Méthodes numériques et optimisation : théorie et pratique pour l'ingénieur

Auteur(s) :

Corriou, Jean-Pierre Découvrir l'auteur

Résumé

Panorama des méthodes et techniques d'optimisation comme l'interpolation et l'approximation, l'intégration numérique, les méthodes analytiques et numériques d'optimisation ou la programmation linéaire. Des exemples et des exercices ponctuent l'ouvrage. ©Electre 2022

Éditeur(s)
- Ellipses
Date
- DL 2022
Notes
- Bibliogr. Index
Langues
- Français
Description matérielle
- 1 volume (XVII-670 p.) : ill., couv. ill. en coul. ; 24 cm
Collections
- Collection Formations & techniques
Autre(s) édition(s)
- Méthodes numériques et optimisation :
Sujet(s)
ISBN
- 978-2-3400-7323-4
Indice
- 519.8 Mathématiques appliquées, physique mathématique
Quatrième de couverture
- Cet ouvrage présente une synthèse de l'essentiel des méthodes numériques et d'optimisation sous un angle théorique et pratique, et présentées de manière progressive. Le lecteur bénéficie ainsi sous une forme accessible d'une aide détaillée destinée à répondre à un grand nombre de ses questions et problèmes de nature numérique.
  Les principales méthodes sont présentées dans cet ouvrage : interpolation et approximation ; intégration numérique ; résolution d'équations par des méthodes itératives ; opérations numériques sur les matrices ; résolution des systèmes d'équations algébriques ; intégration numérique des équations différentielles ordinaires ; intégration numérique des équations aux dérivées partielles ; méthodes analytiques d'optimisation ; méthodes numériques d'optimisation ; programmation linéaire ; optimisation quadratique et non linéaire ; optimisation dynamique.
  Proposant des exemples, des exercices et des explications détaillées, ce livre est destiné aux enseignants, chercheurs, ingénieurs, ainsi qu'aux étudiants en université et écoles d'ingénieurs. Ils y trouveront des algorithmes et des applications couvrant la très grande majorité des problèmes physiques devant être résolus numériquement. Un très large ensemble de programmes écrits en Matlab™ correspondant aux exemples du livre sont disponibles sur la page web de l'auteur : http://jp.corriou.free.fr.
Tables des matières
- - Avant-propos iii
  - Remerciements v
  - Table des matières vii
  - Nomenclature xv
  - 1 Interpolation et approximation1
  - 1.1 Introduction1
  - 1.2 Approximation d'une fonction par une autre fonction1
  - 1.2.1 Fonctions d'approximation1
  - 1.2.2 Approximation polynomiale2
  - 1.3 Détermination des polynômes d'interpolation4
  - 1.3.1 Calcul du polynôme d'interpolation4
  - 1.3.2 Polynôme d'interpolation de Newton4
  - 1.3.3 Polynôme d'interpolation de Lagrange8
  - 1.3.4 Interpolation polynomiale avec des points régulièrement espacés10
  - 1.3.5 Polynômes de Hermite13
  - 1.3.6 Polynômes de Chebyshev et points irrégulièrement espacés14
  - 1.3.7 Interpolation par polynôme cubique de Hermite19
  - 1.3.8 Interpolation par fonctions splines23
  - 1.3.9 Interpolation par des courbes splines paramétriques28
  - 1.4 Courbes de Bézier28
  - 1.5 Discussion et conclusion31
  - 1.6 Exercices32
  - 2 Intégration numérique43
  - 2.1 Introduction43
  - 2.2 Formules d'intégration de Newton et Cotes fermées43
  - 2.2.1 Intégration globale sur l'intervalle [a, b]43
  - 2.2.2 Intégration sur des sous-intervalles46
  - 2.3 Formules d'intégration de Newton et Cotes ouvertes48
  - 2.4 Conclusions sur les formules d'intégration de Newton et Cotes49
  - 2.5 Intégration répétée par dichotomie et intégration de Romberg49
  - 2.6 Intégration numérique avec des points irrégulièrement espacés52
  - 2.6.1 Rappels sur les polynômes orthogonaux53
  - 2.6.2 Quadrature de Gauss-Legendre56
  - 2.6.3 Quadrature de Gauss-Laguerre60
  - 2.6.4 Quadrature de Gauss-Chebyshev60
  - 2.6.5 Quadrature de Gauss-Hermite60
