Analyse pour l'agrégation : cours et exercices corrigés

Auteur(s) :

Queffélec, Hervé Découvrir l'auteur

Résumé

Des cours sur les thèmes classiques tels que la notion de limite supérieure, la précompacité, la théorie globale des systèmes différentiels non linéaires, des exemples et applications originaux, des compléments ouvrant la voie à des théories avancées comme le principe de maximum ou l'interpolation et plus de 130 exercices et problèmes entièrement corrigés. ©Electre 2020

Autre(s) auteur(s)
- Zuily, Claude (1945-....)
Éditeur(s)
- Dunod
- Dupli-print
Date
- DL 2020
Notes
- Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (XVII-664 p.) : ill. ; 24 cm
Collections
- Je prépare
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-10-081180-9
Indice
- 517 Analyse
Quatrième de couverture
- Analyse pour l'agrégation
  Agrégation / Master mathématiques
  Dans cette cinquième édition revue et augmentée, les auteurs ont d'abord complété les chapitres précédents, en ajoutant des explications pédagogiques, heuristiques ou historiques ; notamment aux chapitres quatre et treize sur les séries de Fourier et les probabilités. Ils ont également ajouté un chapitre XVII sur la modélisation, en termes d'équations aux dérivées partielles, du comportement des vagues à la surface d'un océan.
  La nouvelle édition de ce livre d'analyse pour l'agrégation propose donc :
  
  des développements rigoureux sur des thèmes classiques tels que séries de Fourier, espaces vectoriels normés, intégrales dépendant d'un paramètre, probabilités, théorie globale des systèmes différentiels non linéaires, méthode des caractéristiques, etc.
  
  de nombreux exemples et applications originaux : fonction d'Airy, équation de Hill-Mathieu, sommes de Gauss, fonctions continues nulle part dérivables, système des ondes de surface, etc.
  
  des compléments ouvrant la voie à des théories plus avancées comme le principe du maximum, l'interpolation, la théorie des nombres premiers, la dynamique holomorphe discrète, les équations aux dérivées partielles, etc.
  
  enfin, plus de cent trente exercices et problèmes, quelques-uns nouveaux, entièrement corrigés.
  
