses et ensembles limites235
- 20.4 Théorème de Poincaré-Bendixson238
- 21 Exercices 243
- A Algèbre linéaire 247
- A.1 Réduction des endomorphismes247
- A.2 Exponentielle d'une matrice252
- A.3 Image de l'exponentielle257
- B Changements de coordonnées 261
- B.1 Inversion locale261
- B.2 Changements de coordonnées262
- B.3 Redressement263
- C Solutions des exercices 267
- C.1 Le problème de Cauchy267
- C.2 Équations linéaires270
- C.3 Stabilité280
- C.4 Sensibilité288
- C.5 Solutions périodiques292
- Index 297
- Bibliographie 301
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Origine de la notice:
- BNF
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