par Briane, Marc
De Boeck supérieur
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Disponible - 517.8 BRI
Niveau 2 - Sciences
Analyse : théorie de l'intégration : intégrale de Lebesgue, convolution, transformées de Fourier et de Laplace
| Auteur(s) : |
Briane, Marc
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Résumé
Un manuel contenant les bases de la théorie de l'intégration de Reimann, celle de Lebesgue et ses premières applications. Un chapitre est consacré à la transformée de Laplace. Plus de 240 exercices résolus et des problèmes de synthèse posés aux examens sont proposés. Avec des compléments numériques. ©Electre 2023
- Autre(s) auteur(s)
- Éditeur(s)
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Date
- DL 2023
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Notes
- Bibliogr. Index
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Langues
- Français
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Description matérielle
- 1 volume (431 p.) : couv. ill. en coul. ; 24 cm
- Sujet(s)
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ISBN
- 978-2-8073-5955-0
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Indice
- 517.8 Calcul symbolique, transformations de Laplace et de Fourier, distributions, analyse fonctionnelle
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Quatrième de couverture
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Analyse. Théorie de l'intégration
Le livre présente les bases de la théorie de l'intégration au sens de Lebesgue et ses premières applications. Il s'adresse aux étudiants en Licence 3 et en Master 1 de mathématiques pures ou appliquées, aux candidats à l'agrégation ainsi qu'aux élèves des écoles d'ingénieurs, avec un cours complet et plus de 260 exercices corrigés.
Il propose plusieurs niveaux de lecture où l'on distingue clairement les connaissances indispensables à maîtriser lors d'une première initiation et les applications à aborder lors d'une lecture plus approfondie.
Cette 8e édition revue et augmentée développe toujours la théorie de l'intégration et ses applications et s'enrichit d'un chapitre entièrement refondu consacré aux Transformées de Fourier et de Laplace, ainsi que de 30 exercices supplémentaires inédits.
Les plus
- Une sélection de QCM corrigés
- 11 problèmes d'examens
- La note d'Henri Lebesgue aux Comptes rendus de l'Académie des sciences, fondant l'intégrale éponyme
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Tables des matières
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- Figure 10
- Avant-propos 11
- Notations 15
- I Rappels et préliminaires19
- 1 Intégrale au sens de Riemann 21
- 1.1 Intégrale des fonctions en escalier21
- 1.2 Fonctions intégrables au sens de Riemann22
- 1.3 Fonctions réglées24
- 1.4 Intégrale de Riemann et calcul de primitive26
- 1.5 Changement de variable et intégration par parties26
- 1.6 Formules de la moyenne27
- 1.7 Sommes de Riemann28
- 1.8 L'espace semi-normé F ([a, b], K)29
- 1.9 Intégrales dépendant d'un paramètre29
- 1.10 Exercices32
- 2 Éléments de théorie des cardinaux 37
- 2.1 Cardinaux37
- 2.2 Ensembles dénombrables39
- 2.3 Exercices43
- 3 Quelques compléments de topologie 45
- 3.1 La droite achevée45
- 3.2 Limite supérieure et limite inférieure47
- 3.3 Topologie sur un ensemble. Espace métrique49
- 3.4 Base dénombrable d'ouverts, séparabilité50
- 3.5 Exemples de constructions de topologies51
- 3.5.1 Topologie induite51
- 3.5.2 Topologie produit51
- 3.6 Distance d'un point à un ensemble52
- 3.7 Exercices53
- II Théorie de la mesure55
- Sur une généralisation de l'intégrale définie (par H. Lebesgue)58
- 4 Tribu de parties d'un ensemble 61
- 4.1 Tribu, tribu borélienne63
- 4.2 Autres exemples de tribus66
- 4.2.1 Tribu image-réciproque66
- 4.2.2 Tribu image66
- 4.3 Lemme de transport66
- 4.4 Exercices68
- 5 Fonctions mesurables 69
- 5.1 Définitions69
- 5.2 Opérations sur les fonctions mesurables71
- 5.3 Fonctions étagées sur un espace mesurable74
- 5.4 Exercices76
- 6 Mesure positive sur un espace mesurable 79
- 6.1 Définition et exemples79
- 6.1.1 Propriétés essentielles81
- 6.1.2 Application à la mesure de Lebesgue sur R83
- 6.2 Caractérisation d'une mesure. Unicité84
- 6.2.1 Un théorème de classe monotone84
- 6.2.2 Application à la caractérisation d'une mesure85
- 6.3 Construction de mesures par prolongement (I)87
- 6.3.1 Théorème de prolongement de Carathéodory87
- 6.3.2 Principes de construction de la mesure de Lebesgue sur R88
