Mécanique quantique 1
Fondements et premières applications
Cours et exercices
Claude Aslangul
deboeck
I Fondements1
1 Introduction
3
1.1 L'hypothèse atomique3
1.2 L'électron9
1.3 Les ions14
1.4 Modèles d'atome17
1.5 Instabilité électrodynamique de l'atome classique20
1.6 Exercices et problèmes23
1.6.1 Détermination du rapport charge/masse de l'électron (méthode de Thomson et Kaufmann)23
1.6.2 Détermination du nombre d'Avogadro (...) à l'aide du mouvement brownien25
1.6.3 Les expériences de Kappler (1931)27
1.6.4 Équilibre d'une atmosphère isotherme27
1.6.5 Mesure précise de l'impulsion de particules par focalisation28
1.6.6 Spectrographe de masse30
1.6.7 Le spectromètre de Bainbridge30
1.6.8 La force d'Abraham-Lorentz32
1.6.9 Durée de vie de l'atome de Jean Perrin33
2 La radioactivité
35
2.1 La radioactivité : découverte et premiers faits expérimentaux35
2.2 Loi de décroissance radioactive44
2.3 Exercices et problèmes50
2.3.1 La radioactivité à l'hôpital50
2.3.2 Loi de déclin radioactif50
2.3.3 Mesure du nombre d'Avogadro51
2.3.4 Chaînes radioactives51
2.3.5 Longueur de parcours d'une particule (...) dans l'air52
2.3.6 Résolution de l'équation (2.15) par la transformation de Laplace53
3 Les expériences de Rutherford
55
3.1 Principes généraux des expériences55
3.2 Généralités sur la collision élastique de deux particules élémentaires57
3.2.1 Lois de conservation57
3.2.2 Réduction du problème à deux corps en interaction centrale61
3.3 Déviation d'une particule chargée par un noyau d'atome64
3.4 Section efficace de collision67
3.5 Section efficace différentielle pour la diffusion Rutherford70
3.6 Exercices et problèmes72
3.6.1 Ordres de grandeur72
3.6.2 Collision élastique de deux particules73
3.6.3 Distance minimale d'approche pour la diffusion Rutherford74
3.6.4 Section efficace de diffusion par un centre répulsif74
3.6.5 Section efficace de capture par un centre attractif75
3.6.6 Diffusion par un puits sphérique attractif77
3.6.7 Passage du repère du centre de masse au repère du laboratoire pour la diffusion de deux particules en interaction centrale79
4 Quantification de l'énergie : le rayonnement thermique
81
4.1 Le rayonnement thermique81
4.1.1 Faits expérimentaux et nature physique du rayonnement thermique82
4.1.2 Description phénoménologique du rayonnement thermique89
4.1.3 Loi de Stefan (1879)93
4.2 Loi de Planck (1900)97
4.2.1 Retour sur la loi du déplacement de Wien97
4.2.2 Formule de Rayleigh-Jeans (1900)98
4.2.3 Loi de Planck108
4.3 Exercices et problèmes114
4.3.1 Température d'un astre114
4.3.2 Température du filament d'une ampoule à incandescence115
4.3.3 Refroidissement radiatif d'une sphère115
4.3.4 Perte de masse du soleil par seconde116
4.3.5 Pression de radiation solaire à la surface de la Terre116
4.3.6 Pression de radiation sur une surface rugueuse116
4.3.7 Variations sur la formule de Planck117
5 Quantification de l'énergie : le photon
119
5.1 L'effet photoélectrique119
5.1.1 Découverte et faits expérimentaux120
5.1.2 L'interprétation d'Einstein (1905)122
5.2 Le photon129
5.2.1 Relation de dispersion du photon129
5.2.2 Comparaison avec la description corpusculaire classique de la pression de radiation131
5.3 L'effet Compton133
5.3.1 Diffusion des rayons X par les atomes133
5.3.2 Les expériences de Compton et leur interprétation (1921-1923)134
5.4 Exercices et problèmes141
5.4.1 Ordres de grandeur141
5.4.2 Effet photoélectrique142
5.4.3 Mesure précise de la constante de Planck (Millikan)142
5.4.4 Histoire de photoélectron143
5.4.5 Effet photoélectrique par irradiation thermique143
5.4.6 Impossibilité d'absorption d'un photon par un électron libre143
5.4.7 Réflexion d'un flash de lumière sur un miroir pendulaire144
