Statistiques
Statistique mathématique
Applications commentées
Jean-Pierre Boulay
ellipses
Chapitre I : Echantillonnage
A - Rappels de cours
1. Lois de probabilités de base rencontrées en statistique1
1.1 Définitions et caractérisations1
1.2 Les propriétés de convergence3
2. Statistiques et distributions d'échantillonnage5
2.1 Le principe de l'inférence statistique5
2.2 Cas d'une moyenne5
2.3 Cas d'une proportion6
2.4 Cas d'une variance7
2.5 Récapitulatif concernant espérance, proportion, et variance8
3. La pratique de l'échantillonnage10
B - Applications
1. Distributions d'échantillonnage et propriétés11
1.1 Moyenne et variance dans le cas d'échantillons gaussiens11
1.2 Paramètres représentatifs des statistiques décrivant la variance16
1.3 Distribution d'échantillonnage des rapports de variances19
1.4 Distribution d'échantillonnage des différences de moyennes22
1.5 Distribution d'échantillonnage des différences de proportions26
1.6 La différence entre estimation et estimateur27
2. Exemples de méthodes d'échantillonnage30
2.1 Les sondages aléatoires sans replacement (exhaustifs)30
2.2 Les sondages par stratification33
C - Exercices complémentaires
42
Chapitre II : Estimation
A - Rappels de cours
1. La problématique de l'estimation statistique51
2. Propriétés des estimateurs ponctuels52
2.1 Qualités d'un bon estimateur52
2.2 Comparaison des estimateurs52
2.3 Information de Fisher53
2.4 Inégalité de Cramer Rao55
2.5 Statistiques exhaustives56
2.6 Le cas particulier de la famille exponentielle57
3. Construction des estimateurs58
3.1 Théorèmes de Rao-Blacwell et Lehmann-Scheffe58
3.2 Méthode des moments60
3.3 Méthode du maximum de vraisemblance61
3.4 Méthode des moindres carrés64
3.5 Espérance, proportion, variance, et covariance64
4. Estimation par intervalle de confiance65
4.1 Construction de l'intervalle de confiance65
4.2 Le cas d'une moyenne66
4.3 Le cas d'une proportion67
4.4 Le cas d'une variance68
B - Applications
1. Exemples de modèles et propriétés des estimateurs68
1.1 Modèle gaussien68
1.2 Modèle de poisson71
1.3 Modèle uniforme74
1.4 Modélisation d'une hauteur de crue (loi de Rayleigh)78
1.5 Modélisation de la durée de vie de diodes (loi de Weibull)80
1.6 Modèle de Pareto82
1.7 Modèle exponentiel translaté85
2. Techniques particulières d'estimation88
2.1 Modèle mélangé Poisson/Gamma en assurance automobile88
2.2 Comment estimer un paramètre intime94
2.3 Comptage des poissons dans un lac (méthode de capture et recapture)96
2.4 Estimateur du nombre de fraudeurs dans un transport collectif98
2.5 Evaluation d'une contamination (méthode most powerful number)100
2.6 Evaluation de (...) à travers deux méthodes de Monte-Carlo104
3. Intervalles de confiance108
3.1 Comparaison des méthodes d'approximation pour une proportion108
3.2 Sondages de popularité109
3.3 Contrôle de fabrication par mesures111
3.4 Intervalles de confiance d'une moyenne pour la loi de poisson115
3.5 Une méthode par simulation, le bootstrap118
C - Exercices complémentaires
122
Chapitre III : Décision
A - Rappels de cours
1. Les principes généraux de la décision statistique139
1.1 L'objet des tests d'hypothèse139
1.2 Les risques associés139
1.3 La classification des tests141
2. Les tests paramétriques141
2.1 Hypothèses simples et multiples141
2.2 La construction de la règle de décision142
2.3 Tests de conformité à une valeur standard143
a) Le cas d'une moyenne
143
b) Le cas d'une proportion
145
c) Le cas d'une variance
145
d) Autres tests de conformité
146
e) Le cas des hypothèses composites
147
2.4 Tests de comparaison entre deux échantillons indépendants148
a) La comparaison de variances (test de Fisher-Snedecor)
148
b) La comparaison de moyennes (test t de Student)
149
c) La comparaison de proportions
151
2.5 Tests de comparaison entre deux échantillons appariés151
2.6 Tests de comparaisons entre K échantillons indépendants, (K > 2)152
a) L'analyse de la variance (Anova)
152
b) Comparaison de variances (test de Bartlett)
156
2.7 Tests progressifs156
3. Les tests non paramétriques158
3.1 Tests d'adéquation158
a) Le test du Chi-Deux
158
b) Le test de Kolmogorov
159
c) Le test de normalité de Shapiro et Wilk
160
d) La méthode graphique de la droite de Henry
161
3.2 Tests de comparaison entre K échantillons indépendants162
a) Le test d'identité de Kolmogorov-Smirnov, (K=2)
