Épistémologie mathématique
Henri Lombardi
Ellipses
1 La rigueur en mathématiques
1
Introduction1
1.1 La géométrie élémentaire1
1.2 La rigueur dans N7
1.3 Le théorème fondamental de l'algèbre10
2 Analyse de preuves. Le pgcd
19
Introduction19
2.1 L'anthyphérèse19
2.2 Le théorème du pgcd20
2.3 Une preuve abstraite classique21
2.4 Une preuve par algorithme22
2.5 Comparaison des deux preuves24
2.6 La preuve classique cache-t-elle un algorithme ?25
3 Les entiers naturels
29
Introduction29
3.1 Un texte de Poincaré29
3.2 Exemples de raisonnements par récurrence37
3.2.1 Des exemples (trop) simples37
La somme des n premiers entiers37
Sommations finies37
Manque de rigueur ?39
3.2.2 Un exemple plus difficile40
3.3 Preuves par algorithme et preuves par récurrence41
Récurrence et descente infinie42
4 Analyse de preuves. Espaces vectoriels et systèmes linéaires
49
Introduction49
4.1 Un texte classique sur la théorie «abstraite»50
4.2 De la méthode du pivot à la théorie de la dimension53
4.3 Retour sur la théorie abstraite de la dimension59
5 Points de repères historiques sur l'infini en mathématiques
65
Introduction65
5.1 L'infini chez les mathématiciens grecs65
5.2 La crise des infinitésimaux67
5.3 La crise des géométries non euclidiennes68
5.4 Cantor et l'avènement de l'infini actuel68
5.5 Les paradoxes de la théorie des ensembles69
5.6 Les avatars de l'hypothèse du continu71
5.7 Le programme de Hilbert71
5.8 Le point de vue formaliste73
5.9 Et demain ?74
Annexe 1 : un texte de Poincaré75
Annexe 2 : des commentaires sur l'infini80
6 À propos de Cauchy et de l'uniformité
89
Introduction89
6.1 Nombres, quantités, variables, infiniment petits90
6.1.1 Nombres et quantités90
6.1.2 Variables, infiniment petits, infiniment grands92
6.1.3 Le critère de Cauchy94
6.2 Continuité : globale, locale ou ponctuelle ?95
6.2.1 Continuité des fonctions : une définition probématique95
6.2.2 Continuité des fonctions de plusieurs variables98
6.2.3 Somme d'un série convergente de fonctions continues100
6.3 Fonction dérivée et théorème des accroissements finis104
6.4 Conclusion108
7 Nombres réels et fonctions continues
111
Introduction111
7.1 L'énoncé du théorème des valeurs intermédiaires et sa signification intuitive111
7.2 Deux preuves113
7.3 Un algorithme pour le TVI ?115
7.4 Calculer avec les nombres réels116
7.5 Calculer avec une fonction continue118
7.6 Exercices120
7.7 Ne pas renoncer au théorème des valeurs intermédiaires126
8 La structure du continu
131
Introduction131
8.1 Qu'est-ce que le continu ?132
8.2 Le théorème de Cantor132
8.3 Mesurer134
8.4 Le théorème de Heine-Borel137
9 Cantor et l'infini actuel
139
Introduction139
9.1 Grands résultats sur les petits infinis139
9.1.1 Définitions et propriétés de base140
9.1.2 Quelques ensembles dénombrables144
9.1.3 La puissance du continu144
9.1.4 Des preuves constructives147
9.2 Paradoxes et incertitudes en théorie des ensembles148
9.2.1 Le paradoxe de Cantor-Russell-Skolem148
9.2.2 Zermelo et Fraenkel colmatent les brèches149
9.2.3 Le paradoxe de Banach-Tarski149
9.2.4 Hypothèse du continu et axiome du choix150
9.2.5 Le réalisme platonicien150
10 La calculabilité mécanique
153
Introduction153
10.1 Machines de Turing154
10.2 Machine de Turing Universelle160
10.2.1 Suites effectives et suites mécaniquement calculables161
10.2.2 Le théorème de Cantor161
10.2.3 Une Machine de Turing universelle163
10.2.4 Le théorème d'indécidabilité de Turing164
10.3 Autres modèles de calcul équivalents165
10.3.1 Le modèle de calcul imaginé par Gödel165
10.3.2 La thèse de Church170
11 On ne peut pas tout savoir
171
Introduction171
11.1 Impossibilités liées aux suites calculables d'entiers171
11.2 Impossibilités liées aux nombres réels173
11.3 Impossibilité de résolution systématique des problèmes diophantiens174
11.4 Impossibilités liées aux systèmes de preuves formalisés175
11.4.1 Les théorèmes d'incomplétude de Gödel175
11.4.2 Arithmétisation des mathématiques176
A Logique Constructive
179
Introduction179
A.1 Objets de base, Ensembles, Fonctions179
A.2 Affirmer signifie prouver183
A.3 Connecteurs et quantificateurs184
A.4 Principes d'omniscience186
A.5 Principes problématiques en mathématiques constructives189
B Bibliographie
191
C Une chronologie de scientifiques
193
Index
207