Mathématiques
MPSI / PCSI / PTSI
Stéphane Flon
Ellipses
1 Nombres complexes1
1.1 Choisir une représentation d'un nombre complexe1
1.1.1 La représentation neutre1
1.1.2 La représentation algébrique2
1.1.3 La représentation trigonométrique2
1.1.4 La représentation géométrique4
1.2 Résoudre une équation algébrique simple5
1.2.1 Trouver une racine carrée sous forme algébrique5
1.2.2 Résoudre une équation du second degré5
1.2.3 Déterminer les racines n-ièmes d'un nombre complexe6
1.3 Retrouver des formules de trigonométrie7
1.3.1 Retrouver les formules élémentaires7
1.3.2 Linéariser une expression polynomiale trigonométrique8
1.3.3 Opération « inverse » de la linéarisation8
1.3.4 Simplifier une somme trigonométrique9
1.4 Exercices10
1.4.1 Entraînement10
1.4.2 Perfectionnement15
2 Fonctions usuelles21
2.1 Montrer une formule21
2.2 Simplifier une expression ou résoudre une équation22
2.3 Vérifier une relation23
2.4 Exercices25
2.4.1 Entraînement25
2.4.2 Perfectionnement27
2.5 Problème : formules pour tangente et arctangente32
3 Géométrie dans le plan ou l'espace37
3.1 Applications multilinéaires classiques dans le plan ou l'espace37
3.2 Déterminer une équation d'un sous-espace affine39
3.3 D'une équation cartésienne à une équation paramétrique40
3.4 Calcul de distance, de perpendiculaire commune42
3.5 Déterminer un lieu43
3.6 Exercices46
3.6.1 Entraînement46
3.6.2 Perfectionnement51
3.7 Problème : inversion et points rationnels sur un cercle57
4 Équations différentielles63
4.1 Résolution d'une équation différentielle standard63
4.1.1 Définir un plan d'étude63
4.1.2 Résolution de l'équation homogène associée65
4.1.3 Recherche d'une solution particulière66
4.2 Problème de raccord dans le cas du premier ordre70
4.3 Se ramener à une équation différentielle72
4.4 Exercices74
4.4.1 Entraînement74
4.4.2 Perfectionnement80
4.5 Problème : d'une solution à une solution paire ou impaire84
5 Structures algébriques, arithmétique89
5.1 Utiliser la notion de sous-structure89
5.2 Utiliser la notion de morphisme91
5.3 Étudier une isomorphie93
5.4 Étude de la structure de groupe94
5.4.1 Déterminer si un groupe est abélien94
5.4.2 Calculer dans un groupe95
5.5 Étudier la structure d'anneau96
5.5.1 Calculer dans un anneau96
5.5.2 Éléments simplifiables et diviseurs de zéro97
5.6 Calculer dans un corps97
5.7 Arithmétique97
5.7.1 Déterminer si un nombre est premier97
5.7.2 Étudier une divisibilité98
5.7.3 PGCD, relation de Bézout, nombres premiers entre eux98
5.7.4 Calculer un PPCM99
5.8 Exercices101
5.8.1 Entraînement101
5.8.2 Perfectionnement106
6 Suites115
6.1 Quelles questions se poser sur une suite ?115
6.1.1 La suite est-elle majorée, minorée, bornée ?115
6.1.2 La suite est-elle monotone ?116
6.2 Comment montrer qu'une suite admet une limite ?117
6.2.1 Tout en déterminant sa limite117
6.2.2 Sans déterminer sa limite118
6.2.3 Lorsqu'on a une idée de sa limite119
6.3 Montrer qu'une suite n'admet pas de limite119
6.4 Comparaison locale120
6.4.1 Les notations120
6.4.2 L'équivalence et la somme120
6.4.3 Composition et relations de comparaison120
6.5 Trois manières de revenir à la définition de la convergence121
6.6 Quelques techniques ad hoc122
6.7 Suite récurrente124
6.7.1 Montrer que (un)n(...) est bien définie124
6.7.2 Préparer l'étude124
6.7.3 Étudier la monotonie de (un)n(...)125
6.7.4 Déterminer un intervalle d'étude125
6.8 Exercices127
6.8.1 Entraînement127
6.8.2 Perfectionnement135
6.9 Problème : étude d'une suite récurrente139
7 Fonctions réelles d'une variable réelle145
7.1 Stabilité des propriétés rencontrées145
7.2 Problème de limite149
7.2.1 Montrer l'existence d'une limite tout en la calculant149
7.2.2 Montrer l'existence d'une limite sans la calculer150
7.2.3 Montrer qu'une fonction n'admet pas de limite150
7.2.4 Étudier une continuité ponctuelle151
7.2.5 Étudier une dérivabilité ponctuelle151
7.3 Extension d'un résultat par continuité153
7.4 Parties stables par image continue153
7.5 Étudier l'uniforme continuité, le caractère lipschitzien154