  - 2.7 Discussion et conclusion60
  - 2.8 Exercices61
  - 3 Résolution d'équations par des méthodes itératives65
  - 3.1 Introduction65
  - 3.2 Méthode de Graeffe66
  - 3.3 Méthode de Bernoulli67
  - 3.4 Méthode de Bairstow70
  - 3.5 Existence d'une racine d'une fonction74
  - 3.6 Méthodes de dichotomie et regula falsi74
  - 3.6.1 Méthode de dichotomie75
  - 3.6.2 Méthode regula falsi75
  - 3.7 Méthode des substitutions successives77
  - 3.8 Méthode de Newton et méthodes dérivées79
  - 3.8.1 Méthode de Newton79
  - 3.8.2 Méthode de la sécante83
  - 3.9 Méthode de Wegstein85
  - 3.10 Méthode de Aitken87
  - 3.11 Méthode d'homotopie88
  - 3.11.1 Introduction88
  - 3.11.2 Méthode de continuation88
  - 3.12 Discussion et conclusion93
  - 3.13 Exercices94
  - 4 Opérations numériques sur les matrices101
  - 4.1 Introduction101
  - 4.2 Rappels sur les matrices101
  - 4.3 Rappels sur les vecteurs103
  - 4.4 Transformations linéaires et sous-espaces105
  - 4.4.1 Théorème de Gershgorin107
  - 4.4.2 Théorème de Cayley-Hamilton et conséquences108
  - 4.4.3 Méthode de la puissance109
  - 4.5 Matrices semblables et polynômes de matrices111
  - 4.6 Matrices symétriques et matrices hermitiennes112
  - 4.7 Réduction de matrices sous une forme plus simple116
  - 4.8 Méthode LR de Rutishauser117
  - 4.9 Méthode de Householder120
  - 4.10 Méthode QR de Francis125
  - 4.11 Discussion et conclusion135
  - 4.12 Exercices135
  - 5 Résolution des systèmes d'équations algébriques141
  - 5.1 Introduction141
  - 5.2 Résolution de systèmes linéaires triangulaires141
  - 5.3 Résolution de systèmes linéaires : méthode d'élimination de Gauss142
  - 5.4 Calcul du déterminant d'une matrice149
  - 5.5 Algorithme de Gauss-Jordan149
  - 5.6 Factorisation LDL^T153
  - 5.7 Décomposition de Cholesky153
  - 5.8 Décomposition en valeurs singulières155
  - 5.9 Méthode des moindres carrés pour les systèmes linéaires sur-déterminés157
  - 5.10 Résolution itérative de grands systèmes linéaires (Jacobi, Gauss-Seidel)159
  - 5.11 Résolution de systèmes linéaires : cas d'une matrice tridiagonale163
  - 5.12 Résolution de systèmes non linéaires : méthode de Newton-Raphson164
  - 5.13 Résolution de systèmes non linéaires par optimisation166
  - 5.14 Discussion et conclusion168
  - 5.15 Exercices168
  - 6 Intégration numérique des équations différentielles ordinaires177
  - 6.1 Introduction177
  - 6.1.1 Equations différentielles linéaires et non-linéaires178
  - 6.1.2 Unicité de la solution179
  - 6.2 Problèmes à valeur initiale179
  - 6.2.1 Méthodes à un pas180
  - 6.2.2 Méthodes à pas multiples195
  - 6.2.3 Formules d'intégration ouvertes195
  - 6.3 Stabilité des méthodes d'intégration numérique202
  - 6.4 Cas des systèmes raides205
  - 6.5 Systèmes algébro-différentiels206
  - 6.6 Equations différentielles à frontières multiples208
  - 6.7 Discussion et conclusion209
  - 6.8 Exercices209
  - 7 Intégration numérique des équations aux dérivées partielles223
  - 7.1 Introduction223
  - 7.2 Quelques exemples de systèmes physiques223
  - 7.2.1 Transfert de chaleur par conduction224
  - 7.2.2 Transfert de matière par diffusion225
  - 7.2.3 Equation des ondes225
  - 7.2.4 Equation de Laplace226
  - 7.3 Propriétés des équations aux dérivées partielles226
  - 7.3.1 Généralités226
  - 7.3.2 Problème bien posé227
  - 7.3.3 Classification228
  - 7.3.4 Caractérisation des solutions228
  - 7.4 Méthode des caractéristiques229
  - 7.4.1 Equation aux dérivées partielles linéaire de premier ordre229
  - 7.4.2 Equation aux dérivées partielles non linéaire de premier ordre236
  - 7.4.3 Equation aux dérivées partielles quasi-linéaire de second ordre236
  - 7.5 Méthode des différences finies239
  - 7.5.1 Introduction239
  - 7.5.2 Discrétisation239
  - 7.6 Calcul automatique des dérivées partielles264
