Fondamentaux de mathématiques appliquées pour ingénieurs et techniciens

Auteur(s) :

Picamoles, Xavier Découvrir l'auteur

Résumé

Une présentation des mathématiques appliquées à l'ingénierie : filtrage, analyse de donnée, algorithmes, etc. ©Electre 2016

Éditeur(s)
- Ellipses
Date
- 2016
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (840 p.) ; 24 x 19 cm
Collections
- Références sciences
Sujet(s)
- Manuels d'enseignement supérieur
- Analyse numérique
ISBN
- 978-2-340-01310-0
Indice
- 519.8 Mathématiques appliquées, physique mathématique
Quatrième de couverture
- Fondamentaux de mathématiques appliquées pour ingénieurs et techniciens
  Explorant de manière originale et approfondie un grand nombre de notions habituellement disséminées dans la littérature parce qu'elles concernent des domaines souvent spécialisés (l'analyse numérique, les éléments finis, les transformations de Fourier, de Laplace, en Z et en ondelettes, le filtrage, le traitement des images, l'analyse des données multidimensionnelles, etc.), ce livre intéressera les élèves ingénieurs ou techniciens, les étudiants en sciences appliquées mais aussi les ingénieurs en activité ou les candidats à des concours de l'enseignement (CAPES et agrégation) qui souhaiteraient approfondir leurs connaissances et leur culture scientifique en mathématiques appliquées au métier de l'ingénieur.
  Avec une présentation aussi concrète que possible, appuyée par des références historiques, de nombreux exemples issus de domaines variés (thermique, mécanique, traitement du signal, analyse de données, etc.) sont traités et illustrés de graphiques, d'algorithmes ou d'explications sur la mise en oeuvre de logiciels dédiés (Scilab, Ansys, FreeFem++, Statbox).
  De manière générale, l'auteur a cherché à distinguer autant que possible les aspects théoriques des aspects pratiques pour permettre une double lecture : la première rapide et efficace devrait apporter une compréhension globale des notions et la seconde, plus approfondie, devrait satisfaire la curiosité du lecteur avant d'aborder des ouvrages plus techniques.
Tables des matières
- - Fondamentaux de mathématiques appliquées
  - pour ingénieurs et techniciens
  - Xaxier Picamoles
  - ellipses
  - I Généralités : problèmes différentiels et modélisation1
  - 1 Généralités sur les problèmes différentiels 3
  - 1 Quelques généralités sur les équations différentielles3
  - 1.1 Forme générale d'une équation différentielle ordinaire3
  - 1.2 Forme résolue d'une équation différentielle3
  - 1.3 Lien entre E.D.O. résolue d'ordre n ≥ 2 et E.D.O. résolue d'ordre 14
  - 1.4 Lien entre système différentiel d'ordre 1 et E.D.O. résolue d'ordre 15
  - 1.5 Problème de Cauchy et théorème de Cauchy-Lipschitz6
  - 2 Solveur numérique de Scilab7
  - 2.1 Solveur ode7
  - 2.2 Application 1 : un problème d'éolienne face au vent8
  - 2.3 Application 2 : équation de Van der Pol11
  - 2.4 Application 3 : système différentiel de Lokta-Volterra12
  - 3 Quelques généralités sur les E.D.P.14
  - 3.1 E.D.P du premier ordre14
  - 3.2 E.D.P. du second ordre16
  - 3.3 Conditions aux limites et conditions initiales18
  - 3.4 Problème bien posé au sens de Hadamard20
  - 2 Modélisation de quelques problèmes physiques conduisant à des E.D.P. 23
  - 1 L'équation de transport23
  - 1.1 Origine de l'équation23
  - 1.2 L'équation26
  - 1.3 Phénomène de transport de la solution le long des caractéristiques26
  - 1.4 Solution analytique en domaine non borné28
  - 1.5 Exemple de solution en domaine non borné28
  - 1.6 Solution analytique en domaine borné29
  - 2 L'équation de la chaleur30
  - 2.1 Origine de l'équation30
  - 2.2 L'équation33
  - 2.3 Solution analytique en domaine non borné34
  - 2.4 Solution analytique en domaine borné35
  - 2.5 Exemple de solution en domaine borné39
  - 3 L'équation des cordes vibrantes40
  - 3.1 Origine de l'équation40
  - 3.2 L'équation42
  - 3.3 Lien entre l'équation des ondes et l'équation de transport44
  - 3.4 Solution analytique en domaine non borné45
  - 3.5 Exemple de solution en domaine non borné48
  - 3.6 Solution analytique en domaine borné49
  - 3.7 Exemple de solution en domaine borné53
  - 4 Les équations de Laplace et de Poisson54
  - 4.1 Origine de l'équation de Laplace54
  - 4.2 Un exemple de problème conduisant à l'équation de Poisson55
