Séries de Fourier et ondelettes

Auteur(s) :

Kahane, Jean-Pierre (1926-2017) Découvrir l'auteur

Résumé

La première partie, historique, est suivie d'un véritable traité de la théorie moderne des ondelettes, développée à partir de 1982, et qui a permis d'adapter à l'analyse des signaux transitoires les idées de Fourier, offrant ainsi de nouveaux champs d'application en physique théorique, dans l'analyse d'images et dans les télécommunications. ©Electre 2016

Autre(s) auteur(s)
- Lemarié-Rieusset, Pierre Gilles (1960-....)
Éditeur(s)
- Cassini
Date
- 2016
Notes
- Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (592 p.) ; 24 x 16 cm
Collections
- Nouvelle bibliothèque mathématique
Sujet(s)
- Ondelettes
- Fourier, Séries de
ISBN
- 978-2-84225-161-1
Indice
- 517.8 Calcul symbolique, transformations de Laplace et de Fourier, distributions, analyse fonctionnelle
Quatrième de couverture
- Ce livre part de l'équation de la chaleur de Joseph Fourier (1807) pour aboutir à la très récente théorie des ondelettes. Dans la première partie, rédigée par Jean-Pierre Kahane, on voit défiler Fourier, Dirichlet, Riemann : Cantor, Lebesgue, et se développer des notions fondamentales de l'analyse, à commencer par la notion moderne de fonction, à l'occasion de l'étude des séries de Fourier. Dans la seconde, rédigée par Pierre Gilles Lemarié-Rieusset, un bref exposé historique conduit à un véritable traité de la théorie moderne des ondelettes, l'outil le plus récent de l'analyse harmonique.
  La première partie, sans s'interdire l'actualité, a un caractère historique, et fait une grande place à des extraits d'oeuvres marquantes. La seconde partie, dont le contenu intéresse les physiciens et les ingénieurs autant que les mathématiciens, peut être lue indépendamment. Leur juxtaposition est tout à fait naturelle. Après une longue période d'incompréhension ou de réticence à l'égard de la démarche de Fourier, celui-ci apparaît aujourd'hui, avec la transformée de Fourier rapide, la théorie du signal, les ondelettes, comme un précurseur dans la recherche de méthodes puissantes et efficaces pour le traitement de questions diverses issues de l'étude de la nature ou de la technique. Ainsi la théorie analytique de la chaleur et le développement d'une fonction en harmoniques, à la Fourier, rejoignent les problèmes actuels de la physique théorique, de l'analyse d'images et des télécommunications, justiciables du traitement par ondelettes.
Tables des matières
- - Séries de Fourier et ondelettes
  - Jean-Pierre Kahane
  - Pierre Gilles Lemarié-Rieusset
  - Cassini
  - PréfaceXIII
  - Partie I. Séries de Fourier par Jean-Pierre Kahane
  - Introduction. En quoi consistent les séries de Fourier ?3
  - Chapitre 1. Qui était Fourier ?7
  - Chapitre 2. Le début des séries de Fourier13
  - 2.1. La théorie analytique de la chaleur. Introduction13
  - 2.2. Chapitres I, II, III14
  - 2.3. Chapitres IV à IX18
  - 2.4. Retour sur le calcul des coefficients19
  - 2.5. Retour à l'introduction21
  - Chapitre 3. Précurseurs et concurrents29
  - 3.1. La préhistoire de l'analyse harmonique29
  - 3.2. Les cordes vibrantes, D. Bernoulli, Euler, d'Alembert29
  - 3.3. Lagrange31
  - 3.4. Les formules d'Euler et Fourier. Clairaut34
  - 3.5. Poisson, Cauchy35
  - 3.6. Pour en savoir plus36
  - Chapitre 4. Dirichlet et le problème de la convergence37
  - 4.1. Dirichlet37
  - 4.2. Commentaires sur l'article38
  - 4.3. Le problème de la convergence depuis lors40
  - 4.4. Dirichlet et Jordan43
  - 4.5. L'article original et Dirichlet44
  - 4.6. Une citation de Jacobi55
  - Chapitre 5. Riemann et l'analyse réelle57
  - 5.1. Riemann57
  - 5.2. Le mémoire sur les séries trigonométriques. La partie historique58
  - 5.3. Le mémoire sur les séries trigonométriques. La notion d'intégrale59
