Vers le théorème fondamental de l'algèbre et sa démonstration par Laplace en 1795

Auteur(s) :

Álvarez, Carlos (1966-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Les auteurs retracent l'histoire du théorème de l'algèbre, depuis l'affirmation de Descartes en 1637 jusqu'à la dernière démonstration de Laplace en 1795.

Autre(s) auteur(s)
- Dhombres, Jean (1942-....)
Éditeur(s)
- Hermann
Date
- impr. 2011
Notes
- Bibliogr. p. 355-371. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (XXV-377 p.) : ill., couv. ill. ; 24 cm
Collections
- Une histoire de l'imaginaire mathématique
Sujet(s)
- Algèbre
Epoque
- 1500-1800
ISBN
- 978-2-7056-8192-0
Indice
- 512(091) Algèbre. Histoire
Quatrième de couverture
- Au contraire de la mathématique enseignée qui se présente comme une pensée presque toujours unique, l'histoire est un choix et non une nécessité.
  L'objet de ce premier volume est le théorème fondamental de l'algèbre. Afin de rester dans un cadre élémentaire, il s'arrête juste avant la première preuve de Gauss, et bien sûr avant l'intervention de Galois, lorsque l'énoncé de ce théorème n'est encore contaminé par aucune écriture symbolique absconse. Parlons alors de la banalisation d'une forme polynomiale.
  L'histoire est celle de la notion d'imaginaire inventée par Descartes, jusqu'à sa réduction à un nombre complexe qui réfère à la présence de deux unités de mesure, au lieu d'une seule, comme lorsque l'on écrivait une longueur en 2 pieds 3 pouces : on aura 2 + 3i, le carré de i valant -1, ou 2 + 3Radic-1.
  Sous le prétexte qu'il s'agit d'une histoire érudite et que plus de cent cinquante années s'écoulèrent entre l'affirmation de Descartes en 1637 et la dernière démonstration envisagée - celle de Laplace en 1795 -, notre rôle ne doit surtout pas être de surcharger ce livre en difficultés. En prenant en compte les diverses tentatives d'enseignement des mathématiques à cette période, ce livre démontre que la simplicité recouvre bien des débats sur le rôle du signe et de sa mise en oeuvre dans la pensée en général. Il n'est pas banal de voir ainsi hésiter de grands mathématiciens sur ce qui est devenu simple.
Tables des matières
- - Une histoire de l'imaginaire mathématique
  - Vers le théorème fondamentale de l'algèbre et sa démonstration par Laplace en 1795
  - Carlos Alvarez/Jean Dhombres
  - Hermann
  - Introduction - Un objectif d'histoire et de mathématiques conjointesVII
  - Ce qu'il faut néanmoins savoir puisque de «complexes» il sera questionVIII
  - L'étonnante fortune du mot «imaginaire»X
  - Ce qui n'est pas utile à ce que nous voulons exposerXI
  - L'identité d'un théorème à multiples faces donne lieu à une histoire de l'invention mathématiqueXIII
  - Une histoire justifiée par ce qu'elle fait découvrirXV
  - Quelle est la nature de la vérité démontrée ?XVI
  - Diverses motivations pour le théorème fondamental de l'algèbreXIX
  - La «nation» des mathématiciensXXIV
  - Chapitre 0 - Mode d'emploi, repères, abréviations des différentes formes historiques du théorème fondamental, énoncés historiques et écritures anciennes1
  - Mode d'emploi1
  - Repères2
  - Définitions, conventions et notations pour les polynômes et les fractions rationnelles3
  - Les nombres complexes, la représentation analytique et la représentation géométrique7
  - Énoncés des principes et des théorèmes par ordre alphabétique des abréviations8
  - Énoncés historiques du théorème fondamental avant Gauss (1629-1795)14
  - Première Partie : Préparation du théorème
  - Chapitre 1 - Descartes pose une équivalence fondamentale entre deux écritures, qui permet la factorisation et la méthode des coefficients indéterminés23
  - 1. Quelle est la nature algébrique des imaginaires ?25
  - 1.1 Opérations sur les réels et numérisation des racines et des coefficients27
  - 1.2 Opérations sur les imaginaires29
  - 2. Les imaginaires permettent la double écriture d'un polynôme30
  - 3. Factorisation et racines d'un polynôme33
  - 3.1 Principe de factorisation réelle34
  - 3.2 Nombre de racines et degré d'un polynôme36