  - 7.6.1 Calcul de (∂u/∂x)₀ et (∂u/∂x)_N264
  - 7.6.2 Calcul de (∂²u/∂x²)₀ et (∂²u/∂x²)_N266
  - 7.6.3 Quelques autres schémas de différentiation268
  - 7.6.4 Dérivation numérique par les nombres complexes269
  - 7.7 Méthode des lignes271
  - 7.7.1 Cas de conditions aux limites de Dirichlet271
  - 7.7.2 Cas de conditions aux limites de Neumann272
  - 7.7.3 Application to the simulation of a heat exchanger274
  - 7.8 Différences finies sur un maillage irrégulier277
  - 7.9 Résolution d'une équation aux dérivées partielles par les splines278
  - 7.10 Méthodes spectrales282
  - 7.10.1 Méthode des résidus pondérés282
  - 7.10.2 Fonctions radiales de base284
  - 7.10.3 Collocation polynomiale, ODE à valeur initiale290
  - 7.10.4 Résidus pondérés, ODE à conditions aux limites291
  - 7.10.5 Résidus pondérés, équation aux dérivées partielles297
  - 7.11 Maillage mobile300
  - 7.11.1 Théorie301
  - 7.11.2 Test sur une fonction analytique303
  - 7.11.3 Implémentation sur des problèmes physiques304
  - 7.11.4 Brève présentation du cadre de travail général306
  - 7.11.5 Application : chromatographie en phase liquide, équilibre307
  - 7.11.6 Application : chromatographie en phase liquide, LDF rigoureux308
  - 7.12 Méthode des volumes finis310
  - 7.12.1 Introduction310
  - 7.12.2 Maillage312
  - 7.12.3 Intégration sur un volume de contrôle quelconque314
  - 7.12.4 Prise en compte des conditions aux limites à gauche316
  - 7.12.5 Prise en compte des conditions aux limites à droite320
  - 7.12.6 Deux milieux solides en contact, conductivités différentes322
  - 7.12.7 Résolution numérique323
  - 7.12.8 Problème bidimensionnel328
  - 7.12.9 Extension au cas des écoulements328
  - 7.12.10 Conservation appliquée à un volume de contrôle329
  - 7.12.11 Algorithme SIMPLER330
  - 7.13 Méthode des éléments finis331
  - 7.13.1 Etape 1 : Eléments et noeuds333
  - 7.13.2 Etape 2 : Fonctions d'interpolation polynomiales334
  - 7.13.3 Etapes 3-4 : matrices de conductance, vecteurs nodaux de flux337
  - 7.13.4 Convergence, compatibilité, complétude364
  - 7.13.5 Cas des systèmes dynamiques365
  - 7.13.6 Transfert de chaleur et transport de fluide dans un tube371
  - 7.13.7 Ecoulement dans un milieu poreux378
  - 7.13.8 Diffusion - Réaction chimique378
  - 7.13.9 Mécanique des fluides381
  - 7.13.10Formulation bidimensionnelle (2D)384
  - 7.13.11 Exemples de simulations 2D et 3D387
  - 7.14 Méthode des éléments de frontière391
  - 7.14.1 Préliminaires mathématiques392
  - 7.14.2 Problèmes de potentiel393
  - 7.14.3 Méthode de la fonction de Green395
  - 7.14.4 Méthode analytique-numérique des éléments de frontière400
  - 7.14.5 Méthode des éléments de frontière en transfert de chaleur 2D406
  - 7.15 Discussion et conclusion412
  - 7.16 Exercices413
  - 8 Méthodes analytiques d'optimisation427
  - 8.1 Introduction427
  - 8.2 Quelques rappels mathématiques427
  - 8.3 Introduction428
  - 8.4 Fonctions d'une seule variable429
  - 8.4.1 Intervalle infini429
  - 8.4.2 Intervalle fini433
  - 8.4.3 Présence de discontinuités433
  - 8.5 Fonctions de plusieurs variables434
  - 8.5.1 Intervalle infini434
  - 8.5.2 Intervalle fini434
  - 8.5.3 Présence de discontinuités434
  - 8.6 Fonction soumise à des contraintes d'égalité435
  - 8.6.1 Méthode de Jacobi435
  - 8.6.2 Multiplicateurs de Lagrange437
  - 8.6.3 Signification des multiplicateurs de Lagrange439
  - 8.6.4 Conditions de minimum439
  - 8.6.5 Minimum, gradient projeté, contraintes d'égalité439
  - 8.7 Fonction soumise à des contraintes d'inégalité444
  - 8.7.1 Utilisation de variables d'écart444
  - 8.7.2 Paramètres de Karush-Kuhn-Tucker445
  - 8.7.3 Minimum, gradient projeté, contraintes d'inégalité449
  - 8.8 Fonction soumise à des contraintes d'égalité et d'inégalité454
  - 8.8.1 Position du problème454
  - 8.8.2 Dualité de Lagrange456
  - 8.9 Analyse de sensibilité456