  Cet ouvrage pourra également être utilisé avec profit par les étudiants de licence et de master de mathématiques.
Tables des matières
- - Analyse pour l'agrégation
  - Cours et exercices corrigés
  - Hervé Queffélec, Claude Zuily
  - Dunod
  - Avant-proposXV
  - Chapitre I - Notion de plus petite et de plus grande limite1
  - I. Introduction1
  - II. Théorèmes et définitions1
  - 1. Limite supérieure et limite inférieure1
  - 2. Passage à la (...) ou (...) dans une inégalité3
  - III. Applications5
  - 1. Suites sous-additives5
  - 2. Un théorème taubérien6
  - IV. Enoncés des exercices8
  - V. Indications9
  - VI. Solutions des exercices9
  - Chapitre II - Compléments sur les séries et les séries de fonctions15
  - I. Formule d'Abel et applications15
  - 1. Formule d'Abel. Exemples15
  - 2. Prolongement de la fonction zêta au demi plan Re s > 0 privé de (...)1(...)20
  - 3. La fonction thêta20
  - 4. Application aux nombres premiers21
  - II. Les séries de Dirichlet23
  - 1. Abcisses de convergence et de convergence absolue23
  - 2. Holomorphie25
  - 3. Produit de Dirichlet27
  - III. Retour sur la fonction zêta28
  - 1. Prolongement holomorphe de la fonction zêta à (...) \ (...)1(...)28
  - 2. Commentaires31
  - IV. Enoncés des exercices31
  - V. Solutions des exercices34
  - Chapitre III - Séries entières, propriétés de la somme40
  - 1. Rappels, définitions, notations40
  - 1. Rayon de convergence40
  - 2. Théorème d'Abel non tangentiel41
  - II. Propriétés de la somme d'une série entière à l'intérieur du disque de convergence44
  - III. Convergence uniforme dans tout le disque de convergence46
  - 1. Conditions nécessaires de convergence uniforme46
  - 2. Séries entières uniformément non normalement convergentes47
  - IV. Comportement de la somme au voisinage d'un point du cerce de convergence50
  - 1. Points réguliers et points singuliers50
  - 2. Critères de régularité52
  - 3. Séries entières à coefficients positifs53
  - 4. Séries entières à coefficients lacunaires54
  - V. Enoncés des exercices56
  - VI. Indications58
  - VII. Solutions des exercices60
  - Chapitre IV - Séries de Fourier, applications68
  - I. Introduction, définitions, premières propriétés68
  - 1. Fonctions périodiques et formules de Fourier71
  - 2. Définitions72
  - 3. Premières propriétés74
  - a) Les espaces U, A, L¹, L^p74
  - b) Premières règles de calcul75
  - c) Propriétés de (...)76
  - II. Les principaux « noyaux » trigonométriques79
  - 1. Deux définitions79
  - 2. Le noyau de Dirichlet79
  - 3. Le noyau de Fejér80
  - 4. Le noyau de Gibbs82
  - 5. Le noyau de Jackson83
  - 6. Le noyau de Poisson84
  - III. Les principaux théorèmes de convergence, premières applications86
  - 1. Les premières difficultés et la solution de Fejér86
  - 2. Premières applications du théorème de Fejér89
  - 3. Le théorème de Dirichlet93
  - IV. Exemples de développements en série de Fourier94
  - 1. Remarques préliminaires94
  - 2. Exemples de développements en série de Fournier95
  - V. Comparaison entre le comportement d'une fonction et celui de ses coefficients de Fourier101
  - 1. Définitions préliminaires101
  - 2. Théorème de comparaison102
  - VI. Applications diverses des séries de Fourier106
  - 1. Inégalité de Bernstein106
  - 2. Inégalité isopérimétrique107
  - 3. Application à la résolution d'équations aux dérivées partielles109
  - 4. Fonctions continues partout sans dérivée114
  - a) Une classe de séries lacunaires sans dérivée114
  - b) Modules de continuité119
  - c) Fonctions partout sans dérivée arbitrairement proches de C^0,1121
  - VII. Enoncés des exercices123
  - VIII. Indications128
  - IX. Solutions des exercices 130
  - Chapitre V - Compacité142
  - I. Rappel sur les espaces métriques, définitions et notations142
  - 1. Métriques comparables, métriques complètes142
  - 2. Précompacité143
  - II. Critère fondamentaux de compacité, convergence des suites, dimension métrique145
  - 1. Le critère fondamental de compacité145
  - 2. Suites convergentes, dimension métrique146
  - a) Rappel146
  - b) Dimension métrique147
  - 3. Etude détaillée de quelques exemples147