5.4.8 Diffusion Compton en phase gazeuse144
5.4.9 Distribution angulaire des électrons Compton145
5.4.10 Irradiation d'une cible par un rayonnement très dur145
5.4.11 Masse gravitationnelle du photon146
5.4.12 Effet (...)erenkov146
5.4.13 L'effet Compton inverse148
6 Structure atomique, raies spectrales, théorie de Bohr
149
6.1 Spectre de raies149
6.1.1 Spectres atomiques149
6.1.2 Élargissement des raies spectrales152
6.1.3 Formule de Balmer et généralisation de Ritz156
6.2 Le modèle de Bohr (1913)158
6.2.1 Difficultés du modèle planétaire et proposition de Bohr158
6.2.2 Orbites stationnaires de Bohr160
6.3 Quantification de l'énergie : confirmations168
6.3.1 Le phénomène de résonance optique168
6.3.2 Les expériences de Lenard172
6.3.3 Les expériences de Franck et Hertz (1914)174
6.4 Exercices et problèmes177
6.4.1 Ordres de grandeur177
6.4.2 Transformées de Fourier usuelles177
6.4.3 Théorème du viriel177
6.4.4 Effet photoélectrique sur une vapeur atomique178
6.4.5 Diffusion élastique de la lumière par l'atome classique (modèle de Thomson)178
6.4.6 Largeurs Doppler et naturelle180
6.4.7 Mesure de la durée de vie d'un état excité à l'aide d'un jet atomique181
6.4.8 Évolution des populations d'une vapeur atomique excitée à la résonance183
6.4.9 Identification d'une raie spectrale184
6.4.10 Effet Doppler et recul d'un atome en absorption184
6.4.11 Séries spectroscopiques de l'hydrogène selon Bohr185
6.4.12 Séparation des raies de deux isotopes185
6.4.13 Coïncidences spectrales185
6.4.14 Étude énergétique d'un atome hydrogénoïde185
6.4.15 Le positronium186
6.4.16 Quelques propriétés du modèle de Bohr186
7 L'ancienne théorie des quanta
187
7.1 Rudiments de mécanique analytique188
7.1.1 Principe de moindre action (PMA) et équations de Lagrange188
7.1.2 Équations de Hamilton202
7.1.3 Équation de Hamilton-Jacobi208
7.1.4 Crochets de Poisson214
7.2 La règle de Planck pour l'oscillateur harmonique215
7.3 Les règles de quantification de Bohr-Wilson-Sommerfeld219
7.3.1 Généralisation de la règle de Bohr219
7.3.2 Application à l'atome d'hydrogène220
7.3.3 Corrections relativistes225
7.4 Exercices et problèmes229
7.4.1 Particule chargée dans un champ électromagnétique229
7.4.2 Invariance en forme de l'énergie cinétique pour des coordonnées cartésiennes230
7.4.3 Équivalence entre équation différentielle et principe variationnel230
7.4.4 Oscillateur harmonique traité en mécanique analytique231
7.4.5 Oscillateur harmonique dans un champ constant et homogène231
7.4.6 Crochets de Poisson232
7.4.7 Action d'une particule chargée uniformément accélérée par un champ électrique contant (...)232
7.4.8 Action d'un oscillateur harmonique232
7.4.9 L'atome d'hydrogène selon Bohr-Wilson-Sommerfeld232
7.4.10 Quantification d'une particule dans un segment de (...)235
7.4.11 Quantification d'une particule dans une boîte carrée235
7.4.12 Quantification d'un modèle atomique236
7.4.13 Corrections relativistes : le doublet H(...)237
7.4.14 Une expression remarquable de la fonction de partition classique237
8. Structure du noyau atomique
239
8.1 Charge du noyau240
8.2 Rayon du noyau245
8.3 Composition du noyau252
8.4 Énergie de liaison du noyau255
8.4.1 Défaut de masse255
8.4.2 Formule de Weizsäcker et le modèle de la goutte liquide256
8.5 Transitions nucléaires260
8.6 Exercices et problèmes261
8.6.1 Puissance X émise par Bremsstrahlung261
8.6.2 Émission d'un photon par un noyau262
8.6.3 Facteur de forme d'un noyau262
8.6.4 Désintégration du bismuth263
8.6.5 Barrière coulombienne pour deux noyaux de deutérium263
II Élaboration de la mécanique quantique et premières applications265
9 L'avènement de la mécanique quantique
267
9.1 Problèmes de l'ancienne théorie des quanta268
9.2 La mécanique des matrices270
