Des mathématiques pour les sciences : concepts, méthodes et techniques pour la modélisation : cours et exercices

Auteur(s) :

Aslangul, Claude (1945-2021) Découvrir l'auteur

Résumé

Manuel de mathématiques pour accompagner les étudiants tout au long de leurs études supérieures en les familiarisant avec des méthodes et des techniques sans la maîtrise desquelles toute modélisation quantitative est impossible.

Éditeur(s)
- De Boeck
Date
- DL 2011
Notes
- Bibliogr. p. 1221-1233. Index
- Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (XXXVIII-1252 p.) : fig. ; 24 cm
Collections
- LMD
Sujet(s)
- Problèmes et exercices
- Mathématiques
ISBN
- 978-2-8041-6617-5
Indice
- 519.8 Mathématiques appliquées, physique mathématique
Quatrième de couverture
- Des mathématiques pour les sciences
  Concepts, méthodes et techniques pour la modélisation
  Véritable ouvrage compagnon, Des mathématiques pour les sciences guidera l'étudiant en sciences tout au long de son cycle d'études, depuis la 2^e année de Licence (L2) jusqu'au Master, partant de connaissances post-baccalauréat pour aller jusqu'à des sujets avancés sur les plans technique et conceptuel.
  L'objectif principal de cet ouvrage est de faire comprendre et d'apprendre à manipuler le formalisme essentiel à la pratique de la science. D'une part, il présente les mathématiques indispensables à toute forme de modélisation ; d'autre part, il permet l'assimilation des concepts conduisant à la maîtrise de techniques de calcul efficaces. L'accent porte sur le noyau dur que constitue l'analyse complexe sur laquelle sont construites les sciences exactes et, plus généralement, toute science qui vise à la modélisation de mécanismes quelle qu'en soit la nature.
  L'exposé formel est illustré par de nombreux exemples détaillés inspirés par des problèmes universels que l'on rencontre dans divers champs disciplinaires, tels la physique, la chimie, la mécanique ou encore la modélisation en économie. Des sujets très variés sont traités : algèbre linéaire, fonctions spéciales, transformations intégrales, distributions, équations différentielles et aux dérivées partielles, théorie des probabilités, théorie dés groupes et introduction aux systèmes non-linéaires. Sont également abordés des thèmes ayant donné lieu ces dernières décennies à des avancées conceptuelles et méthodologiques majeures, comme la renormalisation et l'étude du chaos.
  Les « plus »
  ¤ Exposé concret et illustré
  ¤ Nombreuses applications et exercices corrigés
  ¤ Démarche fondée sur l'intuition
  ¤ Véritable vademecum de l'étudiant
  ¤ Multiples références aux ouvrages classiques et à des articles historiques ou récents
Tables des matières
- - Des mathématiques pour les sciences
  - Concepts, méthodes et techniques pour la modélisation
  - Cours et exercices
  - Claude Aslangul
  - de boeck
  - 1 Algèbre linéaire1
  - 1.1 Structure d'espace vectoriel2
  - 1.2 Indépendance linéaire. Base d'un espace vectoriel5
  - 1.2.1 Définitions5
  - 1.2.2 Changement de base7
  - 1.2.3 Écriture matricielle d'un changement de base9
  - 1.2.4 Déterminants13
  - 1.3 Produit scalaire18
  - 1.4 Opérateurs linéaires22
  - 1.4.1 Applications entre espaces vectoriels22
  - 1.4.2 Applications linéaires et représentation matricielle23
  - 1.4.3 Noyau et inverse d'un opérateur linéaire30
  - 1.4.4 Opérateurs linéaires remarquables34
  - 1.5 Diagonalisation. Valeurs et vecteurs propres38
  - 1.5.1 Le problème de la diagonalisation39
  - 1.5.2 Possibilité de diagonalisation d'un opérateur41
  - 1.5.3 Opérateurs diagonalisables46