  - 4.3 Les équations58
  - 4.4 Solution analytique de l'équation de Laplace sur le disque unité59
  - 4.5 Solution analytique de l'équation de Poisson sur le carré unité62
  - 5 L'équation des barres63
  - 5.1 Origine de l'équation63
  - 5.2 L'équation66
  - 6 L'équation des poutres en flexion pure et statique66
  - 6.1 Origine de l'équation66
  - 6.2 L'équation70
  - 3 Notions élémentaires liées à l'analyse numérique matricielle 71
  - 1 Quelques généralités sur les matrices71
  - 1.1 Notations71
  - 1.2 Matrices creuses, matrices « bandes »72
  - 1.3 Matrices symétriques et symétriques définies positives72
  - 2 Normes vectorielles et matricielles74
  - 2.1 Définition d'une norme75
  - 2.2 Normes vectorielles sur Rⁿ76
  - 2.3 Normes sur M_n,1(R)76
  - 2.4 Normes matricielles subordonnées77
  - 2.5 Norme subordonnée à la norme ||.||∞79
  - 2.6 Cas particulier des matrices symétriques82
  - 3 Méthode directe de résolution d'un système linéaire82
  - 3.1 Problématique82
  - 3.2 Conditionnement d'une matrice83
  - 3.3 Décomposition « LU » et de Cholesky86
  - 3.4 Factorisation de Cholesky88
  - 3.5 Résolution d'un système linéaire à matrice creuse avec Scilab88
  - II Méthode des différences finies et applications91
  - 4 Introduction à la méthode des différences finies pour quelques E.D.O. 93
  - 1 Introduction à la méthode des différences finies93
  - 1.1 Notations et vocabulaire93
  - 1.2 Formule de Taylor-Lagrange94
  - 2 Schéma numérique d'Euler95
  - 2.1 Approche par quotient aux différences finies95
  - 2.2 Approche par quadrature98
  - 3 Schéma numérique du point milieu100
  - 3.1 Approche par quotient aux différences finies100
  - 3.2 Approche par quadrature102
  - 3.3 Les formules de Runge-Kutta103
  - 4 Deux variantes du schéma d'Euler104
  - 4.1 Un schéma numérique implicite à un pas104
  - 4.2 Un schéma numérique explicite à deux pas106
  - 5 Aspects théoriques pour les schémas explicites à un pas107
  - 5.1 Objectifs107
  - 5.2 Définition d'un schéma numérique explicite à un pas108
  - 5.3 Erreur de consistance109
  - 5.4 Précision ou ordre d'un schéma111
  - 5.5 Consistance114
  - 5.6 Une condition suffisante de consistance114
  - 5.7 Stabilité117
  - 5.8 Convergence119
  - 5.9 Lien entre consistance, stabilité et convergence119
  - 6 Application : un problème d'éolienne face au vent121
  - 6.1 Rappel du problème121
  - 6.2 Schémas numériques121
  - 6.3 Algorithmes122
  - 6.4 Simulations numériques dans le cas d'un vent constant123
  - 6.5 Simulations numériques dans le cas d'une rafale de vent128
  - 5 Introduction à la méthode des différences finies pour quelques E.D.P. 129
  - 1 Introduction129
  - 1.1 Objectifs129
  - 1.2 Discrétisation du domaine : le maillage130
  - 1.3 Discrétisation des dérivées partielles : quotients aux différences finies131
  - 2 Différences finies pour l'équation de transport135
  - 2.1 Le problème135
  - 2.2 Maillage du domaine136
  - 2.3 Schéma numérique décentré à droite en espace136
  - 2.4 Schéma décentré à gauche en espace140
  - 2.5 Diffusion numérique pour le schéma décentré à gauche145
  - 2.6 Schéma numérique de Lax-Wendroff148
  - 2.7 Comportement des schémas avec une condition initiale non continue152
  - 3 Différences finies pour l'équation de la chaleur152
  - 3.1 Le problème152
  - 3.2 Le maillage du domaine153
  - 3.3 Construction d'un schéma numérique explicite154
  - 3.4 Simulations numériques pour le schéma explicite158
  - 3.5 Schéma numérique implicite160
  - 3.6 Schéma semi implicite de Crank-Nicolson163
  - 3.7 Schéma saute-mouton165
  - 4 Différences finies pour l'équation des cordes vibrantes166
  - 4.1 Le problème166
  - 4.2 Le maillage du domaine166
  - 4.3 Construction d'un schéma numérique explicite166
  - 4.4 Autre approche de construction d'un schéma numérique168
  - 5 La méthode de Newmark169
  - 5.1 Les problèmes concernés169
  - 5.2 Principe de la méthode de Newmark169
  - 5.3 Schéma implicite de Newmark classique171
  - 5.4 Propriétés du schéma171
  - 6 Aspects théoriques171
  - 6.1 Forme générale d'un schéma numérique à un pas171
  - 6.2 Consistance, stabilité, convergence173
  - 6.3 Lien entre stabilité, consistance et convergence : théorème de Lax176
  - 7 Étude théorique des schémas pour l'équation de transport177
  - 7.1 Schéma de Lax-Wendroff177