  - 8.10 Discussion et conclusion458
  - 8.11 Exercices458
  - 9 Méthodes numériques d'optimisation473
  - 9.1 Introduction473
  - 9.2 Fonctions d'une seule variable473
  - 9.2.1 Méthode de dichotomie473
  - 9.2.2 Méthode de Newton474
  - 9.2.3 Méthode de Fibonacci476
  - 9.3 Fonctions de plusieurs variables478
  - 9.4 Méthodes de recherche directe479
  - 9.4.1 Recherche simple monovariable479
  - 9.4.2 Méthode du simplexe480
  - 9.4.3 Méthodes d'accélération481
  - 9.4.4 Simplexe de Nelder-Mead485
  - 9.4.5 Méthode du complexe de Box488
  - 9.4.6 Algorithme génétique491
  - 9.5 Méthodes de gradient495
  - 9.5.1 Cas d'une fonction quadratique495
  - 9.5.2 Cas d'une fonction non quadratique498
  - 9.5.3 Méthode de la plus grande pente499
  - 9.5.4 Problème de la recherche dans une direction s donnée500
  - 9.5.5 Méthode des gradients conjugués504
  - 9.5.6 Méthode de Newton-Raphson511
  - 9.5.7 Méthode de quasi-Newton515
  - 9.5.8 Méthodes pour les sommes de carrés519
  - 9.5.9 Méthode de Gauss-Newton520
  - 9.5.10 Méthode de Levenberg-Marquardt521
  - 9.5.11 Approximation de quasi-Newton524
  - 9.5.12 Systèmes d'équations non linéaires525
  - 9.6 Discussion et conclusion525
  - 9.7 Exercices526
  - 10 Programmation linéaire537
  - 10.1 Introduction537
  - 10.2 Formulation du problème à partir d'exemples538
  - 10.2.1 Utilisation de variables d'écart538
  - 10.2.2 Utilisation de variables d'écart et de variables artificielles539
  - 10.2.3 Conditions d'optimalité540
  - 10.3 Résolution du problème, tableau du simplexe541
  - 10.3.1 Interprétation géométrique de l'exemple 10.1541
  - 10.3.2 Tableau du simplexe avec variables d'écart et artificielles546
  - 10.4 Solution théorique549
  - 10.5 Cas de contraintes simultanées d'inégalité et d'égalité553
  - 10.6 Dualité556
  - 10.6.1 Exemple de dualité556
  - 10.6.2 Démonstration du théorème de dualité557
  - 10.6.3 Lagrangian based demonstration of duality561
  - 10.7 Méthodes de point intérieur564
  - 10.7.1 Méthode de projection de Karmarkar564
  - 10.7.2 Transformation affine570
  - 10.8 Discussion et conclusion573
  - 10.9 Exercices574
  - 11 Optimisation quadratique et non linéaire583
  - 11.1 Introduction583
  - 11.2 Optimisation quadratique, Karush-Kuhn-Tucker, simplexe584
  - 11.2.1 Première présentation584
  - 11.2.2 Deuxième présentation584
  - 11.2.3 Solution sous forme d'un problème de simplexe584
  - 11.3 Optimisation quadratique, méthode de barrière586
  - 11.4 Optimisation non linéaire par optimisation quadratique successive590
  - 11.4.1 Introduction590
  - 11.4.2 Notion de région possible et de cône tangent591
  - 11.4.3 Optimisation quadratique successive592
  - 11.4.4 Spécificités et difficultés du problème SQP596
  - 11.5 Discussion et conclusion602
  - 11.6 Exercices602
  - 12 Optimisation dynamique611
  - 12.1 Introduction611
  - 12.2 Position du problème612
  - 12.3 Méthode variationnelle classique dans le cadre mathématique615
  - 12.3.1 Variation du critère615
  - 12.3.2 Problème variationnel sans contraintes, à limites fixes617
  - 12.3.3 Problème variationnel avec contraintes, cas général617
  - 12.3.4 Equation de Hamilton-Jacobi620
  - 12.4 Optimisation dynamique en temps continu622
  - 12.4.1 Méthodes variationnelles622
  - 12.4.2 Variation du critère622
  - 12.4.3 Equation et conditions d'Euler624
  - 12.4.4 Condition de Weierstrass et maximisation de l'hamiltonien626
  - 12.4.5 Equation et conditions de Hamilton-Jacobi627
  - 12.4.6 Principe du maximum630
  - 12.4.7 Arcs singuliers632
  - 12.4.8 Problèmes numériques638
  - 12.5 Programmation dynamique (temps discret)643
  - 12.5.1 Programmation dynamique classique643
  - 12.5.2 Equation de Hamilton-Jacobi-Bellman651
  - 12.6 Conclusion652
  - 12.7 Exercices653
  - Index 663
Origine de la notice:
- Abes ;
- Electre