  - 1.5.4 Fonctions d'opérateurs diagonalisables49
  - 1.6 Espace dual52
  - 1.7 Notation de Dirac55
  - 1.8 Matrices continues (noyaux). Équations intégrales linéaires58
  - 1.8.1 Éléments sur les opérateurs représentables par un noyau58
  - 1.8.2 Équations intégrales linéaires61
  - 1.9 Notions sur les tenseurs71
  - 1.9.1 Produit tensoriel de deux espaces vectoriels73
  - 1.9.2 Critère de tensorialité75
  - 1.9.3 Tenseur métrique76
  - 1.9.4 Généralisation79
  - 1.9.5 Algèbre tensorielle80
  - 1.10 Exercices et problèmes83
  - 1.10.1 Étude de lois de composition83
  - 1.10.2 Structures84
  - 1.10.3 Sous-espace vectoriel84
  - 1.10.4 Indépendance linéaire84
  - 1.10.5 Espace vectoriel des solutions d'une récurrence d'ordre 285
  - 1.10.6 Opérations sur les matrices85
  - 1.10.7 Diagonalisation86
  - 1.10.8 Changement de base87
  - 1.10.9 Déterminant de Gram - Schmidt88
  - 1.10.10 Équation d'Abel88
  - 1.10.11 Équation de Fredholm89
  - 1.10.12 Équation de Volterra90
  - 2 Rappels d'Analyse réelle91
  - 2.1 Limite d'une fonction91
  - 2.1.1 Définition91
  - 2.1.2 Formes indéterminées98
  - 2.2 Suites103
  - 2.2.1 Définition103
  - 2.2.2 Limite d'une suite105
  - 2.2.3 Suites de fonctions108
  - 2.3 Intégrales113
  - 2.3.1 Rappels élémentaires113
  - 2.3.2 Intervalle d'intégration fini : singularités intégrables117
  - 2.3.3 Intervalle d'intégration infini : conditions d'intégrabilité121
  - 2.3.4 Exemples où l'intégrale de la limite n'est pas la limite de l'intégrale125
  - 2.4 Séries128
  - 2.4.1 Convergence d'une série128
  - 2.4.2 Séries de fonctions139
  - 2.5 Produits infinis149
  - 2.6 Exercices et problèmes152
  - 2.6.1 Développements limités152
  - 2.6.2 Formule de sommation (sommatoire) d'Abel153
  - 2.6.3 Développements en série entière153
  - 2.6.4 Une double inégalité utile154
  - 2.6.5 La relation fonctionnelle caractéristique de la fonction logarithme154
  - 2.6.6 Suites155
  - 2.6.7 Intégrales impropres156
  - 2.6.8 Séries numériques158
  - 2.6.9 À propos de la série harmonique160
  - 2.6.10 Une série exotique161
  - 2.6.11 Accélérateur de convergence (transformation d'Euler)161
  - 2.6.12 Série d'exponentielles162
  - 2.6.13 Séries de fonctions162
  - 2.6.14 Séries entières163
  - 2.6.15 Produits infinis163
  - 2.6.16 Fonctions définies par une intégrale165
  - 3 Fonctions d'une variable complexe167
  - 3.1 Nombres complexes. Opérations élémentaires167
  - 3.2 Quelques éléments de topologie de (...)177
  - 3.2.1 Ensembles de points dans le plan complexe177
  - 3.2.2 Point à l'infini179
  - 3.2.3 Courbes et domaines181
  - 3.3 Fonction d'une variable complexe182
  - 3.3.1 Définitions182
  - 3.3.2 Limite d'une fonction (...) 185
  - 3.3.3 Dérivée d'une fonction (...). Conditions de Cauchy - Riemann187
  - 3.4 Fonctions élémentaires201
  - 3.4.1 La fonction puissance entière (...) et sa (ses) fonction(s) inverse(s)201
  - 3.4.2 La fonction exponentielle (...) 204
  - 3.4.3 La fonction logarithme (...)207
  - 3.4.4 La fonction puissance généralisée (...)212
  - 3.5 Exercices et problèmes213
  - 3.5.1 Opérations élémentaires sur les complexes213
  - 3.5.2 Interprétation géométrique des complexes215
  - 3.5.3 Un isomorphisme entre (...) et un ensemble de matrices216
  - 3.5.4 Entiers de Gauss216
  - 3.5.5 Inégalité intégrale de van der Corput216
  - 3.5.6 Un produit infini complexe217
  - 3.5.7 Sphère de Riemann218
  - 3.5.8 Représentations d'une fonction d'une variable complexe218
  - 3.5.9 Deux propriétés des fonctions holomorphes218