  - 7.2 Schéma explicite décentré à gauche183
  - 8 Étude théorique des schémas pour l'équation de la chaleur184
  - 8.1 Le schéma explicite185
  - 8.2 Le schéma implicite190
  - 8.3 Le schéma de Crank-Nicolson192
  - III Méthode des éléments finis et applications195
  - 6 Introduction à la méthode des éléments finis : aspects théoriques 197
  - 1 Introduction197
  - 1.1 Historique197
  - 1.2 Notations198
  - 2 Introduction à la formulation faible pour un problème elliptique199
  - 2.1 Exemple d'une barre en traction-compression199
  - 2.2 Exemple d'une poutre en flexion pure203
  - 2.3 Exemple d'une membrane en tension206
  - 3 Existence et unicité d'une solution faible208
  - 3.1 Le théorème de Lax-Milgram208
  - 3.2 Problème de la barre209
  - 3.3 Problème de la poutre216
  - 3.4 Problème de la membrane217
  - 4 Méthode de Galerkine : formulation faible et discrétisation219
  - 4.1 Méthode de Galerkine219
  - 4.2 Discrétisation du problème faible219
  - 4.3 Convergence de la méthode de Galerkine221
  - 4.4 Espaces d'approximation223
  - 4.5 Interpolation de Lagrange et de Hermite224
  - 4.6 Le problème de l'intégration numérique225
  - 4.7 Quelques mots à propos du maillage226
  - 5 Étude de l'erreur227
  - 5.1 Lemme de Céa228
  - 5.2 Ordre de convergence dans le cas d'intégration exacte229
  - 5.3 Ordre de convergence dans le cas d'intégration numérique229
  - 6 Exemple : résolution du problème de la barre (interpolation de degré 1)230
  - 6.1 Rappel du problème230
  - 6.2 Espaces d'approximation230
  - 6.3 Forme discrétisée de la formulation faible234
  - 6.4 Résolution du problème discrétisé236
  - 6.5 Lien avec la méthode des différences finies236
  - 6.6 Algorithme et application numérique237
  - 7 Exemple : résolution du problème de la barre (interpolation de degré 2)239
  - 7.1 Espaces d'approximation239
  - 7.2 Forme discrétisée de la formulation faible242
  - 7.3 Algorithme et application numérique244
  - 8 Exemple : résolution du problème de la poutre (interpolation de degré 3)246
  - 8.1 Rappel du problème246
  - 8.2 Espaces d'approximation246
  - 8.3 Forme discrétisée de la formulation faible249
  - 7 La méthode des éléments finis : aspects pratiques 251
  - 1 Stratégie locale de discrétisation et éléments finis251
  - 1.1 Définition d'un élément fini et exemples251
  - 1.2 Relations élémentaires254
  - 1.3 Assemblage des relations élémentaires255
  - 1.4 Prise en compte des conditions aux limites essentielles255
  - 2 Description de quelques éléments finis256
  - 2.1 Éléments finis P₁ de Lagrange (1D)256
  - 2.2 Éléments finis P₂ de Lagrange (1D)257
  - 2.3 Éléments finis P₃ de Hermite (1D)261
  - 2.4 Élément fini T₃ de Lagrange (2D)264
  - 2.5 Éléments finis Q₄ de Lagrange (2D)266
  - 2.6 Notion d'isoparamétrie267
  - 3 Exemple d'utilisation d'éléments finis P₁ de Lagrange : problème de la barre269
  - 3.1 Construction des éléments finis270
  - 3.2 Calcul des relations élémentaires273
  - 3.3 Assemblage des relations élémentaires276
  - 3.4 Ce qu'il faut retenir des relations élémentaires280
  - 3.5 Prise en compte des conditions aux limites et résolution280
  - 3.6 Interpolation de la solution approchée281
  - 4 Exemple d'utilisation d'éléments finis P₂ de Lagrange : problème de la barre281
  - 4.1 Construction des éléments finis282
  - 4.2 Calcul des relations élémentaires283
  - 4.3 Assemblage des relations élémentaires286
  - 4.4 Prise en compte des conditions aux limites et résolution287
  - 5 Exemple d'utilisation d'éléments finis P₃ de Hermite : problème de la poutre288
  - 6 Exemple d'utilisation d'éléments finis T₃ de Lagrange : problème de la membrane288
  - 6.1 Simplification du modèle et construction des éléments288
  - 6.2 Calcul des relations élémentaires290
  - 6.3 Assemblage des relations élémentaires294
  - 6.4 Prise en compte des conditions aux limites et résolution296
  - 8 Quelques applications de la méthode des éléments finis 297
  - 1 Éléments finis « barre » et application aux treillis plans297
  - 1.1 Description d'une barre en mécanique297
  - 1.2 Forme discrétisée298
  - 1.3 Modélisation éléments finis d'une barre300
  - 1.4 Exemple d'une barre soumise à son poids propre305
  - 1.5 Élément « barre » en deux dimensions309
  - 1.6 Application aux treillis plans313