  - 4. La généralité de l'écriture polynomiale gère la méthode des coefficients indéterminés39
  - 4.1 Écriture d'un polynôme réel39
  - 4.2 Pourquoi la nécessité d'un polynôme réel général ?40
  - 4.3 Disposition des équations selon les différents ordres du calcul de la méthode des coefficients indéterminés46
  - 4.4 Description des ordres au cours de l'utilisation de la méthode des coefficients indéterminés51
  - 5. Qu'y a-t-il de fondamental qui soit pensé sur les polynômes avec la technique algébrique de Descartes56
  - 5.1 La forme générale polynomiale à une variable56
  - 5.2 Le rôle des imaginaires comme preuve d'impossibilité57
  - 5.3 Le principe polynomial et le théorème fondamental58
  - 5.4 Contournement des relations polynomiales entre coefficients et racines : une autre algèbre avec la règle de Descartes sur les racines réelles58
  - Notes du chapitre 159
  - Chapitre 2 - Esquisse d'une préhistoire immédiate de la conception polynomiale de Descartes63
  - 1. Les «équations» de François Viète, et un premier pas vers les fonctions symétriques64
  - 2. Le traitement presque polynomial par François Viète de l'équation de degré 45 d'Adrien Romain71
  - 2.1 Énoncé d'un défi mathématique71
  - 2.2 L'écriture analytique ou trigonométrique par polynômes homogènes à deux variables74
  - 2.3 Une explication du calcul dans le cas de l'angle triple et de l'angle quintuple82
  - 2.4 Des équations en cascade, ou le polynôme considéré comme une opération algébrique89
  - 2.5 Sur les différentes racines des équations99
  - 2.6 Le calcul dans le cas du troisième degré : retour sur les fonctions symétriques102
  - 3. De la dimension des grandeurs au degré du polynôme104
  - 4. Une origine possible chez Stevin de la conception fonctionnelle des polynômes106
  - Notes du chapitre 2108
  - Chapitre 3 - Indéterminations sur la forme des racines et antécédents du théorème de factorisation réelle113
  - 1. L'expression des quantités imaginaires chez John Wallis en 1685 : forme algébrique des complexes et l'aide de la géométrie113
  - 1.1 Un algorithme pour la détermination du nombre des racines115
  - 1.2 Racines cubiques et conjugaison des quantités complexes119
  - 1.3 Une première interprétation géométrique pour les quantités imaginaires122
  - 1.4 Construction des équations et algèbre125
  - 2. Les conceptions polynomiales dans les traités d'algèbre avant 1700 : John Wallis, Michel Rolle et Jacques Ozanam129
  - 3. Lecture possible de Abraham de Moivre du travail de John Wallis139
  - 3.1 Le problème généralisé de la division angulaire fait le lien entre les quantités imaginaires et les fonctions transcendantes139
  - Le Mémoire de de Moivre en 1707 : des formules de Cardan à celles de Viète et à la question de Fermat142
  - Un débat en 1702 entre les frères Bernoulli sur la division angulaire et la quadrature de la cycloïde147
  - Le mémoire de 1722 sur les sections angulaires158
  - Notes du chapitre 3161
  - Chapitre 4 - Les polynômes réels de Leibniz à Euler165
  - 1. Leibniz aborde la factorisation totale réelle d'un polynôme réel165
  - 1.1 Décomposition des fractions rationnelles166
  - 1.2 Le rôle des imaginaires chez Leibniz169
  - 1.3 Retour sur l'interprétation du quatrième degré chez Descartes en 1637171
  - 1.4 Le point de vue de Leibniz en 1702173
  - 2. La position cartésienne et universitaire de Charles Reyneau174
  - 3. L'abord du théorème de factorisation totale réelle par le moyen des équations différentielles linéaires176
  - 3.1 Équations différentielles linéaires176
  - 3.2 Les doutes de Jean Bernoulli179
  - 3.3 L'attitude de Leonhard Euler181
  - 4. La clef du labyrinthe se trouve dans la correspondance entre Euler et Nicolas Bernoulli : une idée pour la preuve du théorème de factorisation totale réelle183
  - 4.1 Les doutes de Nicolas Bernoulli et les indécisions d'Euler184
  - 4.2 Une intervention de Nicolas Bernoulli185
  - 4.3 Retour sur le degré quatre187
  - 4.4 Le théorème de factorisation réelle189
  - Notes du chapitre 4191
