Géométrie des pavages : de la conception à la réalisation sur ordinateur

Auteur(s) :

Audibert, Pierre (1944?-....) Découvrir l'auteur

Résumé

Les fresques, pavages ou mosaïques des arts décoratifs sont composés de motifs géométriques et de symétries kaléidoscopiques qui forment un lien entre l'art et les mathématiques. Ce livre propose des clés pour comprendre les mécanismes internes des pavages et les construire sur ordinateur. Il détaille trois types de conception : surface plane, sphérique, géométrie non euclidienne hyperbolique.

Éditeur(s)
- Hermès science publications-Lavoisier
Date
- DL 2013
Notes
- Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (413 p.) : ill. ; 24 cm
Sujet(s)
- Pavage (mathématiques)
ISBN
- 978-2-7462-4503-7
Indice
- 513 Géométrie
Quatrième de couverture
- Des fresques de l'Antiquité romaine aux pavages de Durer et Kepler, des mosaïques de l'art arabo-persan aux pavages de Penrose, l'art décoratif est illuminé de motifs géométriques foisonnants. Soumis à des régularités lancinantes ou à des symétries kaléidoscopiques, ils forment un trait d'union privilégié entre l'art et les mathématiques.
  S'adressant aux enseignants et étudiants en mathématiques ou informatique comme aux amateurs d'art, Géométrie des pavages propose différentes clés permettant de mieux comprendre la beauté cachée des formes, mais également de devenir les artisans constructeurs des pavages sur ordinateur. Il détaille les trois types de conception géométrique (surface plane, sphérique ou géométrie non euclidienne hyperbolique) et les concepts théoriques qui les fondent. La compréhension des mécanismes internes de la fabrication des pavages permet ainsi d'accéder aux programmes de réalisation sur ordinateur, donnant accès à des visualisations instantanées et à un grand nombre de variations possibles.
Tables des matières
- - Géométrie des pavages
  - de la conception à la réalisation sur ordinateur
  - Pierre Audibert
  - hermes science
  - Lavoisier
  - Introduction13
  - Chapitre 1. Premiers pavages du plan 17
  - 1.1. Pavages à base d'un polygone régulier17
  - 1.2. Les cellules de Descartes20
  - 1.3. Pavage du plan par des quadrilatères identiques23
  - 1.3.1. La méthode23
  - 1.3.2. Programmes de construction du pavage24
  - 1.4. Pavages d'Archimède27
  - 1.4.1. Les huit types de pavages archimédiens27
  - 1.4.2. Programme de construction des pavages28
  - 1.5. Exercices32
  - 1.5.1. Autre construction du pavage archimédien 4-6-1232
  - 1.5.2. Construction progressive du pavage du plan par des quadrilatères identiques, comme le ferait un artisan34
  - 1.5.3. Pavage irrégulier37
  - 1.5.4. Pavage fractal, avec des briques semblables de plus en plus grandes38
  - Chapitre 2. Isométries dans le plan43
  - 2.1. Définition et propriétés43
  - 2.2. Quelques isométries classiques49
  - 2.3. Propriété fondamentale51
  - 2.3.1. Isométries ayant trois points fixes (au moins) non alignés52
  - 2.3.2. Isométries laissant deux points fixes, mais pas trois points non alignés53
  - 2.3.3. Isométries laissant un point fixe A et un seul53
  - 2.3.4. Isométries n'ayant aucun point invariant54
  - 2.4. Quelques exemples55
  - 2.4.1. Produit R T d'une rotation R de centre O et d'angle a (non nul) et d'une translation T de vecteur V (non nul)55
  - 2.4.2. Groupe des rotations-translations56
  - 2.4.3. Produit de deux réflexions glissées56
  - 2.4.4. Produit d'une réflexion S_D et d'une translation T_V57
  - 2.4.5. Produit d'une rotation R et d'une réflexion S58
  - 2.5. Ecriture des isométries dans un repère orthonormé58
  - 2.5.1. Translation de vecteur V(a, b)58
  - 2.5.2. Rotation R_I,a de centre I et d'angle a58
  - 2.5.3. Réflexion d'axe D59
  - 2.6. La notion d'isométrie conjuguée61