7.6 Dériver sur un intervalle155
7.6.1 Calculer une dérivée155
7.6.2 Calculer une dérivée n-ième156
7.7 Utiliser la dérivation sur un intervalle157
7.8 Montrer qu'une fonction est de classe C1158
7.9 Chercher et exploiter les extrémums d'une fonction160
7.10 Recherche de zéros ou de points fixes d'une fonction160
7.11 Étudier une équation fonctionnelle161
7.12 Convexité163
7.13 Exercices sur la continuité165
7.13.1 Entraînement165
7.13.2 Perfectionnement169
7.14 Exercices sur la dérivation174
7.14.1 Entraînement174
7.14.2 Perfectionnement180
7.15 Quelques résultats sur l'uniforme continuité184
7.16 Problème : taux d'accroissement d'une fonction187
8 Espaces vectoriels193
8.1 Exploiter le concept de linéarité193
8.1.1 La notion de combinaison linéaire193
8.1.2 Propriété stable par combinaison linéaire194
8.1.3 Exemples de propriétés stables par combinaison linéaire195
8.2 Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels196
8.2.1 Montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel196
8.2.2 Exemples fondamentaux d'espaces vectoriels196
8.2.3 Montrer qu'une partie de E en est un sous-espace vectoriel197
8.2.4 Déterminer une dimension198
8.3 Relations ensemblistes entre sous-espaces vectoriels199
8.3.1 Prouver une inclusion entre sous-espaces vectoriels199
8.3.2 Prouver une supplémentarité200
8.4 Applications linéaires200
8.4.1 Exemples classiques d'applications linéaires200
8.4.2 Déterminer si une application est linéaire202
8.4.3 Calculer le rang d'une application linéaire203
8.4.4 Prouver l'injectivité (et autre) d'une application linéaire203
8.4.5 Utiliser l'injectivité (et autre) d'une application linéaire204
8.4.6 Résoudre une équation linéaire204
8.5 Étudier une famille de vecteurs205
8.5.1 Étudier la liberté205
8.5.2 Montrer qu'une famille est liée209
8.5.3 Étudier le caractère générateur209
8.5.4 Déterminer si la famille est une base210
8.5.5 Déterminer une base210
8.6 Calculer dans l'anneau des endomorphismes210
8.6.1 Que dire de deux endomorphismes commutant ?211
8.6.2 Polynômes d'un endomorphisme211
8.6.3 Utiliser un polynôme annulateur d'un endomorphisme212
8.6.4 Projecteurs et symétries213
8.7 Exercices215
8.7.1 Entraînement215
8.7.2 Perfectionnement218
9 Intégration227
9.1 Calculer une intégrale227
9.1.1 Calculer une primitive227
9.1.2 Calculer une intégrale229
9.2 Inégalités intégrales231
9.3 Étudier une suite grâce au calcul intégral233
9.3.1 Calculer la limite d'une suite de sommes de Riemann233
9.3.2 Calculer la limite d'une suite d'intégrales233
9.3.3 Calculer une limite par comparaison somme-intégrale235
9.4 Exercices236
9.4.1 Entraînement236
9.4.2 Perfectionnement241
9.5 Problème de synthèse analyse : un calcul de dzeta(2)247
9.6 Problème classique : intégrales de Wallis251
10 Développements limités255
10.1 Relations de comparaison255
10.2 Utiliser les différentes formules de Taylor256
10.3 Calculer un développement limité257
10.3.1 Justifier l'existence d'un développement limité257
10.3.2 Opérations sur les développements limités258
10.3.3 Quelques techniques de calcul259
10.3.4 Mise en oeuvre d'un calcul de développement limité261
10.3.5 Développer ailleurs qu'en O261
10.3.6 Autres méthodes d'obtention d'un développement limité263
10.4 Utilisation des développements limités264
10.4.1 Calcul de limite, d'équivalents265
10.4.2 Développements asymptotiques266
10.4.3 Applications aux suites récurrentes266
10.4.4 Application à des études graphiques267
10.5 Exercices268
10.5.1 Entraînement268
10.5.2 Perfectionnement272
11 Polynômes et fractions rationnelles279
11.1 Étudier l'ensemble richement structuré (...) [khi]279
11.1.1 Choisir une approche adaptée au problème279
11.1.2 Montrer la nullité d'un polynôme281
11.1.3 Montrer qu'une fonction est polynomiale (ou pas)282
11.1.4 Montrer qu'une famille de polynômes est libre283
11.1.5 Choisir et travailler dans une base adaptée au problème283
11.1.6 Exemples polynomiaux classiques de linéarité285