  - Deuxième Partie : Le théorème fondamental suscite l'invention
  - Chapitre 5 - L'étonnante et courte démonstration de Jean d'Alembert en 1746195
  - 1. Le contexte conceptuel et la concurrence académique : Berlin et Paris197
  - 1.1 Les conditions de l'échange par lettres entre Euler et d'Alembert198
  - 1.2 L'objectif de d'Alembert à propos d'une question sur les vents200
  - 1.3 La reconnaissance d'une équivalence entre factorisation réelle et existence d'une racine complexe203
  - 1.4 La lettre d'Euler de décembre 1746 et les manières différentes de Paris et de Berlin204
  - 2. Un objectif fonctionnel général sur les nombres complexes208
  - 2.1 Calcul sur les complexes210
  - 2.2 L'exponentielle complexe est liée à l'angle géométrique : explication analytique des formules de Viète214
  - 3. Une organisation en trois théorèmes dont le coeur est l'établissement d'une racine complexe pour un polynôme réel irréductible217
  - 4. Le versant algébrique de la preuve de d'Alembert219
  - 4.1 Preuve algébrique du principe de conjugaison complexe219
  - 4.2 Preuve du principe de factorisation simple par la division polynomiale221
  - 4.3 Extension aux polynômes complexes222
  - 5. Le versant d'analyse de la preuve de d'Alembert223
  - 5.1 La mise en raisonnement fonctionnel223
  - 5.2 Des hypothèses successives de reconstruction de la preuve de d'Alembert224
  - 5.3 Une propriété topologique de la variable réelle227
  - 5.4 Une propriété des courbes au service des fonctions par le développement en séries228
  - 5.5 Une première forme par l'absurde des raisonnements de l'analyse232
  - Notes du chapitre 5233
  - Chapitre 6 - Mise en chantier d'un théorème algébrique par Euler et Le Seur237
  - 1. Première conception arithmétique de l'analyse : les quantités imaginaires dans l'oeuvre analytique de Leonhard Euler238
  - 1.1 L'Introductio de 1748 : une analyse pure des fonctions239
  - 1.2 Un programme fonctionnel en algèbre244
  - 1.3 L'ordre d'une preuve du théorème fondamental dans l'Introductio245
  - 1.4 L'argument sur un polynôme de degré impair247
  - 1.5 Le théorème de factorisation réelle dans l'Introductio250
  - 1.6 Une nouvelle démarche qui renoue avec la formulation trigonométrique253
  - 2. L'opuscule de Thomas Le Seur de 1748 : un état des lieux256
  - 3. Le Mémoire d'Euler de 1749 sur les racines imaginaires des équations261
  - 3.1 Les racines imaginaires262
  - 3.2 Les facteurs réels263
  - 3.3 Nouveau retour sur le degré quatre265
  - 3.4 Tentatives de généralisation267
  - 3.5 Un nouvel état des lieux269
  - Notes du chapitre 6271
  - Chapitre 7 - Le chantier algébrique européen avant la démonstration révolutionnaire de Laplace275
  - 1. La nature académique de la critique de Daviet de Foncenex à Turin276
  - 1.1 Le rôle de Lagrange277
  - 1.2 Le raisonnement de de Foncenex280
  - 2. La méthode fonctionnelle de Lagrange : poursuite du calcul a priori283
  - 2.1 Le préalable du théorème clef sur les polynômes symétriques et la preuve a priori284
  - 2.2 La critique par Lagrange du Principe de degré impair287
  - 2.3 Sur la construction de l'équation aux différences288
  - 2.4 Une nouvelle preuve portant sur la forme des racines imaginaires294
  - Notes du chapitre 7307
  - Chapitre 8 - En 1795, Laplace réussit le théorème de factorisation réelle en tant que conséquence de la théorie de l'élimination311
  - 1. Les circonstances d'une école révolutionnaire311
  - 2. La démarche de Laplace314
  - 3. Première étape de la récurrence du théorème de Laplace316
  - 4. La mise en évidence par Laplace du principe des valeurs intermédiaires en vue du théorème fondamental319
  - 5. Étape générale de la récurrence du théorème de Laplace321
  - 6. Le point de vue d'algèbre polynomiale de Laplace323
  - 7. La postérité de la démonstration de Laplace324
  - Notes du chapitre 8328
  - Troisième Partie : Documentation
  - Dictionnaire biographique 329
  - Bibliographie 355
  - Sources primaires 356
  - Sources secondaires 365
  - Index des noms 373
Origine de la notice:
- FR-751131015