  - 1.7 Exemple d'application à un problème de thermique318
  - 2 Éléments finis « poutre », application aux portiques plans321
  - 2.1 Description d'une poutre en flexion pure321
  - 2.2 Forme discrétisée322
  - 2.3 Modélisation éléments finis d'une poutre324
  - 2.4 Exemples329
  - 2.5 Prise en compte de la traction compression dans le modèle337
  - 2.6 Application aux portiques plans340
  - 2.7 Élément « poutre » de Timoshenko344
  - 3 Éléments de généralisation en dimensions 2 et 3346
  - 3.1 Généralités346
  - 3.2 L'exemple simple des contraintes planes en dimension deux348
  - 9 Méthode des éléments finis appliquée aux problèmes dynamiques 351
  - 1 La méthode des éléments finis en dynamique351
  - 1.1 Généralités351
  - 1.2 Discrétisation partielle en espace352
  - 1.3 Exemple de l'équation de la chaleur353
  - 2 Exemple d'étude des vibrations libres d'un système non amorti355
  - 2.1 Généralités : réponse harmonique et pulsations propres355
  - 2.2 Exemple d'une barre357
  - 10 Aspects pratiques liés à la mise en oeuvre de la méthode 359
  - 1 Motivations359
  - 2 Différents types d'éléments de structure et de thermique360
  - 2.1 Éléments linéiques360
  - 2.2 Éléments surfaciques361
  - 2.3 Éléments volumiques363
  - 3 Simplifications de modèle364
  - 3.1 Motivations364
  - 3.2 Symétrie plane365
  - 3.3 Symétries de révolution : axisymétrie366
  - 3.4 Hypothèse des contraintes planes366
  - 3.5 Hypothèse des déformations planes367
  - 3.6 Deux exemples de simplification de modèles en thermique368
  - 4 Un exemple de modélisations multiples369
  - 4.1 Modélisation 3D370
  - 4.2 Modélisation 2D371
  - 4.3 Modélisation 1D373
  - 4.4 Commentaires373
  - 5 Exemple d'utilisation d'un logiciel libre374
  - 5.1 Le logiciel FreeFem++374
  - 5.2 Un exemple d'utilisation374
  - 11 Formulaire éléments finis 377
  - 1 Formulation faible abstraite et exemples377
  - 2 Éléments finis378
  - 3 Bases nodales sur [0, L]379
  - 4 Matrices de rigidité élémentaires380
  - IV Traitement du signal et applications383
  - 12 Les distributions 385
  - 1 Introduction et historique385
  - 2 Insuffisance de la notion de fonction386
  - 3 Définition d'une distribution et premiers exemples389
  - 3.1 Définition389
  - 3.2 Premiers exemples391
  - 4 Distributions régulières et singulières393
  - 4.1 Distributions régulières393
  - 4.2 Exemples de distributions régulières395
  - 4.3 Distributions singulières396
  - 5 Opérations sur les distributions397
  - 5.1 Mise au point sur les notations397
  - 5.2 Opérations élémentaires397
  - 5.3 Égalité de deux distributions398
  - 5.4 Support d'une distribution399
  - 5.5 Distributions périodiques400
  - 5.6 Produit d'une distribution par une fonction401
  - 5.7 Dérivée d'une distribution402
  - 5.8 Propriétés de la dérivation406
  - 5.9 Valeur principale de 1/x410
  - 5.10 Partie finie de 1/x412
  - 6 Convergence des suites de distributions413
  - 6.1 Convergence en norme L¹, en norme L²413
  - 6.2 Convergence faible d'une suite de fonctions413
  - 6.3 Lien entre convergence en norme et convergence faible413
  - 6.4 Convergence d'une suite de distributions414
  - 6.5 Approximation de l'impulsion de Dirac414
  - 7 Généralisation en dimension deux et trois415
  - 8 Distributions tempérées415
  - 8.1 Définition416
  - 8.2 Exemples de distributions tempérées417
  - 9 Convolution des distributions421
  - 9.1 Extension du produit de convolution aux distributions421
  - 9.2 Deux conditions suffisantes d'existence423
  - 9.3 Propriétés élémentaires424
  - 9.4 Le rôle fondamental de la distribution de Dirac424
  - 10 Algèbre de convolution426
  - 10.1 Introduction426
  - 10.2 Inverse de convolution426
  - 10.3 Algèbre de convolution426
  - 10.4 Solution élémentaire427
  - 10.5 Deux exemples simples428
  - 13 Les transformations de Fourier 431
  - 1 Origine des transformations de Fourier à temps continu et discret431
  - 2 Transformation de Fourier à temps continu433
  - 2.1 Transformée et transformation de Fourier433
  - 2.2 Une condition suffisante d'existence433
  - 2.3 Transformation de Fourier sur S(R)433
  - 2.4 Transformation sur L² (R)434
  - 2.5 Exemples de transformées de Fourier435
  - 2.6 Transformation de Fourier inverse437
  - 3 Principales propriétés de la transformation de Fourier438
  - 3.1 Linéarité et continuité438