11.2 Étudier les racines d'un polynôme285
11.2.1 Montrer l'existence ou trouver une racine d'un polynôme285
11.2.2 Ordre de multiplicité d'une racine, polynôme scindé287
11.2.3 Utiliser les fonctions symétriques élémentaires des racines288
11.3 Étude arithmétique de (...)[khi]289
11.3.1 Montrer qu'un polynôme divise un autre (ou pas)289
11.3.2 Étudier l'irréductibilité d'un polynôme291
11.3.3 Effectuer une division euclidienne, calculer un reste291
11.3.4 Calculer le pgcd ou le ppcm de deux polynômes293
11.4 Décomposition en éléments simples295
11.4.1 Déterminer la partie entière de F295
11.4.2 Déterminer une partie polaire296
11.4.3 Trouver des relations entre les parties polaires297
11.4.4 Pratique de la décomposition297
11.5 Utilité de la décomposition en éléments simples298
11.6 Un cas particulier important : la dérivée logarithmique299
11.7 Exercices300
11.7.1 Entraînement300
11.7.2 Perfectionnement309
12 Matrices317
12.1 L'aspect vectoriel des matrices317
12.1.1 Rappels317
12.1.2 Exploiter la structure des espaces matriciels317
12.2 Apprivoiser le produit matriciel318
12.2.1 Défrichage318
12.2.2 Calculer dans l'anneau Mn ((...))318
12.2.3 Bon comportement d'applications avec le produit319
12.3 Montrer que des matrices commutent320
12.4 Calculer le rang d'une matrice321
12.5 Calculer les puissances d'une matrice carrée322
12.6 Inverse d'une matrice324
12.6.1 Preuves constructives325
12.6.2 Preuves non constructives327
12.6.3 Montrer une non inversibilité327
12.7 Résoudre un système linéaire327
12.8 Étudier une suite récurrente linéaire328
12.9 Matrices et changement de base330
12.9.1 Comment se rappeler les formules de changement de base ?330
12.9.2 Comment déterminer si deux matrices sont équivalentes ?331
12.9.3 Montrer que deux matrices ne sont pas semblables332
12.9.4 Comment montrer que deux matrices sont semblables ?333
12.10 Exercices335
12.10.1 Entraînement335
12.10.2 Perfectionnement341
12.11 Problème : fonctions de matrices nilpotentes349
12.12 Problème : sous-groupes à un paramètre de GLp((...))355
13 Déterminant361
13.1 Piqûre de rappel361
13.2 Utilité d'un déterminant361
13.2.1 Qu'exprime la nullité d'un déterminant ?361
13.2.2 Signe d'un déterminant362
13.2.3 Invariance du déterminant par similitude362
13.2.4 Utiliser la comatrice362
13.2.5 Systèmes de Cramer363
13.2.6 Propriétés calculatoires du déterminant363
13.2.7 Formule compliquée du déterminant363
13.3 Comment calculer un déterminant ?364
13.4 Exercices366
13.4.1 Entraînement366
13.4.2 Perfectionnement371
14 Espaces euclidiens377
14.1 Montrer qu'une application définit un produit scalaire377
14.1.1 Produit scalaire canonique377
14.1.2 Produit scalaire intégral378
14.1.3 Produit scalaire d'interpolation379
14.1.4 Est-ce tout ?380
14.2 Qu'apporte la notion d'orthogonalité ?381
14.2.1 L'orthogonalité est stable par combinaison linéaire381
14.2.2 De l'orthogonalité à la liberté381
14.2.3 Supplémentaire orthogonal381
14.2.4 Norme induite par un produit scalaire381
14.2.5 Déterminer si un vecteur est nul382
14.2.6 Appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz382
14.2.7 Montrer l'orthogonalité de deux vecteurs383
14.3 Problèmes de famille383
14.3.1 Montrer qu'une famille est une base orthogonale383
14.3.2 Coordonnées dans une base orthonormale384
14.3.3 Quel est l'intérêt du procédé de Schmidt ?384
14.3.4 Trouver une base orthonormale d'un espace euclidien385
14.4 Projetés orthogonaux et distance à un sous-espace386
14.4.1 Déterminer un projeté orthogonal sur un sous-espace386
14.4.2 Calculer la distance d'un point à un sous-espace387
14.5 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales388
14.5.1 Généralités388
14.5.2 Automorphismes orthogonaux du plan389
14.5.3 Automorphismes orthogonaux dans (...)3 euclidien canonique390
14.6 Isométries393
14.6.1 Montrer qu'une application est une isométrie393
14.7 Exercices395
14.7.1 Entraînement395
14.7.2 Perfectionnement402
14.8 Problème de synthèse sur les espaces euclidiens407