  - 2.7. Exercices61
  - 2.7.1. Commutateur dans un groupe61
  - 2.7.2. Produit de deux réflexions glissées d'axes perpendiculaires62
  - 2.7.3. Puissances successives d'une réflexion glissée62
  - 2.7.4. Produit d'une réflexion glissée G_{D, V} et d'une translation T_V' avec les vecteurs V et V' orthogonaux63
  - 2.7.5. Produit de trois réflexions dont les axes forment un triangle63
  - Chapitre 3. Symétries d'une figure : le kaléidoscope euclidien65
  - 3.1. Groupe de symétries d'une figure65
  - 3.2. Quelques exemples66
  - 3.2.1. Symétries d'un segment [AB] dans le plan66
  - 3.2.2. Symétries de la lettre H67
  - 3.2.3. Symétries d'une figure formée de deux droites parallèles67
  - 3.3. Groupe diédral D_n et groupe cyclique C_n (n (...) 2)68
  - 3.3.1. Symétries d'un polygone régulier68
  - 3.3.2. Générateurs de D_n70
  - 3.3.3. Effet kaléidoscopique71
  - 3.3.4. Cas particuliers71
  - 3.3.5. Propriété fondamentale72
  - 3.4. Le kaléidoscope euclidien74
  - 3.4.1. Première expérience74
  - 3.4.2. Les trois kaléidoscopes du plan77
  - 3.5. Pavages kaléidoscopiques79
  - 3.6. Exercices80
  - 3.6.1. Kaléidoscope avec des demi-triangles équilatéraux80
  - 3.6.2. Chaînage de triangles symétriques80
  - Chapitre 4. Les sept types de frises83
  - 4.1. Frises avec uniquement des translations85
  - 4.2. Frises avec translations et demi-tours86
  - 4.3. Frises avec translations et réflexions verticales87
  - 4.4. Frises avec translations et réflexions horizontales88
  - 4.5.Frises avec translations et réflexions glissées89
  - 4.6. Frises avec translations, réflexions horizontales et verticales89
  - 4.7. Frises avec translations, réflexions verticales et réflexions glissées91
  - 4.8. Exercices93
  - 4.8.1. Type d'un pavage93
  - 4.8.2. Construction d'une frise classique94
  - Chapitre 5. Les pavages périodiques du plan97
  - 5.1. Notion de pavage bipériodique97
  - 5.2. Le sous-groupe de translations98
  - 5.3. Contraintes liées au groupe des rotations100
  - 5.4. Les cinq types de réseaux possibles102
  - 5.5. Le miracle des pavages périodiques106
  - 5.6. Les dix-sept types de pavages et leur construction109
  - 5.6.1. Pavages dans le réseau parallélogramme109
  - 5.6.2. Pavages dans le réseau rectangulaire et le réseau rectangulaire centré110
  - 5.6.3. Pavages dans le réseau carré122
  - 5.6.4. Pavages dans le réseau hexagonal128
  - 5.7. Programme de construction d'un pavage136
  - 5.8. Exercices139
  - 5.8.1. Détermination du type d'un pavage139
  - 5.8.2. Type des pavages d'Archimède139
  - 5.8.3. Murs de briques140
  - 5.8.4. Chaînage de triangles se déduisant par demi-tours autour de leurs sommets140
  - 5.8.5. Kaléidoscope euclidien à base de triangles isocèles rectangles143
  - 5.9. Variations sur les pavages, avec des formes courbes144
  - 5.9.1. Le pavage p1144
  - 5.9.2. Le pavage p2145
  - 5.9.3. Le pavage p3145
  - 5.10. Pavages avec un type spécial d'hexagone147
  - 5.10.1. Application à des polyominos149
  - 5.10.2. Pavages à la Escher150
  - 5.11. Autres exemples151
  - 5.11.1. Pavage fractal151
  - 5.11.2. Pavages contenant des pentagones155
  - Chapitre 6. Pavages non périodiques163
  - 6.1. Pavage à partir d'un triangle particulier163
  - 6.1.1. Découpage du triangle en cinq163
  - 6.1.2. Programmation165
  - 6.2. Pavage par des équerres166
  - 6.2.1. Méthode récursive de substitution166
  - 6.2.2. Construction itérative par grossissements successifs171
  - 6.3. Considérations théoriques173
  - 6.3.1. Nombre d'équerres de chaque type173
  - 6.3.2. Notion de pavage hiérarchique174
  - 6.3.3. Pavage hiérarchique de façon unique175
  - 6.3.4. Propriété montrant qu'un pavage n'est pas périodique175
  - 6.4. Le pavage labyrinthe175