  - 4. Le théorème de Tychonoff et ses applications152
  - a) Le théorème de Tychonoff152
  - b) Le théorème de Banach-Alaoglu152
  - c) Un théorème de point fixe153
  - III. Le théorème d'Ascoli et quelques applications155
  - 1. Le théorème d'Ascoli155
  - 2. Le théorème des familles normales157
  - a) L'espace métrique H (Oméga)157
  - b) Le théorème160
  - c) Une application du théorème des familles normales161
  - IV. Compacité dans un espace de Banach E165
  - 1. Enveloppe convexe d'une partie compacte165
  - 2. Description des compacts d'un espace de Banach167
  - 3. Bases pseudo-orthonormées168
  - V. Applications linéaires compactes170
  - 1. L'idéal bilatère K (E)170
  - 2. Un critère de compacité171
  - 3. Exemples d'applications linéaires compactes172
  - 4. Adjoint d'une application linéaire compacte174
  - 5. Couples (E, F) tels que (...) (E, F) = K (E, F)175
  - VI. Etude individuelle d'un opérateur compact176
  - 1. Rappels de théorie spectrale176
  - 2. Un lemme fondamental177
  - 3. Applications injectives d'image fermée178
  - 4. Ascente et descente d'un opérateur178
  - 5. Perturbations compactes de l'identité179
  - 6. Spectre ponctuel d'un opérateur compact181
  - 7. Etude spectrale d'un opérateur compact182
  - 8. Une application des opérateurs compacts à l'Analyse184
  - VII. Enoncés des exercices184
  - VIII. Indications189
  - IX. Solutions des exercices192
  - Chapitre VI - Espaces vectoriels normés203
  - I. Introduction203
  - II. Théorèmes généraux205
  - 1. Le théorème de Banach-Steinhaus205
  - 2. Le théorème de l'application ouverte206
  - 3. La théorème du graphe fermé209
  - 4. Les théorèmes de Hahn-Banach209
  - a) La forme analytique209
  - b) La forme géométrique211
  - III. Exemples d'espaces de Banach et de leurs duaux212
  - 1. Supplémentaire d'un sous-espace fermé212
  - a) Sous-espaces de (...)212
  - b) Sous-espaces de (...)215
  - 2. Suites faiblement convergentes217
  - 3. Rappels sur les espaces (...)219
  - IV. Espaces de Hilbert220
  - 1. Propriétés générales220
  - 2. Une application221
  - V. Topologies faible et préfaible223
  - 1. Le théorème général de Banach-Alaoglu223
  - 2. Une application de la topologie faible223
  - VI. Énoncés des exercices227
  - VII. Indications232
  - VIII. Solutions des exercices234
  - Chapitre VII - Espaces vectoriels normés de dimension finie246
  - I. Introduction et définitions246
  - II. Normes sur (...)246
  - 1. Parties compactes de (...)246
  - 2. Normes équivalentes248
  - 3. Compacité de la boule unité249
  - 4. Description géométrique des normes250
  - III. Normes sur E251
  - IV. Exemples252
  - 1. Inégalité de Khintchine252
  - 2. Polynômes trigonométriques254
  - 3. Opérateurs255
  - V. Applications256
  - 1. Théorème de Riesz256
  - 2. Continuité automatique257
  - VI. Énoncés des exercices258
  - VII. Indications259
  - VIII. Solutions des exercices260
  - Chapitre VIII - Espaces fonctionnels264
  - I. Les espaces (...) (oméga), oméga ouvert de (...)264
  - 1. Espaces (...)(oméga), (...)264
  - a) Définitions264
  - b) Formule de Leibniz265
  - c) Formule de Faa-di-Bruno265
  - d) Topologie. Métrisabilité. Complétude265
  - e) Non normabilité268
  - 2. L'espace (...) (Oméga)269
  - a) Topologie. Métrisabilité. Compétude269
  - b) Propriété de Montel269
  - c) Non normabilité271
  - 3. L'espace (...) (Oméga), Oméga ouvert de (...)271
  - 4. Autour de la continuité et de la dérivabilité272
  - a) Points de continuité d'une fonction272
  - b) Application272
  - c) Points de continuité de la limite simple d'une suite de fonctions274
  - d) Construction d'une fonction continue nulle part dérivable275
  - e) Densité dans (...) des fonctions continues nulle part dérivables276
  - II. Les espaces (...) (F), (...) F fermé de (...)278
  - 1. Définition. Normabilité. Complétude278
  - 2. Propriétés des espaces (...) (F)280
  - III. Les espaces de Hölder282
  - 1. Les espaces (...) (Oméga)282
  - a) Définitions et exemples282
  - b) Propriétés des espaces (...) (Oméga)284
  - 2. Applications286
  - a) Régularité de la fonction nulle part dérivable de I.4.d)286
