Cours de géométrie à l'usage des (futurs) enseignants

Auteur(s) :

Allart, Boris

Autre(s) auteur(s)
- Bkouche, Rudolph (1934-2016)
Éditeur(s)
- Ellipses
- Impr. CPI Firmin-Didot
Date
- DL 2019
Notes
- Bibliogr. p. 681-682. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 vol. (XVII-688 p.) : ill. ; 24 cm
Collections
- Références sciences
Sujet(s)
- Géométrie
ISBN
- 978-2-340-02961-3
Indice
- 513 Géométrie
Quatrième de couverture
- Cours de géométrie à l'usage des (futurs) enseignants
  Cet ouvrage s'adresse aux professeurs de mathématiques du secondaire ainsi qu'aux étudiants préparant le CAPES ou l'agrégation de mathématiques. Les auteurs ont pour but de faire le lien entre les traités classiques de géométrie, inspirés par les éléments d'Euclide, et les traités modernes, présentant la géométrie comme un chapitre de l'algèbre linéaire.
  Pour cela, ils développent une axiomatique basée sur l'idée d'égalité par superposition, faisant intervenir la notion de drapeau. Celle-ci leur permet de construire les grandeurs géométriques, la mesure, les isométries, puis les outils algébriques tels que les groupes de transformations ou les espaces vectoriels. Les cas d'égalité des triangles, récemment réintroduits dans l'enseignement secondaire, jouent un rôle fondamental dans cette construction.
  L'ouvrage est divisé en trois parties : la première est consacrée à la géométrie absolue, c'est-à-dire sans le postulat des parallèle. La seconde est consacrée à la géométrie euclidienne, et la dernière à la géométrie de Lobatchevski.
  De nombreux exercices complètent l'exposé.
Tables des matières
- - Cours de géométrie à l'usage des (futurs) enseignants
  - Boris Allart
  - Rudolf Bkouche
  - ellipses
  - I Géométrie absolue1
  - 1 Géométrie ordonnée 3
  - 1.1 Axiomes d'incidence3
  - 1.1.1 Entre un point et une droite3
  - 1.1.2 Entre un point et un plan4
  - 1.1.3 Entre une droite et un plan4
  - 1.1.4 Entre deux droites4
  - 1.1.5 Entre deux plans5
  - 1.2 Axiomes d'ordre6
  - 1.3 Demi-plan, demi-droite, demi-espace8
  - 1.3.1 Demi-plan8
  - 1.3.2 Demi-droite10
  - 1.3.3 Demi-espace11
  - 1.4 Orientation12
  - 1.4.1 D'une droite12
  - 1.4.2 D'un plan14
  - 1.4.3 De l'espace18
  - 1.5 Convexité26
  - 2 Longueurs 27
  - 2.1 Longueurs et déplacement de demi-droites27
  - 2.1.1 Axiomes de déplacement27
  - 2.1.2 Définition des longueurs28
  - 2.2 Ordre et opérations29
  - 2.2.1 Ordre29
  - 2.2.2 Addition30
  - 2.2.3 Soustraction31
  - 2.3 Vecteurs d'une droite32
  - 2.3.1 Equipollence32
  - 2.3.2 Addition33
  - 2.3.3 Multiplication par un entier relatif34
  - 2.4 Isométries de droites36
  - 2.4.1 Propriétés générales36
  - 2.4.2 Le groupe des isométries d'une droite38
  - 3 Angles et triangles 41
  - 3.1 Angle figure41
  - 3.1.1 Définition des angles et des triangles41
  - 3.1.2 Intérieur d'un angle, d'un triangle41
  - 3.2 Angle grandeur43
  - 3.2.1 Axiomes de déplacement43
  - 3.2.2 Définition d'un angle grandeur45
  - 3.2.3 Coordonnées polaires46
  - 3.3 Deux cas d'égalité des triangles47
  - 3.4 Ordre et opérations sur les angles48
  - 3.4.1 Ordre48
  - 3.4.2 Addition51
  - 3.4.3 Soustraction58
  - 3.5 Angles et sécante59
  - 3.6 Angles droits61
