par Zuily, Claude (1945-....)
Dunod ; SNEL S.A.
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Disponible - 517.6 ZUI
Niveau 2 - Sciences
éléments de distributions et d'équations aux dérivées partielles : cours et problèmes résolus
| Auteur(s) : |
Zuily, Claude (1945-....)
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Résumé
Cet ouvrage expose la théorie des distributions élaborée par Laurent Schwartz dans les années 1945-1950, théorie incontournable pour l'étude des équations : équation de Laplace, équation d'onde, équations de Schrödinger, entre autres. ©Electre 2021
- Éditeur(s)
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Date
- DL 2002
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Notes
- Bibliogr. Index
- Autres tirages : 2006, 2010, 2013, 2015, 2018, 2021
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Langues
- Français
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Description matérielle
- 1 vol. (IX-230 p.) : couv. ill. en coul. ; 24 cm
- Collections
- Sujet(s)
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ISBN
- 978-2-1008-2182-2 ;
- 978-2-1000-5735-1 ;
- 2-1000-5735-9
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Indice
- 517.6 Équations différentielles, différences finies, équations intégrales et intégrodifférentielles, équations fonctionnelles, fonctions spéciales
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Quatrième de couverture
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Éléments de distributions et d'équations aux dérivées partielles
Les équations aux dérivées partielles constituent la généralisation naturelle des équations différentielles dans le cas où la fonction inconnue dépend de plusieurs variables. La théorie des distributions établie par Laurent Schwartz leur fournit un cadre bien adapté.
Ce cours est une introduction à ces deux théories. Il est le fruit d'un enseignement de plusieurs années à des étudiants de maîtrise de mathématiques. Cependant, il sera également utile aux élèves des grandes écoles, aux étudiants préparant l'agrégation ainsi qu a de jeunes chercheurs.
Outre la théorie illustrée par de nombreux exemples, le lecteur trouvera dans cet ouvrage un chapitre composé de quatorze longs problèmes corrigés.
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Tables des matières
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Éléments de distributions et d'équations aux dérivées partielles
Cours et problèmes résolus
Claude Zuily
Dunod
- Avant-proposVII
- Chapitre 1 • Espaces de fonctions différentiables
- 1. Les espaces Ck(Ω)1
- 1.1. Notations1
- 1.2. Formule de Leibniz2
- 1.3. Topologie des espaces Ck(Ω)2
- 1.4. Une propriété de C∞(Ω)6
- 2. Les espaces Ck0(Ω), 0 ≤k≤ +∞8
- 2.1. Support d'une fonction continue8
- 2.2. Les espaces Ck0(Ω)8
- 2.3. Topologie des espaces Ck0(Ω)9
- 2.4. Construction de fonctions plateaux10
- 2.5. Partition de l'unité12
- 3. Théorèmes de densité14
- 3.1. Troncature14
- 3.2. Régularisation15
- 4. Formule de Taylor avec reste intégral18
- Chapitre 2 • Les distributions
- 1. Définition des distributions19
- 2. Ordre d'une distribution20
- 3. Exemples21
- 4. Support d'une distribution24
- 5. Distributions à support compact28
- 6. Un lemme utile31
- Chapitre 3 • Opérations sur les distributions
- 1. Multiplication par une fonction C∞35
- 2. Dérivation des distributions36
- 2.1. Propriétés et remarques36
- 2.2. Exemples38
- 2.3. Formule des sauts à une variable39
- 2.4. Formules de Gauss et Green41
- 2.5. Distributions homogènes48
- 2.6. Distributions indépendantes d'une variable51
- 2.7. Solutions élémentaires55
- Chapitre 4 • Convergence des suites de distributions
- 1. Convergence dans D'(Ω)56
- 2. Le théorème de Banach-Steinhaus58