  - 3.2 Formules de translation « en t » et « en q »438
  - 3.3 Formule de « dilatation »438
  - 3.4 Formule de dérivation « en t », « en q » et régularité de ŝ438
  - 3.5 Régularité de ŝ440
  - 3.6 Limite en - ∞ et + ∞441
  - 3.7 Formule d'échange442
  - 3.8 Convolution dans S(R)442
  - 3.9 Spectre d'amplitude, spectre de phase443
  - 3.10 Énergie d'un signal443
  - 4 Transformation de Fourier des distributions tempérées444
  - 4.1 Prolongement de la transformation à S'(R)444
  - 4.2 Transformation de Fourier inverse445
  - 4.3 Formules de dérivation et de « retard »445
  - 4.4 Convolution447
  - 4.5 Transformée de Fourier d'une distribution à support compact447
  - 4.6 Exemples de transformées de Fourier au sens des distributions447
  - 5 Transformation de Fourier à temps discret450
  - 5.1 Définition450
  - 5.2 Condition suffisante d'existence451
  - 5.3 Propriétés élémentaires451
  - 5.4 Inversion de la transformation de Fourier à temps discret451
  - 6 Transformation de Fourier discrète452
  - 6.1 Définition452
  - 6.2 Transformation inverse452
  - 7 Inconvénients de la transformation de Fourier454
  - 8 Principe d'incertitude455
  - 14 Développement en série de Fourier 459
  - 1 Origine et importance des séries de Fourier459
  - 2 Développement en série de Fourier des fonctions périodiques460
  - 2.1 Forme exponentielle du développement460
  - 2.2 Conditions suffisantes d'existence460
  - 2.3 Lien avec la transformation de Fourier462
  - 2.4 Forme trigonométrique et forme polaire du développement463
  - 2.5 Puissance et énergie d'un signal périodique, formule de Parseval464
  - 2.6 Spectre d'amplitude, spectre de phase465
  - 2.7 Principales propriétés des coefficients de Fourier467
  - 2.8 Exemples de développements en séries de Fourier469
  - 2.9 Développement en série de Fourier d'une fonction non périodique mais à support borné471
  - 3 Développement en série de Fourier des fonctions périodiques d'énergie finie475
  - 3.1 Aspects « géométriques »475
  - 3.2 Théorème de projection478
  - 3.3 Interprétation des coefficients et des sommes partielles de Fourier480
  - 3.4 Convergence des sommes partielles en norme quadratique481
  - 4 Développement en série de Fourier des distributions tempérées483
  - 4.1 Un résultat général483
  - 4.2 Application : développement en série de Fourier du peigne de Dirac484
  - 15 Les transformations de Laplace et en Z 485
  - 1 Origine des transformations de Laplace et en Z485
  - 2 Transformation de Laplace des fonctions486
  - 2.1 Transformée et transformation de Laplace486
  - 2.2 Lien avec la transformation de Fourier487
  - 2.3 Quelques conditions suffisantes d'existence487
  - 2.4 Ensemble des « originaux »488
  - 2.5 Exemples de transformées de Laplace489
  - 2.6 Transformation de Laplace inverse490
  - 2.7 Détermination pratique d'un inverse491
  - 2.8 Principales propriétés de la transformation de Laplace492
  - 3 Transformation de Laplace des distributions496
  - 3.1 Définition496
  - 3.2 Exemples de transformées au sens des distributions498
  - 3.3 Quelques propriétés500
  - 4 Quelques applications de la transformation de Laplace501
  - 4.1 Résolution d'un problème de Cauchy501
  - 4.2 Système linéaire « entrée-sortie » et fonction de transfert502
  - 4.3 Calcul symbolique503
  - 5 Transformation en Z504
  - 5.1 Transformée et transformation en Z504
  - 5.2 Quelques conditions suffisantes d'existence505
  - 5.3 Ensemble des « originaux »506
  - 5.4 Exemples de transformées en Z507
  - 5.5 Transformation en Z inverse509
  - 5.6 Détermination pratique d'un inverse510
  - 5.7 Quelques propriétés de la transformation en Z511
  - 6 Application à la résolution d'une équation aux différences513
  - 16 Notions de filtrage linéaire 515
  - 1 Signaux analogiques, numériques, causais516
  - 1.1 Signaux analogiques et numériques516
  - 1.2 Échantillonnage et quantification516
  - 1.3 Chaîne d'acquisition de données numériques517
  - 1.4 Causalité et signaux causais517
  - 2 Filtrage linéaire518
  - 2.1 Action d'un filtre sur un signal518
  - 2.2 Réponse indicielle et impulsionnelle520
  - 2.3 Filtres analogiques et numériques521
  - 2.4 Modélisation mathématique d'un filtre521
  - 3 Caractérisation des filtres linéaires invariants522