  - 3.7 Inégalités dans un triangle63
  - 3.7.1 Dans un triangle quelconque63
  - 3.7.2 Dans un triangle rectangle66
  - 3.8 Autres cas d'égalité des triangles67
  - 3.9 Diviser par deux les longueurs et les angles70
  - 3.9.1 Milieu71
  - 3.9.2 Bissectrices72
  - 4 Orthogonalité 77
  - 4.1 Droites perpendiculaires77
  - 4.1.1 Rappels77
  - 4.1.2 Médiatrice77
  - 4.1.3 Quadrilatère de Khayyam78
  - 4.2 Droite perpendiculaire à un plan80
  - 4.2.1 Définition80
  - 4.2.2 Plan perpendiculaire à une droite donnée82
  - 4.2.3 Plan médiateur83
  - 4.2.4 Droite perpendiculaire à un plan donné84
  - 4.3 Projection orthogonale85
  - 4.3.1 Définition et propriétés85
  - 4.3.2 Caractérisation des angles aigus88
  - 4.3.3 Caractérisation des bissectrices88
  - 4.4 Droites orthogonales90
  - 4.5 Rectiligne d'un dièdre91
  - 4.6 Plans perpendiculaires93
  - 5 Cercles 95
  - 5.1 Quelques définitions95
  - 5.2 Problèmes d'intersection96
  - 5.3 Cercles circonscrits, inscrits, exinscrits99
  - 5.4 Quelques inégalités102
  - 5.5 Arcs de cercle105
  - 5.5.1 La figure105
  - 5.5.2 Égalité d'arcs107
  - 5.5.3 Addition109
  - 5.5.4 Ordre sur les arcs112
  - 5.5.5 Soustraction112
  - 6 Polygones 115
  - 6.1 Quelques définitions115
  - 6.1.1 Ligne polygonale115
  - 6.1.2 Polygone115
  - 6.2 Les polygones convexes116
  - 6.2.1 Définition116
  - 6.2.2 Intérieur d'un polygone convexe117
  - 6.2.3 Convexité des quadrilatères119
  - 6.2.4 Convexité des polygones inscriptibles dans un cercle121
  - 6.2.5 Inégalités périmétriques124
  - 6.3 Les polygones simples128
  - 6.3.1 Simplicité, transversalité129
  - 6.3.2 Théorème d'équiparité131
  - 6.3.3 Faces d'un polygone simple135
  - 6.3.4 Intérieur et extérieur d'un polygone simple139
  - 6.3.5 Problèmes d'inclusion, triligne143
  - 6.4 Critère angulaire de convexité152
  - 6.5 Triangulation d'un polygone simple163
  - 6.6 Formule d'Euler pour les graphes plans165
  - 7 Isométries planes 171
  - 7.1 Propriétés générales171
  - 7.2 Le groupe des isométries d'un plan173
  - 7.3 Symétries175
  - 7.3.1 Symétrie axiale175
  - 7.3.2 Symétrie centrale179
  - 7.3.3 Isométries involutives180
  - 7.4 Glissements181
  - 7.5 Rotations182
  - 7.5.1 Définition des rotations182
  - 7.5.2 Groupe des rotations de même centre182
  - 7.5.3 Définition des angles orientés184
  - 7.5.4 Angle d'une rotation186
  - 7.5.5 Groupe des angles orientés187
  - 7.5.6 Angles orientés de droites192
  - 7.5.7 Arcs orientés195
  - 7.6 Isométries planes et polygones réguliers196
  - 7.6.1 Sous-groupes finis d'angles orientés196
  - 7.6.2 Polygones réguliers203
  - 7.6.3 Polygones réguliers convexes207
  - 7.6.4 Groupe diédral209
  - 7.7 Isométries et faisceaux de droites210
  - 7.7.1 Classification des isométries planes210
  - 7.7.2 Conjugaison d'une symétrie par une symétrie axiale212
  - 7.7.3 Suite proportionnelle de droites214
  - 7.7.4 Droites liées216
  - 7.7.5 Théorème de Hjelmslev, théorème de transitivité219
  - 7.7.6 Faisceaux de droites224
  - 7.7.7 Droites remarquables d'un triangle226
  - 7.7.8 Théorème d'antiappariement229
  - 8 Isométries de l'espace 235
  - 8.1 Le groupe des isométries de l'espace235
  - 8.2 Symétrie par rapport à un plan240