9.3 Les ondes de matière (de Broglie, 1923)282
9.4 L'équation de Schrödinger289
9.5 Vitesse de groupe302
9.6 Diffraction des particules matérielles306
9.7 Limite classique308
9.7.1 Longueur d'onde pour un objet macroscopique308
9.7.2 Limite classique de la fonction d'onde311
9.8 Exercices et problèmes316
9.8.1 Horizon de Planck316
9.8.2 Conséquences et l'incertitude sur les conditions initiales sur la prédiction d'un mouvement classique316
9.8.3 Particule confinée sur un segment318
9.8.4 Analyse de Fourier du problème de Kepler318
9.8.5 Sur la mécanique des matrices321
9.8.6 Propriétés ondulatoires des particules matérielles323
9.8.7 Diffraction de neutrons par un cristal d'atomes unidimensionnel325
9.8.8 Équation de conservation325
9.8.9 Propagateur dans un milieu non dispersif326
9.8.10 Sur la nécessité de la réalité de la valeur propre E dans l'équation (9.72)326
10 Fonction d'onde
327
10.1 Fentes d'Young328
10.2 Interprétation probabiliste de la fonction d'onde et conséquences339
10.2.1 L'interprétation de Born339
10.2.2 Calcul des valeurs moyennes344
10.2.3 Le déterminisme quantique353
10.3 Principe d'incertitude de Heisenberg362
10.3.1 Principe d'incertitude spatial362
10.3.2 Principe d'incertitude temporel370
10.4 Exercices et problèmes372
10.4.1 Expériences d'Young372
10.4.2 Interprétation probabiliste de la fonction d'onde373
10.4.3 Forme locale de la conservation de l'énergie en mécanique quantique374
10.4.4 Opérateur associé à une grandeur classique375
10.4.5 Particule chargée dans un champ électrique constant375
10.4.6 Relations d'incertitude376
10.4.7 Le microscope de Heisenberg377
10.4.8 D'autres inégalités377
10.4.9 Une expérience mentale378
11 Magnétisme atomique
379
11.1 Magnétisme classique380
11.1.1 Moment magnétique380
11.1.2 Précession de Larmor385
11.1.3 Paramagnétisme classique387
11.1.4 Expériences de Einstein-de Haas et de Barnett390
11.2 Expérience de Stern et Gerlach392
11.3 Exercices et problèmes400
11.3.1 Les fonctions de Brillouin Bj400
11.3.2 L'électron est-il une petite bille qui tourne sur elle-même ?401
11.3.3 L'expérience de Stern et Gerlach402
12 Postulats et structure formelle de la mécanique quantique
405
12.1 Énoncé des postulats405
12.1.1 Notion d'état405
12.1.2 Notion d'observable409
12.1.3 Résultats possibles de la mesure d'une grandeur physique414
12.1.4 La réduction du paquet d'ondes419
12.1.5 Évolution des systèmes dans le temps424
12.2 Les bases du formalisme de la mécanique quantique428
12.2.1 Changement de base428
12.2.2 Produit scalaire432
12.2.3 Généralisations438
12.3 Exercices et problèmes447
12.3.1 Atome de moment cinétique (...)447
12.3.2 Sur le fondamental de l'oscillateur harmonique448
12.3.3 Oscillateur harmonique subitement perturbé449
12.3.4 Mesures sur un moment cinétique (...)449
12.3.5 Mesures successives d'observables450
12.3.6 Mesures de la position et de l'énergie d'un oscillateur harmonique452
12.3.7 Mesure de la position et de l'impulsion d'une particule libre453
12.3.8 Formalisme de Dirac453
12.3.9 Règle de somme454
12.3.10 La vitesse moyenne est nulle dans tout état455
13 Opérateurs
457
13.1 Propriété fondamentale des observables : hermiticité458
13.2 Valeur moyenne d'une observable : utilisation de sa base propre464
13.3 Représentation des opérateurs hermitiques et des opérateurs unitaires466
13.4 Retour sur la notation de Dirac470
13.5 Opérateurs commutant entre eux472
13.6 Combinaisons d'opérateurs475
13.7 Représentation-(...)479
13.8 Représentation-(...)486
13.9 Exercices et problèmes489
13.9.1 Relations diverses de l'algèbre des opérateurs489
13.9.2 Trace d'un opérateur490
13.9.3 Opérateur fonction d'une variable491
13.9.4 Opérateur unitaire dérivable492