  - 3.5.10 Existence de la dérivée d'une fonction (...) 219
  - 3.5.11 Conditions de Cauchy - Riemann219
  - 3.5.12 Quelques propriétés des fractions rationnelles220
  - 4 Intégration des fonctions d'une variable complexe223
  - 4.1 Préliminaires223
  - 4.2 Théorème de Cauchy (1825) et premières conséquences227
  - 4.2.1 Énoncé et démonstration227
  - 4.2.2 Une illustration230
  - 4.2.3 Premiers corollaires231
  - 4.3 Généralisation au cas d'un domaine multiplement connexe237
  - 4.4 Formule de Cauchy241
  - 4.5 Dérivées d'ordre supérieur247
  - 4.6 Fonctions définies par une intégrale254
  - 4.7 Illustrations256
  - 4.7.1 N = 0, 1, 2,...256
  - 4.7.2 N = -1, -2,...258
  - 4.8 Exercices et problèmes261
  - 4.8.1 Courbes et domaines261
  - 4.8.2 Calcul direct d'intégrales261
  - 4.8.3 Applications de la formule de Cauchy262
  - 4.8.4 Intégrales de Wallis263
  - 4.8.5 Une application du théorème de Liouville263
  - 4.8.6 Une fonction holomorphe ?264
  - 4.8.7 Formule de la moyenne264
  - 4.8.8 Représentation intégrale des polynômes de Legendre264
  - 4.8.9 Fonction génératrice et relation d'orthogonalité des polynômes de Legendre265
  - 4.8.10 Étude d'une fonction266
  - 5 Représentation des fonctions analytiques par des séries. Théorème des résidus269
  - 5.1 Séries de Taylor270
  - 5.2 Compléments sur les séries entières273
  - 5.3 Séries de Laurent275
  - 5.4 Classification des singularités d'une fonction282
  - 5.5 Théorème des résidus292
  - 5.5.1 Définitions et recettes de calcul des résidus292
  - 5.5.2 Démonstration du théorème des résidus295
  - 5.6 Prolongement analytique300
  - 5.7 Fonctions multiformes. Coupures. Notion de surface de Riemann308
  - 5.8 Exercices et problèmes313
  - 5.8.1 Développements en série entière313
  - 5.8.2 Développements de Laurent314
  - 5.8.3 Calcul de résidus315
  - 5.8.4 Résidu en un pôle double316
  - 5.8.5 Expression intégrale des fonctions de Bessel J_n316
  - 5.8.6 Singularités d'une fonction317
  - 5.8.7 Étude d'une fonction définie par une intégrale318
  - 5.8.8 Coupures319
  - 5.8.9 Calcul d'une intégrale319
  - 5.8.10 Variations sur une intégrale320
  - 5.8.11 Prolongements analytiques321
  - 5.8.12 Prolongement analytique de l'intégrale de Gauss321
  - 5.8.13 Une limite pas si simple322
  - 5.8.14 Une même série, deux fonctions différentes323
  - 6 Applications élémentaires du théorème des résidus325
  - 6.1 Lemmes de Jordan325
  - 6.2 Calcul d'intégrales définies328
  - 6.2.1 Fractions rationnelles329
  - 6.2.2 Intégrales d'une fonction rationnelle de lignes trigonométriques338
  - 6.2.3 Intégrales de Fourier341
  - 6.2.4 Exemples divers344
  - 6.3 Calcul d'intégrales de fonctions multiformes354
  - 6.4 Calcul d'intégrales impropres362
  - 6.5 Calcul de la somme de séries366
  - 6.6 Calcul de sommes finies373
  - 6.7 Quelques compléments sur les fonctions méromorphes377
  - 6.7.1 Formule intégrale de Poisson pour le disque de rayon R377
  - 6.7.2 Pôles et zéros d'une fonction méromorphe378
  - 6.8 Représentation des fonctions méromorphes et des fonctions entières381
  - 6.8.1 Décomposition des fonctions méromorphes en série d'éléments simples381
  - 6.8.2 Décomposition des fonctions entières en produits infinis382
  - 6.9 Exercices et problèmes384
  - 6.9.1 Calculs d'intégrales (fonctions à une détermination)384
  - 6.9.2 Quelques intégrales391
  - 6.9.3 Le théorème fondamental de l'algèbre392
  - 6.9.4 Une formule de Poisson (1823)393
  - 6.9.5 Calculs d'intégrales (fonctions multiformes)394
  - 6.9.6 Formule d'interpolation de Hermite399