  - 8.3 Glissements de l'espace242
  - 8.4 Rotations de l'espace244
  - 8.4.1 Définition et lien avec les rotations planes244
  - 8.4.2 Groupe des rotations de même axe247
  - 8.4.3 Demi-tours248
  - 8.5 Groupe des isométries fixant un point251
  - 9 Géométrie sphérique 253
  - 9.1 Quelques définitions253
  - 9.2 Problèmes d'intersection254
  - 9.3 Incidence et ordre sur la sphère256
  - 9.4 Grandeurs sphériques258
  - 9.4.1 Longueurs sphériques258
  - 9.4.2 Angles sphériques259
  - 9.4.3 s-milieu, s-médiatrice, s-bissectrice260
  - 9.5 Cercles sur une sphère262
  - 9.6 Isométries de la sphère265
  - 9.6.1 Isométries induites265
  - 9.6.2 Trois cas d'égalité des triangles sphériques266
  - 9.6.3 Le groupe des isométries de la sphère267
  - 9.7 Polarité et quatrième cas d'égalité269
  - 9.8 Polygones sphériques272
  - 9.8.1 Les polygones sphériques convexes273
  - 9.8.2 Faces d'un polygone sphérique simple275
  - 9.8.3 Triligne sphérique277
  - 9.8.4 Formule d'Euler pour les graphes sphériques280
  - 10 Polyèdres 285
  - 10.1 Quelques définitions285
  - 10.2 Cas d'égalité des trièdres286
  - 10.3 Convexité287
  - 10.4 Les 5 polyèdres réguliers convexes289
  - 10.5 Polyèdres et groupes finis d'isométries292
  - 10.6 Exercices308
  - 11 Grandeurs 309
  - 11.1 Type de grandeur309
  - 11.1.1 Propriétés générales310
  - 11.1.2 Type de grandeur archimédien318
  - 11.1.3 Type de grandeur continu324
  - 11.1.4 Correspondances328
  - 11.2 Géométrie archimédienne331
  - 11.2.1 Conséquences pour les angles331
  - 11.2.2 Quadrilatères de Khayyam et d'Al Haytham337
  - 11.2.3 Conséquences pour les arcs339
  - 11.2.4 Conséquences pour la sphère340
  - 11.2.5 Mesure algébrique des grandeurs orientées346
  - 11.2.6 Couples et triangles euclidiens348
  - 11.3 Géométrie continue355
  - 11.3.1 Continuité des grandeurs355
  - 11.3.2 Longueur d'un arc356
  - 11.3.3 Problèmes d'intersection362
  - 11.3.4 Polygones et polyèdres réguliers convexes367
  - 11.3.5 Parallèle limite371
  - II Géométrie euclidienne373
  - 12 Parallélisme 375
  - 12.1 Angles alternes internes375
  - 12.2 Directions377
  - 12.2.1 De droites377
  - 12.2.2 De plans378
  - 12.2.3 Orthogonalité379
  - 12.3 Parallélogrammes383
  - 12.3.1 Diverses définitions équivalentes383
  - 12.3.2 Rectangle384
  - 12.3.3 Losange386
  - 12.3.4 Carré386
  - 12.3.5 Axes de symétrie386
  - 12.3.6 Parallélépipède386
  - 12.4 Classification des isométries387
  - 12.4.1 Compléments sur les glissements387
  - 12.4.2 Classification des isométries planes388
  - 12.4.3 Classification des isométries de l'espace390
  - 12.4.4 Isométries conservant les directions391
  - 12.5 Droite des milieux, médianes392
  - 12.6 Angles de directions394
  - 12.7 Exercices395
  - 13 Proportions 399
  - 13.1 Orientation d'une direction et mesure algébrique399
  - 13.2 Proportions et projections401
  - 13.2.1 Projection suivant une direction401
  - 13.2.2 Théorème de Thalès403
  - 13.2.3 Projection centrale et birapport405
  - 13.3 Triangles semblables407
  - 13.4 Relations dans un triangle rectangle409
  - 13.5 Le corps des scalaires410
  - 13.6 Coordonnées cartésiennes411
  - 13.7 Points divisant un segment412
