Le problème de Kepler
Histoire et théorie
Alain Guichardet
Ecole polytechnique
Introduction9
I Histoire13
I.1 XVIIe et XVIIIe siècles : les fondateurs13
I.1.1 Johannes Kepler (1571-1630)13
I.1.2 Isaac Newton (1642-1727)14
I.1.3 Jacob Herman et Johann Bernoulli (publications de 1710)15
I.2 XVIIIe et XIXe siècles : modernisation16
I.2.1 Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)16
I.2.2 Pierre-Simon de Laplace (1749-1827)17
I.2.3 William Rowan Hamilton (1805-1865)18
I.3 XXe siècle : quantification du problème de Kepler20
I.3.0 Préliminaires20
I.3.1 W. Lenz (publication de 1924)20
I.3.2 W. Pauli (publication de 1926)21
I.3.3 L. Hulthen (publication de 1933)21
I.3.4 V. Fock (publication de 1936)22
I.3.5 M. Bander - C. Itzykson (publication de 1966)23
I.4 XXe siècle : retour au problème de Kepler classique24
I.4.1 H. Bacry - H. Ruegg - J.M. Souriau (publication de 1966)24
I.4.2 G. Györgyi (publication de 1968)25
I.4.3 J. Moser (publication de 1970)25
I.4.4 T. Ligon - M. Schaaf (publicatiokn de 1976)26
I.4.5 R.H. Cushman - J.J. Duistermaat (publication de 1997)26
I.4.6 G. Heckman - T. de Laat (publication de 2010)27
II Théorie35
II.1 Espace des phases du problème de Kepler35
II.1.0 Introduction35
II.1.1 Notations générales35
II.1.2 Généralités36
II.1.3 Moment cinétique et vecteur excentricité37
II.1.4 Description de M-1(l, a) dans le cas l (...) 0, a (...) 038
1.4.1 La théorème fondamental38
1.4.2 Description des orbites képlériennes39
1.4.3 Mouvements physiques40
1.4.4 Anomalie excentrique40
1.4.5 Anomalie moyenne42
II.1.5 Description de M-1(l, a) dans le cas l (...) 0, a = 042
1.5.1 Le théorème fondamental42
1.5.2 Description des orbites et des mouvements physiques43
II.1.6 Description de M-1(l, a) dans le cas l = 0, a (...) 043
1.6.1 Le théorème fondamental43
1.6.2 Description des orbites et des mouvements physiques44
II.1.7 Commentaire 145
II.1.8 Commentaire 246
II.2 Espace fibré cotangent à la sphère S346
II.2.0 Introduction46
II.2.1 Métrique riemannienne sur S347
II.2.2 Hamiltonien sur T* (S3)47
II.2.3 Passage de T* (S3) à T* (R4)48
II.2.4 Étude de trois fonctions vectorielles sur R4 x R449
II.2.5 Commentaires49
II.3 Passage de l'espace euclidien à la sphère49
II.3.0 Introduction49
II.3.1 L'application phi050
3.1.1 Définition et premières propriétés50
3.1.2 Transport de champs de vecteurs51
3.1.3 Commentaires51
II.3.2 L'application phiLS51
3.2.1 Première définition51
3.2.2 Seconde définition52
3.2.3 Transport de champs de vecteurs53
3.2.4 Description géométrique de phi0, phiLS et leurs inverses53
II.3.3 Commentaires54
II.3.4 Questions de formes différentielles55
II.3.5 Commentaire56
II.4 Action de groupes et algèbres de Lie56
II.4.0 Introduction56
II.4.1 Actions de SO(3) et o(3) sur l'espace des phases képlérien P57
II.4.2 Actions de SO(4) et o(4) sur P''57
II.4.3 Action de o(4) sur P-58
II.4.4 Commentaires58
II.4.5 Compactification des surfaces d'énergie59
II.5 Atome d'hydrogène60
II.5.0 Introduction60
II.5.1 Préliminaires61
II.5.2 Passage de R3 à S361
II.5.3 Transport de fonctions61
II.5.4 Transport d'opérateurs et de sous-espaces propres62
II.5.5 Autres résultats de Bander et Itzykson63
III Annexes65
A.1 Géométrie différentielle65
A.1.0 Introduction65
A.1.1 Variétés différentielles65
A.1.2 Vecteurs tangents. Champs de vecteurs. Flots66
A.1.3 Espaces fibrés tangents et cotangents68
A.1.4 Formalismes lagrangien et hamiltonien69
A.1.5 Action de groupes et d'algèbres de Lie71
A.1.6 Formes différentielles (extérieures)72
A.2 Mécanique quantique75
A.2.0 Introduction75
A.2.1 Quelques notations75
A.2.2 Harmoniques sphériques76
A.2.3 Transformation de Fourier-Plancherel (ou, plus brièvement, de Fourier)78
A.2.4 Espaces de Sobolev79
A.2.5 Opérateurs autoadjoints80
A.2.6 Formalisme de la Mécanique quantique81
A.2.7 Traitement usuel de l'atome d'hydrogène82
A.3 Prolongements divers83
A.3.0 Introduction83
A.3.1 Utilisation de groupes de Lie de plus grandes dimensions84
A.3.2 Problème à N corps84
A.3.3 Cas des énergies strictement positives85
Index89
Bibliographie93
B.1. Avant 190093
B.2. Après 1900 : travaux originaux, problème classique93
B.3. Après 1900 : travaux originaux, problème quantique95
B.4. Après 1900 : manuels adaptés au problème classique95
B.5. Après 1900 : manuels adaptés au problème quantique96