  - 6.9.7 Majoration de cot pi z sur un grand carré399
  - 6.9.8 Somme de séries399
  - 6.9.9 Une série impliquant les zéros de tan z = z400
  - 6.9.10 D'autres séries impliquant les zéros de tan z = z402
  - 6.9.11 Encore une formule de Poisson402
  - 7 Quelques applications de la théorie des fonctions d'une variable complexe403
  - 7.1 Les fonctions d'Euler Gamma(z) et Bêta(p, q)404
  - 7.1.1 La fonction Gamma Gamma(z)404
  - 7.1.2 La fonction Bêta Bêta(p, q)415
  - 7.2 La fonction Psi(z) d'Euler420
  - 7.3 La fonction Dzeta(z) de Riemann423
  - 7.4 Développements asymptotiques435
  - 7.4.1 Idées générales et définitions435
  - 7.4.2 Un exemple classique446
  - 7.5 Méthode du col451
  - 7.6 De l'importance des singularités apparemment innocentes464
  - 7.7 Un exercice de synthèse465
  - 7.8 Transformations conformes472
  - 7.8.1 Définition d'une transformation conforme473
  - 7.8.2 Propriétés d'une transformation conforme. Exemples simples475
  - 7.8.3 Principes de l'application des transformations conformes à des problèmes physiques480
  - 7.9 Exercices et problèmes482
  - 7.9.1 Forme historique d'Euler de la fonction (...) (z)482
  - 7.9.2 Fonction (...) (z)483
  - 7.9.3 À propos des fonctions d'Euler484
  - 7.9.4 Une formule fondamentale d'Euler486
  - 7.9.5 Au-delà de la formule de Stirling486
  - 7.9.6 La fonction (...) (z)487
  - 7.9.7 L'une des preuves de Riemann de la relation fonctionnelle satisfaite par la fonction (...) (z)490
  - 7.9.8 Nombres de Bernoulli491
  - 7.9.9 Approximation d'une fonction définie par une intégrale491
  - 7.9.10 Développements asymptotiques491
  - 7.9.11 Méthode du col492
  - 7.9.12 Comportement à l'infini d'une fonction définie par une intégrale492
  - 7.9.13 Le nombre (...), n (...)*, est rationnel493
  - 7.9.14 Énergie libre complexe495
  - 7.9.15 Transformation du Laplacien par transformation conforme497
  - 7.9.16 Transformation d'une couronne coupée en rectangle498
  - 7.9.17 Transformation de Joukovski498
  - 7.9.18 Une application élémentaire de l'une des formules de Poisson498
  - 7.9.19 Un exemple d'application d'une transformation conforme pour résoudre un problème de Dirichlet499
  - 8 Analyse de Fourier501
  - 8.1 Séries de Fourier505
  - 8.2 Transformation de Fourier525
  - 8.2.1 Définition et formule d'inversion525
  - 8.2.2 Propriétés de la transformation de Fourier539
  - 8.3 Propriétés asymptotiques553
  - 8.4 Généralisation en dimension quelconque556
  - 8.5 Causalité et analycité559
  - 8.6 Relations de Kramers - Kronig565
  - 8.7 Exercices et problèmes567
  - 8.7.1 Séries de Fourier567
  - 8.7.2 Une particule pulsée570
  - 8.7.3 Une particule qui rebondit sur des murs570
  - 8.7.4 Variations périodiques de température571
  - 8.7.5 Quelques transformées de Fourier573
  - 8.7.6 Retour sur la relation fonctionnelle de la fonction (...) (z)573
  - 8.7.7 Résolution d'une équation différentielle et aux différences à l'aide de la transformation de Fourier574
  - 8.7.8 Transformée de Fourier du potentiel de Yukawa575
  - 8.7.9 Transformation de Fourier d'une fonction discontinue576
  - 8.7.10 Résolution d'une équation aux dérivées partielles à l'aide de la transformation de Fourier576
  - 9 Transformation de Laplace579
  - 9.1 Présentation579
  - 9.2 Définition et formule d'inversion581
  - 9.3 Propriétés de la transformation de Laplace592
  - 9.4 Propriétés asymptotiques603
  - 9.5 Quelques applications de la transformation de Laplace609
  - 9.5.1 Équations différentielles linéaires à coefficients constants609
  - 9.5.2 Équations différentielles à coefficients linéairement variables613
