Eléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)

Auteur(s) :

Colmez, Pierre (1962-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Ce manuel offre une introduction à 3 théories à la base des mathématiques : la théorie des représentations des groupes finis, l'analyse fonctionnelle classique, la théorie des fonctions holomorphes. Le cours est complété par un chapitre sur le vocabulaire mathématique et des exercices corrigés.

Éditeur(s)
- Ecole polytechnique
Date
- 2011
Notes
- Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (640 p.) ; 24 x 17 cm
Collections
- Mathématiques
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-7302-1587-9
Indice
- 517 Analyse
Quatrième de couverture
- Mathématiques
  Cet ouvrage est issu d'un cours en première année à l'École Polytechnique. Son format un peu particulier en fait un bon compagnon pour la préparation des concours du taupin ambitieux et de l'agrégatif, ou pour l'étudiant de L3 ou quiconque ayant atteint ce niveau et cherchant à saisir le fonctionnement interne des mathématiques.
  - Le long chapitre « Vocabulaire Mathématique », dont le but était d'offrir aux élèves des autres filières le résumé d'un cours des meilleures classes de MP*, regroupe et précise, sous une forme compacte, l'essentiel des notions de base vues en L1 et L2 ou pendant les classes préparatoires (groupes, anneaux, corps, algèbre linéaire, matrices, topologie, compacité, connexité, complétude, séries numériques, convergence de fonctions, espaces hermitiens...). Il comporte plus d'une centaine d'exercices corrigés.
  - Le cours qui suit offre une introduction à trois des théories à la racine des mathématiques : la théorie des représentations des groupes finis, qui est à la fois une extension naturelle de l'algèbre linéaire et une première approche de la transformée de Fourier, l'analyse fonctionnelle classique (espaces de Banach et Hilbert, intégrale de Lebesgue, transformée de Fourier) et la théorie des fonctions holomorphes. Il recouvre une bonne partie du cursus de L3 à l'Université.
  - Les 13 problèmes corrigés combinent les théorèmes du cours pour démontrer de jolis résultats comme l'irrationalité de (...) (3).
  La principale originalité de l'ouvrage vient de l'accent mis sur l'aspect culturel et l'unité des mathématiques. De nombreuses notes de bas de page proposent de petites excursions en dehors de l'autoroute des mathématiques utiles. Sept appendices présentent des extraits de la littérature mathématique classique, accessibles avec le contenu du cours, qui montrent comment les théories de base se combinent pour la résolution de problèmes naturels profonds. L'un d'entre eux est consacré au théorème des nombres premiers dont la démonstration a pris plus de 150 ans ; un autre est une introduction au programme de Langlands, qui occupe les arithméticiens depuis plus de 40 ans, et dont une des retombées les plus spectaculaires est la démonstration du théorème de Fermat. Entre les deux le lecteur pourra découvrir quelques aspects du monde p-adique ou une formule indiquant des liens encore mystérieux entre les mondes réels et p-adiques, ou encore un problème millénaire non encore résolu.
Tables des matières
- - Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)
  - Pierre Colmez
  - Les éditions de l'École Polytechnique
  - Introduction1
  - Vocabulaire Mathématique9
  - 1. Grammaire élémentaire10
  - 2. Structures algébriques16
  - 3. Groupes finis38
  - 4. Polynômes48
  - 5. Algèbre linéaire61
  - 6. Déterminants71
  - 7. Matrices74
  - 8. Fragments de théorie des corps (commutatifs)88
  - 9. Système d'équations100
  - 10. Réduction des endomorphismes110
  - 11. Topologie129
  - 12. Compacité139
  - 13. Connexité148
  - 14. Complétude151
  - 15. Séries numériques156
  - 16. Convergence de fonctions165