  - b) Régularité des fonctions convexes288
  - 3. Les espaces (...) (Oméga), (...)289
  - a) Propriétés289
  - 4. Résolution d'équations différentielles dans les espaces de Hölder292
  - IV. Fonctions réel-analytiques296
  - 1. Généralités et exemples296
  - 2. Opérations sur les fonctions réel-analytiques298
  - 3. Lien avec les séries entières300
  - 4. Exemples301
  - a) Lemme de Bernstein301
  - b) Lemme de Borel302
  - 5. Principe du prolongation analytique303
  - 6. Lien avec les fonctions holomorphes304
  - 7. Commentaires304
  - V. Enoncés des exercices304
  - VI. Solutions des exercices308
  - Chapitre IX - Etude des fonctions définies par des intégrales312
  - I. Etude de la régularité312
  - 1. Rappels312
  - a) Continuité312
  - b) Dérivabilité313
  - c) Holomorphie314
  - d) Cas des intégrales semi-convergentes314
  - e) Démonstrations des théorèmes316
  - II. Exemples et premières applications318
  - 1. La fonction Gamma318
  - a) Prolongement de la fonction gamma au plan complexe319
  - 2. Exemples321
  - III. Le produit de convolution324
  - 1. Définitions et premières propriétés324
  - 2. Applications de la convolution327
  - a) Construction de fonctions plateaux327
  - b) Théorèmes de densité329
  - IV. La transformée de Fourier333
  - V. Etude de la fonction d'Airy338
  - VI. Etude asymptotique344
  - 1. La méthode de Laplace344
  - a) Application : formule de Stirling346
  - 2. La méthode de la phase stationnaire347
  - a) Application : étude asymptotique de la fonction d'Airy352
  - VII. Enoncés des exercices355
  - VIII. Solutions des exercices356
  - Chapitre X - Equations différentielles359
  - I. Généralités359
  - 1. Définitions359
  - 2. Le lemme de Gronwall360
  - II. Théorie locale361
  - 1. Existence et unicité361
  - a) Le théorème de Cauchy-Lipschitz précisé361
  - b) Le théorème de Arzela-Péano364
  - 2. Dépendance par rapport aux paramètres et aux données initiales368
  - a) Continuité368
  - b) Dérivabilité370
  - c) Différentiabilité d'ordre supérieur373
  - d) Application : redressement des champs de vecteurs374
  - e) Commentaires375
  - III. Théorie globale376
  - 1. Existence et unicité de la solution maximale376
  - 2. Critère de prolongement377
  - 3. Exemples et applications379
  - IV. Introduction à l'étude qualitative des systèmes différentiels autonomes386
  - 1. Introduction386
  - 2. Définitions et notations387
  - 3. Etude qualitative des systèmes linéaires dans (...)388
  - 4. Etude des systèmes non linéaires au voisinage d'un point d'équilibre392
  - a) Stabilité des solutions393
  - b) Le théorème de linéarisation395
  - 5. Méthode d'étude géométrique des systèmes 2 x 2396
  - a) Protocole d'étude396
  - b) Affinement du protocole399
  - V. Application : un théorème de Hadamard404
  - VI. Equations différentielles y'' + py' + qy = r409
  - 1. Introduction, définition, rappels409
  - 2. Zéros des solutions410
  - 3. Développement en série entière des solutions414
  - 3. Stabilité. Equation de Hill-Mathieu416
  - VII. Enoncés des exercices429
  - VIII. Solutions des exercices443
  - Chapitre XI - Principes du maximum et applications469
  - 0. Introduction469
  - I. Les principes du maximum469
  - 1. Le principe du maximum faible470
  - 2. Le principe du maximum fort471
  - 3. Extensions475
  - II. Applications476
  - 1. Application aux fonctions holomorphes476
  - 2. Application au problème de Dirichlet477
  - 3. Le théorème des trois cercles de Hadamard478
  - 4. Le théorème des trois droites480
  - 5. Le théorème de Riesz-Thorin481
  - 6. Applications du théorème de Riesz-Thorin486
  - a) Transformée de Fourier486
  - b) Convolution487
  - Chapitre XII - Le théorème des nombres premiers489
  - 1. La fonction dzéta de Riemann489
  - 2. Les fonctions phi et Phi492
  - 3. Preuves du théorème des nombres premiers et du corollaire496
  - 4. Preuve du lemme 2.5497
  - Chapitre XIII - Théorèmes limites en Probabilité. Applications à l'Analyse501
  - I. Rappels et compléments501
  - 1. Le modèle de Kolmogorov501
  - a) Définitions501
  - b) Théorème d'unicité ; semi-continuité502
  - c) Espace produit et fubinisation503