  - 9.5.3 Équations aux différences finies619
  - 9.5.4 Équations aux dérivées partielles623
  - 9.5.5 Équations intégro-différentielles linéaires628
  - 9.5.6 Une application du théorème de convolution : le pendule isochrone de Huyghens632
  - 9.6 Exercices et problèmes633
  - 9.6.1 Relations utiles à propos de la transformation de Laplace633
  - 9.6.2 Quelques transformées de Laplace633
  - 9.6.3 Une autre application intégrale634
  - 9.6.4 Calcul d'une transformée de Laplace par sommation d'une série634
  - 9.6.5 Transformée de Laplace du sinus intégral635
  - 9.6.6 Applications de la formule d'inversion636
  - 9.6.7 Équation différentielle et transformation de Laplace636
  - 9.6.8 Application à une équation aux différences finies : les suites de Fibonacci637
  - 9.6.9 Transformée de Laplace de la fonction partie entière E(t)638
  - 9.6.10 Calcul d'une intégrale et comportement d'un original638
  - 9.6.11 Quelques convolutions639
  - 9.6.12 Applications du théorème d'Efros639
  - 9.6.13 Mouvement Brownien avec retard640
  - 9.6.14 Fonction Bêta641
  - 9.6.15 Transformée de Laplace de la fonction de Bessel (...) 642
  - 9.6.16 Résolution d'une équation différentielle du troisième ordre642
  - 9.6.17 À propos de la fonction partie entière643
  - 9.6.18 Polynômes de Laguerre et transformation de Laplace643
  - 9.6.19 Comportement asymptotique d'une fonction (...) déduit de sa transformée de Laplace644
  - 9.6.20 Instabilité (amortissement) de Landau644
  - 9.6.21 Relaxation brisée649
  - 10 Introduction aux fonctions généralisées (distributions)653
  - 10.1 Présentation intuitive653
  - 10.2 Les distributions en tant que fonctionnelles linéaires657
  - 10.2.1 Définition d'une fonction généralisée (distribution)657
  - 10.2.2 Suites équivalentes : exemples à propos de la distribution de Dirac662
  - 10.2.3 Opérations sur les distributions664
  - 10.2.4 Les fonctions ordinaires comme distributions671
  - 10.2.5 Quelques distributions courantes673
  - 10.3 Séries de Fourier des distributions676
  - 10.4 Transformées de Fourier des distributions679
  - 10.5 Illustrations et exemples physiques685
  - 10.5.1 Oscillateur harmonique685
  - 10.5.2 Exemples de relations de fermeture688
  - 10.5.3 Les représentations -q et -p en Mécanique quantique692
  - 10.6 Extensions694
  - 10.6.1 Distributions puissances et logarithme695
  - 10.6.2 Les distributions (...)^z706
  - 10.6.3 Fonctionnelles analytiques708
  - 10.7 Exercices et problèmes712
  - 10.7.1 Formule de Leibniz pour les distributions712
  - 10.7.2 Sur l'espace (...)712
  - 10.7.3 Précurseur gaussien de (...)(x)713
  - 10.7.4 Régularisations713
  - 10.7.5 Dérivation et intégration fractionnaires713
  - 10.7.6 Transformée de Fourier des distributions (...)715
  - 10.7.7 Distribution (...)716
  - 10.7.8 Une curieuse formule de dérivation718
  - 10.7.9 La distribution r^z dans (...) et son rapport avec (...)718
  - 11 Équations différentielles. Introduction aux fonctions de Green721
  - 11.1 Pertinence des équations différentielles pour la modélisation avec des variables continues722
  - 11.2 Généralités et définitions726
  - 11.3 Classification des équations différentielles727
  - 11.4 Importance des conditions auxiliaires (conditions initiales, conditions aux limites)730
  - 11.5 Équations linéaires736
  - 11.5.1 Équations linéaires homogènes736
  - 11.5.2 Équations linéaires inhomogènes750
  - 11.5.3 Espace vectoriel des solutions d'une équation différentielle linéaire753
  - 11.6 Équations non-linéaires754