- 3. Application : l'espace Ck(I,D'(Ω))61
- 4. Remarques63
- Chapitre 5 • Produit tensoriel des distributions
- Chapitre 6 • Convolution des distributions
- 1. Convolution de deux distributions67
- 2. Théorèmes de densité71
- 3. Support singulier d'une distribution72
- 4. Utilisation des solutions élémentaires73
- 4.1. Opérateurs hypoelliptiques73
- 4.2. Existence de solutions75
- 4.3. Structure locale des distributions76
- 5. Retour sur les espaces Ck(I,D'(Ω))77
- 6. Généralisation78
- Chapitre 7 • Image d'une distribution
- 1. Cas où f est un difféomorphisme C∞ de Ω1 sur Ω281
- 2. Généralisation au cas où f'(x) est surjective82
- Chapitre 8 • Problème de dirichlet pour le laplacien
- 1. Les espaces de Sobolev85
- 1.1. Propriétés des espaces de Sobolev86
- 1.2. Le dual de Hm0 (Ω)87
- 1.3. L'inégalité de Poincaré89
- 1.4. Compacité90
- 2. Problème de Dirichlet pour le Laplacien93
- Chapitre 9 • L'équation des ondes dans Rt x R3x
- 1. Solution élémentaire de □ dans Rt x R3x95
- 2. Le problème de Cauchy dans ]0, +∞[xR398
- 2.1. Le problème homogène99
- 2.2. Propriétés de la solution100
- 2.3. Le problème inhomogène103
- 2.4. Unicité de la solution105
- Chapitre 10 • La transformation de fourier
- 1. L'espace S(Rn). La transformation de Fourier dans S(Rn)107
- 1.1. L'espace de Schwartz S(Rn)107
- 1.2. La transformation de Fourier108
- 2. Propriétés de la transformation de Fourier dans S111
- 3. L'espace S' et la transformation de Fourier dans S'112
- 3.1. L'espace S'112
- 3.2. Transformation de Fourier dans S'114
- 3.3. Propriétés de la transformation de Fourier dans S'114
- 4. Transformée de Fourier des distributions à support compact117
- 5. Transformation de Fourier dans L1 et L2119
- 6. Transformation de Fourier et convolution120
- 7. Transformation de Fourier partielle et applications121
- 7.1. Application à la recherche de solutions élémentaires122
- 8. Le théorème de Palais-Wiener-Schwartz123
- 8.1. Le cas des fonctions123
- 8.2. Le cas des distributions126
- 8.3. Application127
- 9. La méthode de la phase stationnaire128
- Chapitre 11 • Les espaces de Sobolev
- 1. Les espaces Hs(Rn)133
- 1.1. Définition133
- 1.2. Densité des fonctions régulières134
- 1.3. Opérations sur Hs(Rn)135
- 1.4. Structure locale des distributions136
- 1.5. Dualité137
- 1.6. Compacité138
- 1.7. Traces140
- 2. Les espaces Hk (Rn+)143
- 2.1. Densité des fonctions régulières143
- 2.2. Prolongement à Rn144
- 2.3. Régularité et compacité145
- 2.4. Traces146
- 2.5. Caractérisation de H10(Rn+)146
- 3. Les espaces Hk(Ω)148
- 4. Retour sur le problème de Dirichlet pour le Laplacien149
- 4.1. Problème de Dirichlet non homogène149
- 4.2. Régularité d'ordre supérieur149
- Chapitre 12 • L'équation de Schrödinger dans R x Rn
- 1. Le problème de Cauchy152
- 1.1. Donnée dans S'(Rn)152
- 1.2. Donnée dans S(Rn)154
- 1.3. Donnée dans Hs(Rn)154
- 1.4. Forme de la solution155
- 1.5. Décroissance à l'infini de la solution157
- Chapitre 13 • Théorie spectrale du problème de Dirichlet pour le Laplacien
- 1. Théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints, compacts159
- 1.1. Spectre159
- 1.2. Adjoint159
- 1.3. Opérateurs positifs160
- 1.4. Opérateurs compacts160
- 2. Application à la théorie spectrale du Laplacien163
- 3. Application au problème mixte165
- 3.1. L'équation de la chaleur166
- 3.2. L'équation des ondes170
- 4. La formule de Weyl173
- 4.1. Étude du noyau de la chaleur178
- 4.2. Comparaison de p et k182
- Chapitre 14 • Problèmes
- 1. Énoncés187
- 2. Solutions203
- Bibliographie225
- Notations227
- Index229
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Origine de la notice:
- Abes ;
- Electre ;
- Electre
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