  - 13.7.1 Dans un rapport donné412
  - 13.7.2 Division harmonique414
  - 13.7.3 Le nombre d'or420
  - 13.8 Alignement et concours421
  - 14 Aires 425
  - 14.1 Définition des aires425
  - 14.2 Triangles, parallélogrammes, rectangles426
  - 14.3 Addition429
  - 14.4 Ordre432
  - 14.5 Soustraction433
  - 14.6 Mesure435
  - 14.7 Quelques applications437
  - 15 Cercles 441
  - 15.1 Problèmes d'intersection441
  - 15.2 Cercles circonscrits, inscrits, exinscrits443
  - 15.3 Cercle d'Apollonius444
  - 15.4 Angle inscrit445
  - 15.5 Conditions de cocyclicité452
  - 15.5.1 Condition angulaire452
  - 15.5.2 Conditions métriques453
  - 15.6 Tangentes457
  - 15.7 Quelques constructions de polygones réguliers458
  - 15.7.1 n = 3 et AB est donné458
  - 15.7.2 n = 4458
  - 15.7.3 n = 6459
  - 15.7.4 n = 3 et C est donné460
  - 15.7.5 n = 5460
  - 15.8 Périmètre et aire462
  - 15.8.1 Périmètre462
  - 15.8.2 Aire465
  - 15.9 Exercices466
  - 16 Trigonométrie 471
  - 16.1 Cas des angles grandeur471
  - 16.1.1 Définition des lignes trigonométriques471
  - 16.1.2 Supplémentaire, complémentaire474
  - 16.1.3 Quelques valeurs475
  - 16.2 Relations métriques dans le triangle476
  - 16.3 Cas des angles orientés478
  - 16.3.1 Définition des lignes trigonométriques478
  - 16.3.2 Cercle trigonométrique479
  - 16.3.3 Addition d'un angle droit ou plat481
  - 16.3.4 Formules d'addition482
  - 16.4 Fonctions trigonométriques483
  - 16.4.1 Mesure des angles en radians483
  - 16.4.2 Définition des fonctions trigonométriques486
  - 16.4.3 Dérivabilité486
  - 16.4.4 Fonctions réciproques487
  - 16.4.5 Calcul de π488
  - 16.5 Exercices489
  - 17 Vecteurs 491
  - 17.1 Structure d'espace vectoriel491
  - 17.1.1 La relation d'équipollence491
  - 17.1.2 Addition492
  - 17.1.3 Multiplication par un scalaire494
  - 17.1.4 Sous-espaces vectoriels494
  - 17.2 Calcul barycentrique497
  - 17.2.1 Définition du barycentre497
  - 17.2.2 Calcul sur les points498
  - 17.2.3 Isobarycentre499
  - 17.2.4 Coordonnées barycentriques500
  - 17.2.5 Alignement et concours501
  - 17.2.6 Convexité505
  - 17.3 Algèbre linéaire507
  - 17.3.1 bases, matrices508
  - 17.3.2 Applications linéaires510
  - 17.3.3 Déterminants513
  - 17.3.4 Coordonnées cartésiennes517
  - 17.3.5 Applications affines519
  - 17.4 Calcul vectoriel métrique524
  - 17.4.1 Produit scalaire524
  - 17.4.2 Isométries528
  - 17.4.3 Similitudes535
  - 17.4.4 Produit vectoriel542
  - 17.4.5 Trigonométrie sphérique544
  - 17.5 Exercices546
  - 18 Géométrie anallagmatique 553
  - 18.1 Orthogonalité553
  - 18.2 Faisceaux555
  - 18.2.1 Axe radical de deux cercles555
  - 18.2.2 Faisceau de cercles556
  - 18.2.3 Conjugaison558
  - 18.2.4 Faisceau de sphères559
  - 18.3 Birapport de quatre points cocycliques560
  - 18.4 Propriétés harmoniques562
  - 18.4.1 Polarité par rapport à un cercle562
  - 18.4.2 Division harmonique sur un cercle568
  - 18.4.3 Polarité par rapport à une sphère569
  - 18.5 Inversion569
  - 18.5.1 Définition569
  - 18.5.2 Points inverses par rapport à un cercle, une sphère570
  - 18.5.3 Image d'une droite, d'un cercle, d'un plan, d'une sphère571
  - 18.5.4 Action sur les longueurs, les angles573
  - 18.5.5 Invariant anallagmatique575