  - 3.1 Relation « entrée-sortie » en termes d'équation différentielle ou d'équation aux différences finies522
  - 3.2 Relation « entrée-sortie » en termes de réponse impulsionnelle et de convolution523
  - 3.3 Fonction de transfert524
  - 4 Filtres causais, stables, réalisables527
  - 4.1 Filtre stable527
  - 4.2 Filtre causal527
  - 4.3 Filtre réalisable527
  - 5 Classification des filtres numériques527
  - 5.1 Filtres numériques à réponse impulsionnelle finie528
  - 5.2 Filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie528
  - 6 Réponse en fréquence, gain et phase d'un filtre529
  - 6.1 Filtres analogiques529
  - 6.2 Filtres numériques530
  - 7 Exemple d'étude de quelques filtres simples531
  - 7.1 Un filtre numérique non récursif (à réponse impulsionnelle finie)531
  - 7.2 Un filtre numérique récursif (à réponse impulsionnelle infinie)534
  - 7.3 Un filtre analogique537
  - 17 Analyse spectrale des signaux et calcul approché du spectre 541
  - 1 Spectre d'un signal analogique non périodique541
  - 2 Spectre d'un signal analogique et périodique541
  - 2.1 Spectre et spectre d'amplitude541
  - 2.2 Lien avec les séries de Fourier543
  - 2.3 Généralisation544
  - 3 Spectre d'un signal numérique non périodique544
  - 4 Spectre d'un signal numérique et périodique545
  - 5 Spectre d'un signal analogique échantillonné : formule de Poisson546
  - 5.1 Échantillonnage d'un signal analogique546
  - 5.2 Formule de Poisson547
  - 5.3 Spectre d'amplitude d'un signal échantillonné548
  - 6 Recouvrement de spectre et fréquence critique d'échantillonnage548
  - 6.1 Fréquence critique d'échantillonnage548
  - 6.2 Conséquence néfaste du recouvrement de spectre549
  - 6.3 Exemple d'un signal cosinusoïdal amorti549
  - 7 Reconstruction d'un signal analogique échantillonné : théorème de Shannon550
  - 8 Spectre d'un signal « fenêtré »551
  - 8.1 Conséquence du fenêtrage pour un signal quelconque551
  - 8.2 Conséquence du fenêtrage pour un signal périodique552
  - 8.3 Exemple d'un signal analogique périodique553
  - 8.4 Exemple d'un signal analogique non périodique554
  - 9 Calcul approché du spectre555
  - 9.1 Problématique555
  - 9.2 Algorithme de transformation de Fourier rapide (fft)556
  - 9.3 Mise en oeuvre pratique avec Scilab557
  - 9.4 Cas d'un signal analogique périodique557
  - 9.5 Cas d'un signal analogique non périodique561
  - 9.6 Gestion du domaine fréquentiel exploré et de la résolution fréquentielle562
  - 9.7 Exemples et mise en oeuvre pratique563
  - 18 Formulaire de traitement du signal 571
  - 1 Convolution et distributions571
  - 2 Transformations de Fourier573
  - 3 Développement en série de Fourier574
  - 4 Formules de Parseval574
  - 5 Transformation de Laplace575
  - 6 Transformation en Z576
  - 7 Analyse spectrale577
  - 19 Delà transformation de Fourier aux transformations en ondelettes 579
  - 1 Introduction579
  - 2 La transformation à fenêtre glissante et la transformation de Gabor580
  - 2.1 La transformation de Fourier à fenêtre glissante580
  - 2.2 La transformation de Gabor582
  - 3 La transformation en ondelettes continue585
  - 3.1 Une adaptation de la transformation de Gabor585
  - 3.2 Transformation en ondelettes continue et formule d'analyse589
  - 3.3 Formules de reconstruction ou de synthèse590
  - 3.4 Exemple : l'ondelette de Haar590
  - 20 Transformations en ondelettes discrètes 593
  - 1 Des transformations en ondelettes continues aux transformations discrètes593
  - 2 Exemple de l'ondelette de Haar595
  - 2.1 L'ondelette de Haar dans un cas particulier595
  - 2.2 Décomposition en ondelettes de Haar598
  - 2.3 Relations à deux échelles599
  - 2.4 Interprétation en termes de filtres602
  - 2.5 Mise en oeuvre pratique de la décomposition603
  - 2.6 Interprétation matricielle de la transformation606
  - 3 Analyse multi-résolution et ondelettes orthogonales610
  - 3.1 Analyse multi-résolution de L²610
  - 3.2 Espaces d'approximation et fonction d'échelle610
  - 3.3 Ondelette orthogonale et espaces de détail610
  - 3.4 Décomposition en ondelettes611
  - 3.5 Interprétation géométrique612
  - 3.6 Relations à deux échelles612
  - 4 Décomposition et reconstruction d'un signal613
  - 4.1 Décomposition d'un signal613
  - 4.2 Reconstruction d'un signal615
  - 4.3 Interprétation en termes de filtres615
  - 5 Ondelettes orthogonales618
  - 5.1 Un choix pléthorique618