13.9.5 Série entière d'opérateurs492
13.9.6 Exponentielle du gradient493
13.9.7 Équation de Dyson493
13.9.8 Identité de Glauber493
13.9.9 Composantes hermitiques d'un opérateur linéaire494
13.9.10 Projecteurs494
13.9.11 Résolvante495
14 Évolution temporelle d'un système quantique
497
14.1 Description de l'évolution dans le temps497
14.1.1 La description de Schrödinger500
14.1.2 La description de Heisenberg508
14.1.3 Le théorème d'Ehrenfest516
14.2 Propagateur518
14.3 La formulation de Feynman525
14.4 Exemples de paquets d'ondes528
14.5 Séparation espace-temps et états stationnaires531
14.6 Exercices et problèmes534
14.6.1 Opérateur d'évolution pour un système à deux niveaux534
14.6.2 Perturbation de Dirac535
14.6.3 Mesure de la position et de l'impulsion d'une particule libre (suite)535
14.6.4 Particule dans un champ constant536
14.6.5 Oscillateur harmonique chargé soumis soudainement à un champ électrique537
14.6.6 Intrication de deux systèmes537
14.6.7 Dynamique d'un système à trois niveaux soumis à une perturbation harmonique539
14.6.8 Évolution d'un paquet d'ondes gaussien540
14.6.9 Mouvement uniformément accéléré541
14.6.10 Exemple de factorisation du propagateur542
14.6.11 La molécule d'ammoniac543
14.6.12 Allongement du temps de retour avec la densification des états545
14.6.13 Quelques résultats pour l'opérateur d'évolution avec un Hamiltonien dépendant du temps547
15 Potentiels à une dimension constants par morceaux
549
15.1 Propriétés générales des problèmes à une dimension551
15.2 La quantification comme conséquence des conditions imposées à (...)563
15.2.1 États liés564
15.2.2 États non liés566
15.3 Le puits carré568
15.3.1 Le puits fini569
15.3.2 Le puits infini595
15.4 La marche de potentiel602
15.5 La barrière de potentiel607
15.6 Exercices et problèmes611
15.6.1 Diffusion par un puits de potentiel611
15.6.2 Puits infiniment profond : valeurs moyennes dans un état non stationnaire612
15.6.3 Expansion soudaine d'un puits infiniment profond613
15.6.4 Puits infiniment profond en représentation-p614
15.6.5 Puits de Dirac614
15.6.6 Puits en représentation-p616
15.6.7 Puits de Dirac comme limite du puits carré617
15.6.8 Influence d'un mur infranchissable sur les états d'un potentiel de Dirac618
15.6.9 Enrichissement isotopique par réflexion sur une barrière de potentiel620
15.6.10 Puits infini avec une barrière centrale de Dirac621
15.6.11 Effet tunnel dans un double puits à la Dirac622
15.6.12 Effet tunnel dans un double puits carré623
15.6.13 Puits asymétriques624
15.6.14 Impureté localisée dans une barrière625
15.6.15 Pénétration de neutrons dans un milieu magnétique626
15.6.16 Anti-marche de potentiel627
15.6.17 Coefficients de réflexion et de transmission d'une double barrière627
15.6.18 Électron dans un puits excité par un champ électrique impulsionnel629
15.6.19 États liés du puits (...)629
15.6.20 Variations sur le puits (...)631
15.6.21 Coefficient de réflexion d'une marche floue633
16 L'oscillateur harmonique
635
16.1 L'importance de l'oscillateur harmonique636
16.2 Résolution de l'équation aux valeurs propres640
16.3 Quantification canonique, opérateurs de création et d'annihilation658
16.4 Le propagateur de l'oscillateur harmonique665
16.5 États cohérents676
16.6 Exercices et problèmes682
16.6.1 Relation de fermeture682
16.6.2 Quand le ressort casse682
16.6.3 Mesures de position et d'énergie sur un oscillateur harmonique682
16.6.4 Dynamique d'un oscillateur683
16.6.5 Oscillateur confiné sur (...)684
16.6.6 Expansion ou compression soudaine d'un oscillateur684
16.6.7 Oscillateur harmonique forcé685
16.6.8 Intégration de l'exponentielle d'une forme quadratique686
16.6.9 À propos des états cohérents687
Bibliographie689
Index703