162
b) Les tests d'identité de Mann-Whitney et Wilcoxon, (K=2)
164
c) Le choix du test approprié
166
d) Le test d'identité de Kruskal-Wallis, (K(...)2)
166
3.3 Tests de comparaison entre K échantillons appariés167
a) Le test d'identité des signes, (K=2)
167
b) Le test d'identité des rangs « signés » de Wilcoxon, (K=2)
169
c) Le test d'identité de Mac Nemar, (variables binaires et K=2)
170
d) Le test d'identité de Cochran, (variables binaires et K(...)2)
171
e) Le test d'identité de Friedman, (K(...)2)
172
3.4 Tests d'associations, (K=2)173
a) Le coefficient de corrélation des rangs Rho de Spearman
174
b) Le coefficient de corrélation des rangs Tau de Kendall
176
c) Le test de contingence de Chi-Deux
178
B - Applications
1. Tests à un échantillon sous modèle gaussien179
1.1 Test t de Student et pluviométrie179
1.2 Test de proportion et étude de marché180
1.3 Risques client et fournisseur181
1.4 Test séquentiel de Wald portant sur une moyenne183
1.5 Ajustements par une loi normale188
2. Tests à un échantillon sous autres modèles191
2.1 Test paramétrique pour le modèle de Poisson191
2.2 Test paramétrique pour le modèle de Rayleigh194
2.3 Tests portant sur un modèle de revenus « Pareto »199
2.4 Test paramétrique entre deux lois pour une étude de clientèle202
2.5 Test séquentiel de Wald et contrôle de réception205
2.6 Ajustement par une loi uniforme209
2.7 Tests non paramétriques de conformité à une valeur standard209
3. Tests à deux échantillons sous modèle gaussien213
3.1 Un exemple utilisant les tests de Student et de Fisher Snedecor213
3.2 Comparaison de moyennes sur échantillons appariés216
3.3 Comparaison de variances entre deux types de solutions aqueuses217
3.4 Comparaison de proportions222
3.5 Tables de contingences (2,2) et échantillons indépendants224
3.6 Corrélation entre taille et poids (coefficient r de Pearson)228
4. Tests à deux échantillons sous autres modèles231
4.1 Test paramétrique de comparaison sous modèle exponentiel231
4.2 Comparaison du test de Wilcoxon avec le test paramétrique233
4.3 Au sujet du traitement des ex-aequo dans les tests de rangs238
4.4 Etude de tendance suivant échantillons indépendants puis appariés239
4.5 Evaluation de l'efficacité d'un traitement par tests non paramétriques241
4.6 Etude d'impact suivant le test de Mac Nemar246
4.7 Coefficient de contingence247
4.8 Alternative au « r » de Pearson, le coefficient « (...) » de Kendall249
4.9 Coefficient « p » de Spearman252
5. Tests à plus de deux échantillons254
5.1 Analyse de variance (test « Anova » de Fisher)254
5.2 Test de Kruskal-Wallis257
5.3 Test de la médiane généralisée259
5.4 Test de Friedman appliqué à un problème d'ergonomie261
5.5 Comparaisons sur échantillons liés et données binaires (Cochran)263
C - Exercices complémentaires
265
Chapitre IV : Régression
A - Rappels de cours
1. Régression linéaire simple299
1.1 Le modèle299
1.2 Estimation des paramètres300
1.3 Erreur moyenne300
1.4 Interprétation du coefficient de corrélation empirique301
1.5 Coefficient de détermination et analyse de la variance301
1.6 Propriétés des estimateurs des coefficients de la droite de régression303
1.7 Intervalles de confiance et tests pour modèle linéaire gaussien304
2. Régression linéaire multiple305
2.1 Le modèle305
2.2 Estimateurs des moindres carrés305
2.3 Etude des coefficients et analyse de la variance307
B - Applications
1. Modèles à une variable explicative308
1.1 Autour de la droite de régression308
1.2 Parabole des moindres carrés et distance de freinage312
1.3 Equations non linéaires se ramenant au modèle linéaire (gaz parfait)314
1.4 Modèle de régression (taille, poids)315
2. Modèles à plusieurs variables explicatives316
2.1 Illustration autour d'un modèle à deux variables explicatives316
2.2 Matrices et régression linéaire multiple320
C - Exercices complémentaires
326
Annexes
Table des valeurs de la loi normale centrée réduite334
Table des valeurs de la loi de Student335
Table des valeurs de la loi du chi-deux de Pearson336
Tables de la loi de Fisher-Snedecor337
Test de Shapiro et Wilk339
Test binomial339
Test de Wilcoxon, Mann, et Whitney340
Test des rangs signés de Wilcoxon340
Test de Kolmogorov (pour un échantillon)341
Test de Friedman341
Test de Kolmogorov-Smirnov (pour deux échantillons)342
Bibliographie
343
Index
Index alphabétique345