  - 6.4.1. Première tentative de substitution176
  - 6.4.2. Deuxième approche préservant les dimensions178
  - 6.5. Autres exemples181
  - 6.5.1. Généralisation du pavage « moulinet »181
  - 6.5.2. Autre méthode pour construire le pavage avec des équerres183
  - 6.5.3. Le pavage de Durer et ses variantes183
  - Chapitre 7. Pavages de Penrose et quasi-cristaux187
  - 7.1. Pentagone régulier et nombres d'or189
  - 7.2. Pavage à base de deux types de triangles190
  - 7.2.1. Méthode de substitution sur les deux types de triangles isocèles190
  - 7.2.2. Programmation193
  - 7.2.3. Variantes195
  - 7.3. Pavage à base de deux types de losanges196
  - 7.4. Propriété fondamentale du pavage de Penrose197
  - 7.5. Atlas des configurations et cellules de Descartes200
  - 7.6. Notion de quasi-cristal et diffraction205
  - 7.7. Autres pavages non périodiques207
  - 7.7.1. Pavage binaire207
  - 7.7.2. Pavage octogonal210
  - 7.8. Exercice : pavage régulier avec deux type de losanges216
  - 7.9. Un pavage quasi périodique presque octogonal218
  - 7.10. Annexe : transformée de Fourier et diffraction219
  - Chapitre 8. Pavages à base de losanges : la méthode de la multigrille225
  - 8.1. Première approche225
  - 8.2. La méthode de la multigrille228
  - 8.3. Programmation de la méthode de la mutligrille229
  - 8.3.1. Tracé de la multigrille229
  - 8.3.2. Points d'intersection et leur numérotation231
  - 8.3.3. Dessin du pavage associé aux droites233
  - 8.4. Quelques résultats235
  - 8.4.1. Pavages pour certaines valeurs de N235
  - 8.4.2. Variantes235
  - Chapitre 9. Géométrie sphérique et solides de Platon : le kaléidoscope sphérique239
  - 9.1. Méridiens et parallèles239
  - 9.2. Petite histoire de la trigonométrie sphérique242
  - 9.3. Propriétés de la géométrie sphérique245
  - 9.3.1. Le plus court chemin d'un point à un autre245
  - 9.3.2. Somme des angles d'un triangle247
  - 9.4. Les quatre kaléidoscopes sphériques247
  - 9.4.1. Les isométries de la sphère248
  - 9.4.2. Les quatre cas de kaléidoscope sphérique248
  - 9.4.3. Les cinq polyèdres réguliers de l'espace249
  - 9.4.4. Le kaléidoscope polyédral et sa projection sur la sphère252
  - 9.4.5. La réalisation des pavages253
  - 9.5. Programmes255
  - 9.5.1. Tracé des demi-cercles ou cercles méridiens255
  - 9.5.2. Tracé d'un grand cercle sur la sphère257
  - 9.5.3. Segment sphérique, plus court chemin entre deux points260
  - 9.5.4. Triangle sphérique266
  - 9.5.5. Les polyèdres réguliers et leurs facettes269
  - 9.6. Exemples complémentaires274
  - 9.6.1. Kaléidoscope décoré274
  - 9.6.2. Un pavage archimédien sur la sphère276
  - 9.6.3. Points repousseurs sur une sphère280
  - 9.7. Annexes281
  - 9.7.1. La formule du cosinus pour les triangles sphériques281
  - 9.7.2. Somme des angles dans un triangle sphérique : alpha + bêta + gamma = pi + aire(ABC)282
  - 9.7.3. La formule d'Euler sur les graphes planaires connectés283
  - Chapitre 10. L'inversion dans le plan285
  - 10.1. Notions de base préalables285
  - 10.1.1. Puissance d'un point par rapport à un cercle285
  - 10.1.2. Equation d'un cercle286
  - 10.1.3. Cercles orthogonaux287
  - 10.1.4. Ensemble des points M tels que MA/MB = cte288
  - 10.1.5. Faisceaux de cercles et axe radical289
  - 10.2. L'inversion comme transformation dans le plan296
  - 10.2.1. Définition d'une inversion296
  - 10.2.2. Comment construire l'inverse d'un point ?297
  - 10.2.3. Quelques propriétés de l'inversion299
  - 10.3. Inverse d'une droite301
  - 10.4. Inverse d'un cercle303
  - 10.4.1. Le cercle (de rayon non nul) passe par le centre d'inversion303
  - 10.4.2. Le cercle ne passe pas par le centre d'inversion304
  - 10.5. Propriétés de l'inversion305