  - 5.4. Le mémoire sur les séries trigonométriques. Les fonctions représentées par de telles séries61
  - 5.5. Le mémoire sur les séries trigonométriques. La section finale63
  - 5.6. Autres séries trigonométriques spéciales. Riemann et Weierstrass67
  - 5.7. Coup d'oeil sur l'influence du mémoire de Riemann juste après 186769
  - 5.8. Un aperçu de l'influence du mémoire de Riemann au vingtième siècle70
  - 5.9. Le début du mémoire de Riemann (sections 1 à 6)73
  - Chapitre 6. Cantor et la théorie des ensembles105
  - 6.1. Cantor105
  - 6.2. Les travaux de Cantor sur les séries trigonométriques106
  - 6.3. Über die Ausdehnung108
  - 6.4. Ensembles d'unicité et ensembles de multiplicité109
  - 6.5. Deux méthodes pour les ensembles minces en analyse de Fourier112
  - 6.6. La méthode de Baire113
  - 6.7. Randomisation114
  - 6.8. Un retour sur la théorie de Baire115
  - 6.9. Le nouvel impact de la théorie générale des ensembles117
  - 6.10. Le premier article de théorie des ensembles118
  - Chapitre 7. Le tournant du siècle et le théorème de Fejér139
  - 7.1. Les séries trigonométriques comme sujet peu recommandable139
  - 7.2. Les circonstances du théorème de Fejér141
  - 7.3. Quelques applications et prolongements du théorème de Fejér144
  - 7.4. Petite récapitulation (noyaux usuels)149
  - Chapitre 8. Lebesgue et l'analyse fonctionnelle151
  - 8.1. Lebesgue151
  - 8.2. 1902-1906 : Lebesgue, Fatou et les séries trigonométriques152
  - 8.3. Séries trigonométriques et intégrale de Lebesgue155
  - 8.4. Fatou-Parseval et Riesz-Fischer156
  - 8.5. Riesz-Fischer et les espaces de Hilbert157
  - 8.6. L^p, l^p, fonctions et coefficients159
  - 8.7. L^p, H^p, fonctions conjuguées161
  - 8.8. Fonctionnelles163
  - 8.9. Approximation165
  - 8.10. Stabilité des procédés linéaires167
  - Chapitre 9. Lacunes et randon169
  - 9.1. Esquisse historique169
  - 9.2. Séries de Rademacher, séries de Steinhaus et séries gaussiennes171
  - 9.3. Séries de Hadamard, produits de Riesz et ensembles de Sidon174
  - 9.4. Séries trigonométriques aléatoires177
  - 9.5. Randon et ensembles de Sidon180
  - 9.6. Séries orthogonales lacunaires et ensembles (...) (s)182
  - 9.7. Propriétés locales et globales des séries trigonométriques aléatoires183
  - 9.8. Propriétés locales et globales des séries trigonométriques lacunaires185
  - 9.9. Propriétés locales et globales des séries trigonométriques d'Hadamard188
  - Chapitre 10. Structures algébriques191
  - 10.1. L'héritage de Norbert Wiener191
  - 10.2. Groupes abéliens compacts192
  - 10.3. Le théorème de Wiener-Lévy195
  - 10.4. La réciproque du théorème de Wiener-Lévy197
  - 10.5. Solution négative d'un problème de synthèse spectrale199
  - 10.6. Un autre problème de synthèse spectrale avec réponse négative201
  - 10.7. Homomorphismes des algèbres A(G)202
  - Chapitre 11. Martingales et espaces H^p205
  - 11.1. Séries de Taylor, séries de Walsh et martingales205
  - 11.2. Une utilisation typique des développements de Walsh : la meilleure constante dans une inégalité de Khintchine206
  - 11.3. Séries de Walsh et martingales dyadiques208
  - 11.4. Le théorème de Paley sur les séries de Walsh209
  - 11.5. Les espaces H^p de martingales dyadiques212
  - 11.6. Les espaces H^p classiques et le mouvement brownien214
  - Chapitre 12. Quelques applications classiques et un aperçu de la théorie du signal217
  - 12.1. Retour à Fourier217
  - 12.2. Les trois EDP classiques217
  - 12.3. Deux problèmes extrémaux sur les courbes planes220
  - 12.4. La formule sommatoire de Poisson, l'équation fonctionnelle de Riemann et l'échantillonnage à la Shannon223
  - 12.5. Transformée de Fourier rapide (FFT : fast Fourier transform)226
  - 12.6 Un aperçu de la théorie du signal229
  - Bibliographie239
  - Index257