  - 5.2 Quelques critères caractérisant une ondelette618
  - 5.3 Deux grandes familles d'ondelettes618
  - 6 Ondelettes biorthogonales621
  - 7 Algorithme pyramidal et mise en oeuvre pratique622
  - 7.1 Généralités et illustration622
  - 7.2 Le problème du calcul sur des suites finies623
  - 8 Mise en oeuvre pratique avec Scilab624
  - 8.1 Les fonctions wavedec et waverec624
  - 8.2 Les fonctions dwt et idwt626
  - 9 Applications627
  - 9.1 Panorama de quelques applications627
  - 9.2 Les évolutions des ondelettes628
  - 9.3 Application au « débruitage » d'un signal mono-dimensionnel629
  - 9.4 Application à la détection de singularités631
  - 9.5 Application à la compression de données632
  - 21 Notions de traitement élémentaire des images 635
  - 1 Généralités sur les images635
  - 1.1 Description mathématique des images635
  - 1.2 Utilisation du logiciel Scilab pour manipuler des images635
  - 2 Transformation en ondelettes d'une image637
  - 2.1 Adaptation aux image637
  - 2.2 Interprétation matricielle pour l'ondelette de Haar639
  - 3 Utilisation du logiciel Scilab641
  - 3.1 Décomposition en ondelettes sur un niveau puis reconstruction642
  - 3.2 Décomposition en ondelettes multi-niveaux puis reconstruction644
  - 4 Application à la compression des images648
  - 4.1 Principe de la compression par seuillage648
  - 4.2 Exemple de mise en oeuvre de compression par seuillage648
  - 4.3 Comparaison de plusieurs ondelettes649
  - 5 Quelques transformations élémentaires d'images650
  - 5.1 Détection des contours : approche « gradient »650
  - 5.2 Détection des contours : approche alternative654
  - 5.3 Détection des contours : filtres de Sobel ou Prewitt654
  - 5.4 Suppression du bruit par moyenne locale655
  - V Analyse de données : régression linéaire et méthodes factorielles659
  - 22 Introduction 661
  - 23 Régression linéaire 663
  - 1 Régression linéaire simple663
  - 1.1 Notations et objectifs663
  - 1.2 La méthode des moindres carrés666
  - 1.3 Qualité de la régression668
  - 1.4 Interprétation673
  - 1.5 Aspects probabilistes du modèle de la régression linéaire simple676
  - 2 Régression linéaire multiple677
  - 2.1 Notations et objectifs677
  - 2.2 Coefficient de détermination ajusté682
  - 2.3 Exemple d'interprétation684
  - 24 A.C.P. : aspects théoriques 687
  - 1 Approche intuitive de l'A.C.P. : objectifs et intérêt687
  - 2 Notations et conventions692
  - 2.1 Notations liées à l'A.C.P.692
  - 2.2 Notations liées aux calculs de statistique élémentaire692
  - 2.3 Inertie d'un nuage de points693
  - 2.4 Choix d'une origine : centrage des données694
  - 2.5 Le problème des unités : réduction des données695
  - 2.6 A.C.P. normée et matrice des corrélations696
  - 3 Projections du nuage des individus698
  - 3.1 Inertie totale du nuage des individus 698
  - 3.2 Inertie selon un axe du nuage des individus699
  - 3.3 Inertie du nuage des individus par rapport à un plan702
  - 3.4 Axes et plans factoriels ou principaux702
  - 3.5 Inertie expliquée par rapport à un axe ou un plan703
  - 3.6 Contribution des axes à l'inertie703
  - 3.7 Projections du nuage des individus703
  - 3.8 Qualités de représentation des projections704
  - 3.9 Contributions d'un individu à la formation d'un axe factoriel707
  - 4 Projections du nuage des variables709
  - 4.1 Distance entre variables709
  - 4.2 Conséquence de la réduction sur les variables710
  - 4.3 Lien entre la proximité géométrique et la corrélation710
  - 4.4 Projections du nuage des variables711
  - 4.5 Définition des composantes principales712
  - 25 Analyse en composantes principales 713
  - 1 Conseils généraux pour l'interprétation713
  - 1.1 Nombres de plans factoriels à étudier713
  - 1.2 Les variables et l'effet taille714
  - 1.3 Les individus715
  - 1.4 Individus et variables supplémentaires717
  - 2 Étude d'un exemple717
  - 2.1 Les données717
  - 2.2 Les valeurs propres et le choix du nombre d'axe factoriel718
  - 2.3 Études des variables et des composantes principales720
  - 2.4 Étude des individus723
  - 26 Analyse factorielle des correspondances 727
  - 1 Introduction727
  - 1.1 Les données et le champ d'application727
  - 1.2 Le test d'indépendance728
  - 2 Aspects théoriques731
  - 2.1 La transformation des données732
  - 2.2 Interprétation géométrique et métrique utilisée732