  - 10.6. Transformation de surfaces306
  - 10.7. Inverse d'un faisceau de cercles308
  - 10.8. Pôles et polaires309
  - 10.8.1. Lien avec un faisceau de cercles310
  - 10.8.2. Equation de la polaire d'un point A intérieur au cercle d'inversion311
  - 10.8.3. Rayons d'un cercle et leurs inverses311
  - 10.9. Exemples312
  - 10.9.1. Courbure de l'espace plan312
  - 10.9.2. Ensembles limites et fractales par jeu d'inversions répétées313
  - Chapitre 11. Géométrie non euclidienne325
  - 11.1. Naissance de la géométrie non euclidienne325
  - 11.2. Le disque de Poincaré327
  - 11.3. La droite non euclidienne328
  - 11.3.1. Construction d'une ne-droite à partir de ses deux points limites A et B sur le cercle (C)329
  - 11.3.2. Propriété : par deux points A et B à l'intérieur du disque (D) passe une et une seule ne-droite331
  - 11.3.3. Autre méthode de construction332
  - 11.3.4. Construction du ne-segment [AB]333
  - 11.4. Droites parallèles et droites ultraparallèles334
  - 11.5. Le groupe des transformations non euclidiennes337
  - 11.5.1. Définition d'une réflexion non euclidienne337
  - 11.5.2. Groupe des transformations non euclidiennes338
  - 11.5.3. Notion d'angle non euclidien338
  - 11.5.4. Propriété des transformations non euclidiennes338
  - 11.6. Ecriture en complexes d'une transformation non euclidienne338
  - 11.6.1. Cas d'une réflexion ou d'une inversion339
  - 11.6.2. Produit de transformations339
  - 11.6.3. Les deux écritures en complexes d'une transformation non euclidienne341
  - 11.7. Exemples de transformations non euclidiennes343
  - 11.7.1. Ne-rotation343
  - 11.7.2. Ne-translation344
  - 11.8. Distance non euclidienne entre deux points344
  - 11.9. Triangles346
  - 11.9.1. Définition et propriété angulaire346
  - 11.9.2. Triangles isométriques347
  - 11.9.3. Programme de construction d'un triangle ABC et son remplissage348
  - 11.10. Points symétriques en géométrie non euclidienne351
  - 11.10.1. Notion de médiatrice d'un ne-segment351
  - 11.10.2. Détermination d'une ne-réflexion351
  - 11.11. Le kaléidoscope non euclidien353
  - 11.11.1. Kaléidoscope de triangles équilatéraux353
  - 11.11.2. Pavage kaléidoscopique par des triangles isocèles rectangles359
  - 11.11.3. Pavage par des triangles rectangles360
  - 11.11.4. Pavage par des triangles quelconques363
  - 11.12. Exercices366
  - 11.12.1. Formes entrelacées366
  - 11.12.2. Les parapluies de Vérone369
  - Chapitre 12. Pavages de surfaces finies371
  - 12.1. Pavages de rectangles M sur N par des dominos 2 sur 1371
  - 12.1.1. Pavages d'un rectangle de 2 sur n par des dominos371
  - 12.1.2. Pavages de rectangles 3 sur n par des dominos375
  - 12.1.3. Exercice : variantes de pavages sur des formes rectangulaires écornées, toujours de hauteur 3376
  - 12.1.4. Pavages de rectangles quelconques379
  - 12.2. Programmation des pavages de dominos dans un rectangle380
  - 12.2.1. Première méthode de programmation382
  - 12.2.2. Deuxième méthode de programmation384
  - 12.2.3. Autres exemples385
  - 12.3. Pavages d'un rectangle par des équerres391
  - 12.3.1. Indications sur le programme permettant d'avoir tous les pavages391
  - 12.3.2. Premiers résultats par dimensions croissantes du rectangle392
  - 12.3.3. Pavages d'un rectangle de 6 sur 4 avec ses cas primitifs393
  - 12.3.4. Pavages d'un rectangle de 6 sur 5 et ses solutions primitives394
  - 12.3.5. Pavages d'un carré de 6 sur 6 et ses solutions primitives395
  - 12.3.6. Pavages d'un rectangle de 7 sur 6396
  - 12.3.7. Quelques formules théoriques398
  - 12.4. Exercice : pavages avec des formes en T401
  - 12.5. Algorithme des liens dansants pour les cas plus complexes de pavages407
  - Bibliographie409
  - Index411
Origine de la notice:
- FR-751131015