  - Partie II. Ondelettes par Pierre Gilles Lemarié-Rieusset
  - Introduction. Les ondelettes : bref aperçu historique269
  - 1. Jean Morlet et le début de la théorie des ondelettes (1982)269
  - 2. Alex Grossmann et l'équipe de Marseille (1984)273
  - 3. Yves Meyer et le triomphe de l'analyse harmonique (1985)275
  - 4. Stéphane Mallat et la transformation en ondelettes rapide278
  - 5. Ingrid Daubechies et les filtres RIF (1987)280
  - Chapitre 0. Qu'est-ce qu'une ondelette ?285
  - 0.1. Les ondelettes continues285
  - 0.2. Frames (discrets) d'ondelettes288
  - 0.3. Bases d'ondelettes289
  - 0.4. Ondelettes et espaces fonctionnels291
  - Chapitre 1. La notion de représentation en ondelettes293
  - 1.1. Localisation temps-fréquence et inégalité de Heisenberg293
  - 1.2. Familles presque orthogonales, frames et bases dans un espace de Hilbert298
  - 1.3. Fenêtres de Fourier, ondelettes de Gaboret théorème de Balian-Low301
  - 1.4. Les ondelettes de Morlet304
  - 1.5. Analyse par ondelettes de la régularité globale308
  - 1.6. Analyse par ondelettes de la régularité ponctuelle315
  - Chapitre 2. Transformations en ondelettes discrètes321
  - 2.1. Théorèmes d'échantillonnage pour la représentation en ondelettes de Morlet321
  - 2.2. Le lemme des vaguelettes et autres résultats sur les espaces H(...)323
  - 2.3. Démonstration du théorème d'échantillonnage régulier328
  - 2.4. Démonstration du théorème d'échantillonnage irrégulier333
  - 2.5. Quelques remarques sur les frames duaux335
  - 2.6. Théorie des ondelettes et théorie moderne de Littlewood-Paley338
  - Chapitre 3. La structure d'une base d'ondelettes341
  - 3.1. Espaces de fonctions invariants par translation342
  - 3.2. La structure d'une base d'ondelettes353
  - 3.3. Analyses multi-résolution. Définition et exemples359
  - 3.4. Non-existence d'ondelettes régulières pour l'espace de Hardy H²362
  - Chapitre 4. La théorie des filtres d'échelle367
  - 4.1. Analyses multi-résolution, fonctions d'échelle et filtres d'échelle367
  - 4.2. Propriétés des filtres d'échelle370
  - 4.3. Dérivées et primitives d'une fonction d'échelle régulière379
  - 4.4. Fonctions d'échelle à support compact385
  - Chapitre 5. Fonctions de Daubechies et autres exemples de fonctions d'échelle395
  - 5.1. Fonctions d'échelle interpolantes395
  - 5.2. Analyses multi-résolution orthogonales405
  - 5.3. Fonctions splines : le cas des ondelettes splines orthogonales423
  - 5.4. Ondelettes splines bi-orthogonales428
  - Chapitre 6. Ondelettes et espaces fonctionnels433
  - 6.1. Ondelettes bi-orthogonales et analyse fonctionnelle433
  - 6.2. Ondelettes et espaces de Lebesgue438
  - 6.3. H¹ et BMO448
  - 6.4. Espaces de Lebesgue à poids454
  - 6.5. Espaces de Besov456
  - 6.6 Analyse locale464
  - Chapitre 7. Ondelettes à plusieurs variables467
  - 7.1. Ondelettes à plusieurs variables : description générale467
  - 7.2. Existence des ondelettes multivariées472
  - 7.3. Propriétés des ondelettes à plusieurs variables478
  - Chapitre 8. Algorithmes479
  - 8.1. La transformation en ondelettes continue479
  - 8.2. L'algorithme de Mallat481
  - 8.3. Ondelettes sur l'intervalle487
  - 8.4. Formules de quadrature492
  - 8.5. L'algorithme BCR495
  - 8.6. Le « wavelet shrinkage » de Donoho498
  - Chapitre 9. Extensions de la théorie des ondelettes499
  - 9.1. Fonctions d'échelle multiples499
  - 9.2. Les paquets d'ondelettes500
  - 9.3. Bases de sinus locaux504
  - 9.4. L'algorithme du « matching pursuit »509
  - Chapitre 10. Exemples d'utilisation des ondelettes en analyse513
  - 10.1. Ondelettes et para-produits513
  - 10.2. Le théorème « div-curl »517
  - 10.3. Les opérateurs de Calderón-Zygmund519
  - 10.4. La fonction de Riemann524
  - Bibliographie527
  - Index535
Origine de la notice:
- Electre