  - 11.6.1 Équations à variables séparées755
  - 11.6.2 Équation de Bernoulli756
  - 11.6.3 Équations homogènes758
  - 11.6.4 Équation harmonique759
  - 11.6.5 Équation de Clairaut760
  - 11.6.6 Équation de Lagrange761
  - 11.6.7 Équation de Riccati762
  - 11.6.8 Exemples763
  - 11.7 Systèmes différentiels768
  - 11.8 Équations différentielles et équations aux différences773
  - 11.9 Fonctions de Green779
  - 11.9.1 Préliminaires780
  - 11.9.2 Définition des fonctions de Green783
  - 11.9.3 Exemples784
  - 11.10 Exercices et problèmes795
  - 11.10.1 Quelques équations différentielles795
  - 11.10.2 Approximations successives de la solution d'une équation du premier ordre (méthode de Picard)797
  - 11.10.3 Points singuliers d'une équation différentielle798
  - 11.10.4 Méthode de Fuchs798
  - 11.10.5 Équation d'Airy799
  - 11.10.6 Formule de Liouville pour le Wronskien d'une équation différentielle linéaire d'ordre N800
  - 11.10.7 Réduction à la forme canonique de Sturm - Liouville800
  - 11.10.8 Relation entre une EDO et une équation de Volterra801
  - 11.10.9 Équation de Clairaut801
  - 11.10.10 Équation de Bernoulli801
  - 11.10.11 Mouvement d'une fusée802
  - 11.10.12 Une équation différentielle non-linéaire802
  - 11.10.13 Quelques propriétés du propagateur. Théorème de Floquet802
  - 11.10.14 Dérivée discrète d'une suite803
  - 11.10.15 Détermination d'une suite à l'aide d'une fonction génératrice804
  - 11.10.16 Équations aux différences non-linéaires804
  - 11.10.17 Fonctions de Green de quelques opérateurs élémentaires805
  - 11.10.18 Fonction de Green de l'équation fondamentale de la Dynamique pour un champ uniforme variable dans le temps805
  - 11.10.19 Résolution d'une équation différentielle806
  - 12 Équations aux dérivées partielles809
  - 12.1 Introduction intuitive d'un champ continu et de son équation dynamique : la chaîne de boules et de ressorts812
  - 12.2 Conditions auxiliaires pour une équation aux dérivées partielles. Classification813
  - 12.2.1 Existence et unicité de la solution813
  - 12.2.2 Classification des EDP820
  - 12.3 Méthodes analytiques de résolution822
  - 12.3.1 Remarques générales822
  - 12.3.2 Méthode des caractéristiques823
  - 12.3.3 Méthode de Wiener - Hopf827
  - 12.4 Équations linéaires du second ordre832
  - 12.4.1 Cas parabolique : équation de la diffusion ou de la chaleur833
  - 12.4.2 Cas hyperbolique : équation de propagation842
  - 12.4.3 Cas elliptique : équation de Laplace848
  - 12.4.4 Espace vectoriel des solutions d'une EDP linéaire. Notion d'espace de Hilbert852
  - 12.5 Équations non-linéaires858
  - 12.5.1 Équation de Burgers858
  - 12.5.2 L'équation de sine-Gordon863
  - 12.5.3 L'équation de Korteweg - de Vries874
  - 12.6 Exercices et problèmes878
  - 12.6.1 Équation de transport et transformée de Laplace878
  - 12.6.2 L'équation de Black - Scholes878
  - 12.6.3 Diffusion sur (...) avec une barrière parfaitement réfléchissante à l'origine879
  - 12.6.4 Diffusion dans une boîte avec des murs absorbants ou rayonnants880
  - 12.6.5 Équation de la chaleur entre deux parois isothermes880
  - 12.6.6 Équation de diffusion avec source881
  - 12.6.7 Problème de Cauchy pour des équations quasi-linéaires881
  - 12.6.8 Corde vibrante et conditions de Dirichlet882
  - 12.6.9 Corde vibrante amortie. Séparation des variables882
  - 12.6.10 Équation de Euler - Tricomi883
  - 12.6.11 Équation de Burgers884
  - 12.6.12 Vibrations d'une poutre884
  - 12.6.13 Résolution d'une EDP fortement non-linéaire885
  - 13 Fonctions spéciales887