  - 18.6 Groupe circulaire577
  - 18.6.1 Plan anallagmatique et transformations circulaires577
  - 18.6.2 Générateurs580
  - 18.6.3 Forme réduite d'une transformation circulaire584
  - 18.7 Exercices586
  - III Géométrie de Lobatchevsky589
  - 19 Incidence, longueurs et angles 591
  - 19.1 Parallèles limites591
  - 19.1.1 Axiome de Lobatchevsky591
  - 19.1.2 Les bouts592
  - 19.1.3 Angle de parallélisme598
  - 19.2 Quelques inégalités599
  - 19.2.1 Angles alternes internes599
  - 19.2.2 Quadrilatères de Khayyam et d'Al Haytham600
  - 19.2.3 Somme des angles d'un triangle601
  - 19.2.4 Quadrilatère ayant deux angles droits603
  - 19.2.5 Projection orthogonale604
  - 19.3 Position relative de deux droites605
  - 19.4 Triangles limites de première espèce606
  - 19.5 Surjectivité de l'angle de parallélisme608
  - 19.6 Triangles limites de seconde espèce611
  - 19.7 Triangles limites de troisième espèce612
  - 20 Isométries, bouts et faisceaux 615
  - 20.1 Classification615
  - 20.1.1 Des isométries directes615
  - 20.1.2 Des faisceaux616
  - 20.1.3 Groupe des rotations généralisées de même centre617
  - 20.2 Isométries conservant un faisceau618
  - 20.2.1 Faisceau elliptique618
  - 20.2.2 Faisceau hyperbolique618
  - 20.2.3 Faisceau parabolique619
  - 20.3 Équidistantes620
  - 20.4 Horicycles621
  - 20.4.1 Définition621
  - 20.4.2 Problèmes d'intersection621
  - 20.4.3 Arcs d'horicycle623
  - 20.4.4 Longueurs d'arc625
  - 21 Modèle de Poincaré 627
  - 21.1 Axiomes d'incidence628
  - 21.2 Axiomes d'ordre628
  - 21.3 Axiomes de déplacement633
  - 21.4 Axiomes des grandeurs636
  - 21.5 Axiome de Lobatchevsky637
  - 21.6 Expression de l'angle de parallélisme639
  - 22 Arithmétique des bouts 641
  - 22.1 Le corps des bouts641
  - 22.1.1 Addition641
  - 22.1.2 Ordre642
  - 22.1.3 Multiplication643
  - 22.1.4 Le corps des bouts644
  - 22.2 Isométries et homographies645
  - 22.2.1 Le groupe des homographies645
  - 22.2.2 Homographie induite par une isométrie646
  - 22.2.3 Bouts fixes d'une homographie648
  - 22.2.4 Involutions, faisceaux, équation tangentielle d'un point649
  - 22.2.5 Rotations652
  - 22.3 Coordonnées653
  - 22.3.1 Coordonnées (pseudo)-orthogonales, (pseudo)-polaires653
  - 22.3.2 Relations654
  - 22.3.3 Coordonnées de Poincaré657
  - 22.4 Trigonométrie659
  - 22.4.1 Définition des fonctions trigonométriques659
  - 22.4.2 Relations trigonométriques entre coordonnées660
  - 22.4.3 Relations métriques dans un triangle rectangle661
  - 22.4.4 Relations métriques dans un triangle quelconque662
  - 22.5 Quelques applications663
  - 22.5.1 Construction de la l-parallèle663
  - 22.5.2 Orthocentre665
  - A Liste des axiomes667
  - A.1 Axiomes d'incidence667
  - A.2 Axiomes d'ordre667
  - A.3 Axiomes de déplacement668
  - A.4 Axiomes des grandeurs669
  - A.5 Axiomes de parallélisme669
  - A.6 Axiomes de la géométrie absolue669
  - A.7 Axiomes de la géométrie euclidienne669
  - A. 8 Axiomes de la géométrie de Lobatchevsky670
  - B Note sur la construction des réels671
  - B.1 Ordre671
  - B.2 Addition672
  - B.3 Multiplication672
  - B.4 Le corps des réels673
  - B.5 Valeur approchée673
Origine de la notice:
- FR-751131015