  - d) Variable aléatoire et loi image504
  - e) Probabilité conditionnelle505
  - f) Espérance, variance, fonction caractéristique505
  - g) Inégalités de Markov et de Tchebycheff508
  - 2. Le concept d'indépendance508
  - a) Définitions508
  - b) Critères d'indépendance510
  - c) Modèles pour l'indépendance et structure produit511
  - d) Le lemme de Borel-Cantelli et loi du zéro-un512
  - 3. Lois classiques513
  - a) L'air du catalogue513
  - b) Loi gaussiennes514
  - 4. Inégalités fondamentales517
  - a) Inégalité de Paley-Zygmund517
  - b) Inégalités de Khintchine pour les Rademacher518
  - c) Inégalités de Khintchine pour variables centrées bornées519
  - d) Théorème de majoration519
  - e) Théorème de minoration520
  - II. Convergences et outils associés521
  - 1. Convergence en probabilité521
  - a) Définitions et propriétés521
  - b) Loi faible des grands nombres523
  - c) Polynômes de Bernstein524
  - 2. Convergence presque sûre525
  - a) Définition et propriétés525
  - b) Inégalités maximales527
  - c) Théorèmes de Kolmogorov529
  - d) Loi forte des grands nombres532
  - e) Loi du logarithme itéré535
  - 3. Convergence en loi542
  - a) Définitions équivalentes542
  - b) Théorème de P. Lévy544
  - c) Comparaison des modes de convergence546
  - d) Théorème de la limite centrale548
  - III. Applications des Probabilités à l'Analyse550
  - 1. Séries entières avec une coupure550
  - 2. Suites équidistribuées sur un compact552
  - 3. Sommes tronquées de l'exponentielle554
  - 4. Sous-espaces hilbertiens de (...)554
  - 5. Conjecture de Bloch-Nevanlinna556
  - 6. Nombres normaux559
  - 7. Séries trigonométriques lacunaires560
  - IV. Enoncés des exercices562
  - V. Solutions des exercices571
  - Chapitre XIV - Compléments sur les fonctions holomorphes580
  - I. Introduction580
  - II. Le lemme de Schwarz580
  - 1. Le lemme de Schwarz usuel580
  - 2. Le lemme de Schwarz-Pick581
  - a) La distance pseudo-hyperbolique582
  - b) Utilisation de la distance pseudo-hyperbolique584
  - III. Le lemme de Julia585
  - IV. Trois théorèmes importants587
  - 1. Le théorème d'Hurwitz587
  - 2. Le théorème des familles normales589
  - 3. Le théorème de Rouché590
  - V. Homographies591
  - 1. Étude générale591
  - 2. Un exemple594
  - VI. Enoncés des Exercices596
  - VII. Solutions des exercices598
  - Chapitre XV - Dynamique discrète601
  - I. Introduction601
  - 1. Analogie avec les équations différentielles601
  - 2. Nature des points fixes603
  - II. Théorèmes de conjugaison605
  - 1. Problème général605
  - 2. Cas attractif strict605
  - 3. Cas super-attractif607
  - 4. Cas indifférent607
  - III. Théorème de Denjoy-Wolff609
  - 1. Position du problème et énoncé609
  - 2. Le cas des automorphismes610
  - 3. Le cas des non-automorphismes612
  - a) Le petit théorème de Denjoy-Wolff612
  - b) Le grand théorème de Denjoy-Wolff613
  - IV. Le théorème de Julia-Carathéodory614
  - V. Un exemple détaillé616
  - VI. Enoncés des Exercices617
  - VII. Solutions des exercices620
  - Chapitre XVI - La méthode des caractéristiques624
  - I. Introduction624
  - II. Le théorème625
  - III. Quelques rappels de Calcul Différentiel625
  - 1. Le théorème des fonctions implicites625
  - 2. Hypersurfaces625
  - 3. Champ de vecteurs et courbes intégrales626
  - IV. La méthode des caractéristiques628
  - V. Un exemple classique631
  - 1. Étude locale du lieu d'explosion633
  - Chapitre XVII - Le système de ondes de surface637
  - I. Introduction637
  - 1. Problème posé par l'Académie des Sciences en 1813637
  - 2. Les ondes de surface637
  - 3. Quelques types de vagues638
  - II. La modélisation638
  - 1. Les équations639
  - 1.1. L'équation du mouvement639
  - 2. L'incompressibilité640
  - 3. L'irrotationalité643
  - 3.1. Une conséquence de l'irrotationalité644
  - 4. Les conditions au bord645
  - 5. Le système en ((...))647
  - 6. Conservation de l'energie647
  - 7. Cas des fluides irrotationnels. Le système en ((...))649
  - III. Approximation linéaire651
  - 1. Le mouvement des particules de fluide655
  - Bibliographie657
  - Index659
Origine de la notice:
- FR-751131015 ;
- Electre