  - 13.1 Polynômes orthogonaux887
  - 13.1.1 Construction des polynômes orthogonaux888
  - 13.1.2 Principales propriétés des polynômes orthogonaux891
  - 13.1.3 Quelques polynômes orthogonaux classiques893
  - 13.1.4 Fonctions génératrices900
  - 13.2 Fonctions hypergéométriques903
  - 13.3 Fonctions de Bessel907
  - 13.3.1 Définition élémentaire et premières propriétés907
  - 13.3.2 Généralisation à un indice non entier909
  - 13.3.3 Relations fonctionnelles et de récurrence913
  - 13.3.4 Quelques classes particulières de fonctions de Bessel915
  - 13.3.5 Représentations intégrales de Sommerfeld919
  - 13.3.6 Théorèmes d'addition921
  - 13.4 Fonctions (...) (z, q)924
  - 13.4.1 Les quatre fonctions (...) (z, q)924
  - 13.4.2 Relations remarquables entre les (...) (z, q)928
  - 13.4.3 Équation différentielle satisfaite par les rapports de deux (...) (z, q)930
  - 13.4.4 Les fonctions elliptiques de Jacobi932
  - 13.5 Intégrales elliptiques934
  - 13.6 Exercices et problèmes938
  - 13.6.1 Relations de récurrence et fonctions caractéristiques des polynômes orthogonaux938
  - 13.6.2 Équation différentielle caractéristique pour le poids W(x) des polynômes orthogonaux classiques938
  - 13.6.3 Fonction hypergéométrique F(alpha, Bêta, (...) ; z).)940
  - 13.6.4 Fonctions de Bessel J_n(z)940
  - 13.6.5 Quelques intégrales impliquant des fonctions de Bessel941
  - 13.6.6 À propos des fonctions (...) (z, q)942
  - 13.6.7 Le produit infini de Jacobi pour les fonctions (...) et démonstration de l'égalité (...)943
  - 13.6.8 Sur les intégrales elliptiques complètes945
  - 13.6.9 Les relations de Legendre pour les intégrales elliptiques complètes946
  - 14 Théorie des probabilités et applications947
  - 14.1 Notion de variable aléatoire948
  - 14.2 Notion de probabilité954
  - 14.2.1 Définition intuitive954
  - 14.2.2 Difficultés de la définition intuitive957
  - 14.3 Axiomes. Premières conséquences961
  - 14.3.1 Axiomes961
  - 14.3.2 Premières conséquences963
  - 14.4 Sur l'intégrale de Lebesgue967
  - 14.5 Fonction de répartition970
  - 14.5.1 Fonction de répartition d'une v.a. discrète971
  - 14.5.2 Cas général975
  - 14.6 Espérances mathématiques (moyennes)987
  - 14.7 Lois de distribution courantes995
  - 14.7.1 Loi binomiale995
  - 14.7.2 Loi de Poisson1003
  - 14.7.3 Loi uniforme1011
  - 14.7.4 Loi de Simpson1012
  - 14.7.5 Loi exponentielle1013
  - 14.7.6 Loi de Gauss1014
  - 14.7.7 Loi de Cauchy1016
  - 14.7.8 Loi de Pareto1019
  - 14.8 Fonction caractéristique1020
  - 14.8.1 Définitions et propriétés1020
  - 14.8.2 Somme de variables aléatoires indépendantes1026
  - 14.8.3 Stabilité d'une loi par l'addition1029
  - 14.9 Fonction d'une variable aléatoire1031
  - 14.10 Lois-limites. Théorème limite central1033
  - 14.10.1 Problématique1033
  - 14.10.2 Théorème limite central (TLC)1034
  - 14.11 Exercices et problèmes1043
  - 14.11.1 Variable aléatoire à trois valeurs1043
  - 14.11.2 Une variable aléatoire1043
  - 14.11.3 Loi Gamma1044
  - 14.11.4 Variables aléatoires de Cauchy1044
  - 14.11.5 Fonction de répartition d'une variable aléatoire1045
  - 14.11.6 Ajustement empirique d'une variable aléatoire1046
  - 14.11.7 Loi de Pareto1047
  - 14.11.8 Lois de Maxwell et de Laplace1047
  - 14.11.9 Loi de Gumbel1048
  - 14.11.10 Variables de Poisson1048
  - 14.11.11 Variable aléatoire et transformation de Laplace1049
  - 14.11.12 Variable aléatoire continue1049
  - 14.11.13 Étude de deux variables aléatoires1050
  - 14.11.14 Une marche dirigée1051
  - 14.11.15 Sur la fonction caractéristique1053