  - 2.3 Le rôle de l'A.C.P.734
  - 3 Aspects pratiques : aide à l'interprétation735
  - 3.1 Généralités735
  - 3.2 Les représentations graphiques736
  - 3.3 Les valeurs propres737
  - 3.4 Les contributions et les cos²737
  - 3.5 Interprétation des proximités738
  - 4 Exemple739
  - 4.1 Les données et le contexte739
  - 4.2 Le test d'indépendance740
  - 4.3 Les valeurs propres et le nombre d'axes factoriels741
  - 4.4 Les qualités de représentation et les contributions relatives741
  - 4.5 Les représentations graphiques741
  - 27 Analyse des correspondances multiples 745
  - 1 Introduction, les données et le champ d'application745
  - 2 Quelques aspects théoriques746
  - 2.1 La transformation des données746
  - 2.2 Le rôle de l'analyse factorielle des correspondances748
  - 3 Aspects pratiques : aide à l'interprétation748
  - 3.1 Généralités748
  - 3.2 Inertie du nuage des points colonnes (les modalités) 748
  - 3.3 Les valeurs propres749
  - 3.4 Représentations simultanées des modalités et des individus749
  - 4 Exemple750
  - 4.1 Les données et le contexte750
  - 4.2 Les valeurs propres et le nombre d'axes factoriels750
  - 4.3 Les qualités de représentation et les contributions relatives751
  - 4.4 Étude du premier plan factoriel753
  - VI Annexes et bibliographie759
  - A Notions de calcul différentiel761
  - 1 Notions de calcul différentiel pour les champs scalaires761
  - 1.1 Champ scalaire761
  - 1.2 Développement limité à l'ordre 1762
  - 1.3 Dérivées partielles premières764
  - 1.4 Fonctions de classe C¹765
  - 1.5 Dérivées partielles secondes765
  - 1.6 Fonctions de classe C²766
  - 1.7 Théorème de Schwarz766
  - 1.8 Plan tangent766
  - 1.9 Gradient d'un champ scalaire766
  - 2 Divergence et rotationnel d'un champ vectoriel770
  - 2.1 Champ vectoriel770
  - 2.2 Divergence d'un champ de vecteurs770
  - 2.3 Rotationnel d'un champ vectoriel770
  - 3 Normale à un domaine et dérivée normale771
  - 4 Théorème de Green-Ostrogradski ou formule de la divergence772
  - 5 Opérateurs différentiels773
  - 6 Une formule d'intégration issue de la formule de la divergence774
  - B Espaces fonctionnels775
  - 1 Espace de fonctions à décroissance rapide, à croissance lente775
  - 1.1 Espace de fonctions à décroissance rapide775
  - 1.2 Espaces de fonctions à croissance lente776
  - 2 Espaces de fonctions régulières au sens classique776
  - 2.1 Espaces de classe Cⁿ et C^∞776
  - 2.2 Inclusions entre les espaces776
  - 2.3 Espace des fonctions test D et espace de Schwartz S776
  - 2.4 Espace des fonctions test D777
  - 2.5 Espace de Schwartz S777
  - 3 Espaces de fonctions a priori sans régularité778
  - 3.1 Introduction778
  - 3.2 Fonctions intégrables, localement intégrables et de carré intégrable779
  - 3.3 Fonctions égales presque partout779
  - 3.4 Espaces de Lebesgue780
  - 3.5 Exemple de fonctions de L¹, L¹_loc et L²781
  - 3.6 Lien entre les éléments des espaces L¹ (R) et L² (R)781
  - 4 Espaces de fonctions régulières au sens faible782
  - 4.1 Dérivation au sens faible782
  - 4.2 Digression historique783
  - 4.3 Espaces de Sobolev783
  - C Espaces euclidiens787
  - 1 Produit scalaire788
  - 1.1 Définition788
  - 1.2 Produits scalaires canoniques sur Rⁿ, M^n,1(R)788
  - 1.3 Autres produits scalaires sur Rⁿ, M^n,1(R)789
  - 2 Norme euclidienne789
  - 3 Distances790
  - 4 Angle orienté entre deux vecteurs non nuls791
  - 5 Projection sur une droite vectorielle791
  - D Structure hilbertienne793
  - 1 Espace vectoriel de Hilbert793
  - 1.1 Complétude793
  - 1.2 Définition d'un espace de Hilbert794
  - 1.3 Base hilbertienne794
  - 2 Espaces de Hilbert utiles794
  - 3 Espaces de Lebesgue et fonctions égales presque partout796
  - E Convolution797
  - 1 Convolution des suites797
  - 1.1 Définition797
  - 1.2 Propriétés élémentaires797
  - 1.3 Quelques conditions d'existence798
  - 1.4 Expression du produit de deux séries numériques798
  - 2 Convolution des fonctions798
  - 2.1 Définition798
  - 2.2 Exemple799
  - 2.3 Propriétés élémentaires800
  - 2.4 Quelques conditions suffisantes d'existence801
  - 2.5 Expression du produit de deux intégrales802
  - F Principe des travaux virtuels803
  - G Formule d'inversion pour la transformation de Fourier805
  - Bibliographie809
  - Index812
Origine de la notice:
- Electre