  - 17. Espaces vectoriels normés167
  - 18. Espaces préhilbertiens172
  - 19. Tératologie183
  - 20. Construction de nombres190
  - 21. Corrigé des exercices201
  - I. Représentations des groupes finis233
  - I.1. Représentations et caractères235
  - I.2. Décomposition des représentations242
  - I.3. Construction de représentations256
  - II. Espaces de Banach269
  - II.1. Espaces de Banach269
  - II.2. Espaces de Hilbert283
  - II.3. Exercices289
  - II.4. Espaces de Banach p-adiques292
  - III. Intégration297
  - III.1. Intégrale de Lebesgue297
  - III.2. Quelques espaces fonctionnels310
  - III.3. Intégrales multiples315
  - III.4. Construction de l'intégrale de Lebesgue323
  - IV. Transformée de Fourier331
  - IV.1. Intégrales dépendant d'un paramètre331
  - IV.2. Transformée de Fourier dans L¹334
  - IV.3. Formules d'inversion337
  - IV.4. Transformée de Fourier dans L²349
  - V. Fonctions holomorphes355
  - V.1. Fonctions holomorphes et fonctions analytiques complexes355
  - V.2. Exemples de fonctions holomorphes359
  - V.3. Premières propriétés des fonctions holomorphes361
  - V.4. La formule intégrale de Cauchy et ses conséquences365
  - V.5. Construction de fonctions holomorphes371
  - V.6. Inversion globale et image ouverte375
  - VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy)379
  - VI.1. Homotopie de lacets et formule de Cauchy379
  - VI.2. Indice d'un lacet par rapport à un point385
  - VI.3. La formule des résidus de Cauchy389
  - VII. Séries de Dirichlet399
  - VII.1. Séries de Dirichlet399
  - VII.2. Séries de Dirichlet et transformée de Mellin403
  - VII.3. La fonction zêta de Riemann409
  - VII.4. Fonctions L de Dirichlet415
  - VII.5. Autres exemples422
  - VII.6. Formes modulaires423
  - A. Le théorème des nombres premiers429
  - A.1. Introduction429
  - A.2. Les fonctions psi et psi₁433
  - A.3. Formules explicites435
  - A.4. Démonstration du théorème des nombres premiers443
  - A.5. Compléments445
  - B. Volume de SL_n(R)/SL_n(Z)449
  - B.1. Volume d'objets arithmétiques449
  - B.2. La mesure de Haar de SL_n(R)458
  - C. Groupes finis et représentations : exemples465
  - C.1. p-Groupes465
  - C.2. Représentations du groupe symétrique S_n467
  - C.3. Représentations de GL₂(F)470
  - D. Fonctions d'une variable p-adique479
  - D.1. Analyses fonctionnelles réelle et p-adique479
  - D.2. Fonctions k-fois uniformément dérivables480
  - D.3. Fonctions localement analytiques sur Z_p484
  - D.4. La fonction zêta p-adique489
  - E. Irrationalité d'une infinité de dzeta(2n + 1)497
  - E.1. Indépendance linéaire de nombres réels497
  - E.2. Transcendance de pi et indépendance linéaire des dzeta(n)499
  - F. Le problème des nombres congruents507
  - F.1. Courbes elliptiques et nombres congruents507
  - F.2. Équations diophantiennes517
  - G. Introduction au programme de Langlands523
  - G.1. La conjecture d'Artin525
  - G.2. Le théorème de Kronecker-Weber revisité535
  - G.3. Le programme de Langlands549
  - H. Problèmes corrigés555
  - H.1. Exercices d'examen556
  - H.2. Table des caractères de A₅569
  - H.3. Représentations de GL₂(F₃)574
  - H.4. Table des caractères de GL₃(F₂)579
  - H.5. Coefficients de Fourier des fonctions continues587
  - H.6. Fonctions d'Hermite et transformée de Fourier dans L²589
  - H.7. Transformée de Fourier et convolution593
  - H.8. Loi d'addition sur une courbe elliptique597
  - H.9. Coefficients de Fourier des fonctions analytiques603
  - H.10. Prolongement analytique d'intégrales et de séries605
  - H.11. La fonction eta de Dedekind612
  - H.12. Irrationalité de dzeta(3)622
  - H.13. Le critère de Borel626
  - H.14. Le théorème de Mordell-Weil629
  - Index641
  - Index terminologique642
  - Énoncés mathématiques650
  - Index des noms propres652
  - Repères chronologiques655
Origine de la notice:
- Electre