  - 14.11.16 De l'importance de bien connaître la fonction caractéristique1054
  - 14.11.17 À propos de la fonction de Cantor - Lebesgue1055
  - 14.11.18 Série de variables aléatoires indépendantes1055
  - 14.11.19 Une variable aléatoire peu ordinaire1056
  - 14.11.20 Lois composées1056
  - 15 Introduction à la théorie des groupes et à leur représentation1059
  - 15.1 Qu'est-ce qu'un groupe ?1059
  - 15.1.1 Définitions et exemples1059
  - 15.1.2 Premiers exemples de groupes1061
  - 15.1.3 Sous-groupes. Classes d'un sous-groupe. Théorème de Lagrange1066
  - 15.1.4 Théorème de Cayley1068
  - 15.2 Applications entre deux groupes1069
  - 15.3 Représentations d'un groupe1070
  - 15.3.1 Définitions1070
  - 15.3.2 Réductibilité vs irréductibilité d'une représentation1074
  - 15.3.3 Lemme de Schur et autres théorèmes1076
  - 15.3.4 Décomposition d'une représentation réductible1080
  - 15.3.5 Exemple : représentation régulière1082
  - 15.3.6 Exemples de tables des caractères1086
  - 15.4 Conséquences de la symétrie sur la structure algébrique d'un système1088
  - 15.5 Projecteurs de symétrie1093
  - 15.6 Groupe symétrique S_N1100
  - 15.6.1 Permutations et cycles1100
  - 15.6.2 Transpositions1102
  - 15.6.3 Classes d'équivalence1103
  - 15.6.4 Représentations de S_N1105
  - 15.7 Groupe des rotations1107
  - 15.7.1 Opérateurs de rotation1108
  - 15.7.2 États propres des opérateurs de rotation1110
  - 15.7.3 Les représentations D⁽⁰⁾, D^(1/2) et D⁽¹⁾1115
  - 15.7.4 Homomorphisme (...)1120
  - 15.8 Exercices et problèmes1122
  - 15.8.1 Sur la structure de groupe1122
  - 15.8.2 Résolution d'équations dans un groupe1123
  - 15.8.3 Groupe des réels1123
  - 15.8.4 Rotations hyperboliques dans le plan1124
  - 15.8.5 Groupe des déplacements plans1125
  - 15.8.6 Groupe symplectique1126
  - 15.8.7 Quaternions1127
  - 15.8.8 Hybridation sp²1128
  - 15.8.9 Groupe C^2v1128
  - 15.8.10 Symétrie de translation d'un réseau unidimensionnel1129
  - 16 Éléments de dynamique des systèmes non-linéaires1131
  - 16.1 Richesse et spécificités des systèmes non-linéaires1131
  - 16.1.1 Introduction1131
  - 16.1.2 Stabilité1136
  - 16.1.3 Notion de bifurcation1136
  - 16.1.4 Brisure de symétrie1139
  - 16.2 Analyse de stabilité linéaire1141
  - 16.3 Portrait de phase1148
  - 16.3.1 Présentation sur l'exemple simple de l'équation (16.6)1148
  - 16.3.2 Oscillateur cubique1149
  - 16.3.3 Le pendule simple1151
  - 16.4 Systèmes autonomes du premier ordre1156
  - 16.5 Exemples de systèmes à deux variables1161
  - 16.5.1 Le modèle proie - prédateur (Lotka - Volterra)1161
  - 16.5.2 La réaction oscillante de Belousov - Zhabotinsky1166
  - 16.6 Variables discrètes. Applications récursives (itérations)1171
  - 16.6.1 Variables discrètes vs variables continues1171
  - 16.6.2 Points fixes. Stabilité1175
  - 16.6.3 Exemples d'applications itératives1180
  - 16.7 Exercices et problèmes1210
  - 16.7.1 Des sangliers et des chasseurs1210
  - 16.7.2 Portrait de phase du double puits1211
  - 16.7.3 Un point critique variant comme une lemniscate1211
  - 16.7.4 Cycles-limites1211
  - 16.7.5 Itération1212
  - 16.7.6 Système non-linéaire1213
  - 16.7.7 Itération pour l'équation étudiée dans l'exercice 11.10.121214
  - 16.7.8 Bifurcation du cerceau tournant1214
  - 16.7.9 Points fixes et stabilité1215
  - 16.7.10 Retour sur un canular numérique1215
  - 16.7.11 Oscillateur harmonique pulsé1216
  - 16.7.12 Application toile de tente1218
  - 16.7.13 Sur l'application logistique1219
  - Bibliographie1221
  - Index1235
Origine de la notice:
- FR-751131015