- 6.4 Régularité de la mesure de Lebesgue89
- 6.5 ♣ Construction de mesures par prolongement (II)90
- 6.5.1 Démonstration du théorème de Carathéodory90
- 6.5.2 Construction de mesures sur R : Lebesgue, Stieltjes96
- 6.6 ♣ Régularité d'une mesure sur un espace métrique103
- 6.6.1 Le cas d'une mesure finie103
- 6.6.2 Le cas d'une mesure ?-finie105
- 6.6.3 Régularité des mesures de Borel107
- 6.6.4 Régularité des mesures finies sur un espace polonais109
- 6.6.5 Application à la caractérisation des mesures110
- 6.7 Exercices110
- III Intégrale de Lebesgue117
- 7 Intégrale par rapport à une mesure positive 119
- 7.1 Intégrale d'une fonction étagée positive119
- 7.2 Intégrale d'une fonction mesurable positive123
- 7.3 L'espace L1K(μ) des fonctions intégrables128
- 7.4 Intégrales de Riemann et de Lebesgue sur un intervalle compact131
- 7.5 Exercices134
- 8 Théorèmes de convergence et applications 137
- 8.1 Lemme de Fatou et théorème de convergence dominée137
- 8.2 Application aux séries de fonctions143
- 8.3 Intégrales dépendant d'un paramètre144
- 8.4 Mesures à densité : première approche151
- 8.5 Exercices153
- 9 Espaces LP 163
- 9.1 Espaces LpK(μ) : définition et premières propriétés163
- 9.2 Inégalités de Hôlder et de Minkowski164
- 9.3 Les espaces de Banach LPK(μ), 1 ≤ p < + ?170
- 9.3.1 Préliminaires sur les espaces semi-normés170
- 9.3.2 Construction et propriétés171
- 9.4 Théorèmes de densité dans les LpK(μ), 1 ≤ p < + ∞, (I)175
- 9.5 L'espace L?K(μ) (μ≠ 0)180
- 9.6 Propriétés hilbertiennes de L2K(μ)185
- 9.6.1 L'espace de Hilbert L2K(μ)185
- 9.6.2 Théorème de projection186
- 9.6.3 Représentation d'une forme linéaire continue187
- 9.7 ♣ Théorèmes de densité dans les LpK(μ), p< + ∞, (II)188
- 9.7.1 Densité des fonctions lipschitziennes dans LpK(μ)188
- 9.7.2 Densité des fonctions lipschitziennes à support compact190
- 9.7.3 Théorème de Lusin190
- 9.8 Exercices194
- 10 Théorèmes de représentation et applications 199
- 10.1 ♣ Théorème de représentation de Riesz199
- 10.1.1 Cas des formes linéaires positives199
- 10.1.2 Mesures de Radon207
- 10.2 Théorème de Radon-Nikodym211
- 10.2.1 Le cas d'une mesure de référence ? finie212
- 10.2.2 Extension au cadre ?-fini214
- 10.3 Dualité Lp-Lq215
- 10.3.1 Formes linéaires réelles positives215
- 10.3.2 Formes linéaires réelles ou complexes217
- 10.4 Interpolation sur les espaces Lp218
- 10.5 Exercices223
- 11 Mesure produit. Théorèmes de Fubini 229
- 11.1 Tribu produit229
- 11.1.1 Définition, premières propriétés229
- 11.1.2 Le cas des tribus boréliennes231
- 11.1.3 Section d'un élément de la tribu produit233
- 11.2 Mesure produit de mesures ?-finies233
- 11.2.1 Construction et caractérisation233
- 11.2.2 Construction de la mesure de Lebesgue >d, d ≥ 2236
- 11.3 Théorèmes de Fubini237
- 11.4 ♣ Produit infini de mesures de probabilité243
- 11.5 Exercices245
- 12 Mesure image. Changement de variables 253
- 12.1 Mesure image253
- 12.2 Théorème général de changement de variables257
- 12.3 ♣ Application : le degré topologique de Brouwer267
- 12.4 Exercices273
- 13 Mesure complétée, tribu de Lebesgue, ensemble de Cantor 279
- 13.1 Complétion d'une mesure279
- 13.2 Tribu de Lebesgue282
- 13.3 Ensemble de Cantor, fonction de Lebesgue, applications284
- 13.4 ♣ Produit de mesures complètes. Complétion d'un produit289
- 13.5 ♣ Complétion et fonctions mesurables290
- IV Convolution. Transformées de Fourier et de Laplace293
- 14 Convolution et applications 295
- 14.1 Opérateurs de translation sur les fonctions295
- 14.2 Convolution sur Rd297
- 14.2.1 Le cas positif297
- 14.2.2 Cadre général299
- 14.3 Conditions d'existence et propriétés301
- 14.4 Approximation de l'unité306
- 14.5 Régularisation par convolution309
- 14.6 Autres convolutions313
- 14.6.1 ... de fonctions313
- 14.6.2 Convolution de mesures positives σ-finies314
- 14.7 Exercices315
- 15 Transformées de Fourier et de Laplace 319
- 15.1 Définition et premières propriétés320
- 15.2 Injectivité et formule d'inversion327
- 15.3 Transformée de Fourier-Plancherel335
- 15.4 Transformée de Laplace337
- 15.4.1 Définitions et premiers exemples337
- 15.4.2 Propriétés de la transformée de Laplace338
- 15.4.3 Inversion de Laplace342
- 15.4.4 Exemples issus des probabilités343
- 15.5 Exercices344
- V QCM et problèmes d'examens363
- 16 Questionnaires à choix multiples 365
- 16.1 QCM 1366
- 16.2 QCM 2367
- 16.3 QCM 3368
- 16.4 QCM 4369
- 16.5 QCM 5370
- 16.6 QCM 6371
- 17 Quelques problèmes 373
- 17.1 Problème 1373
- 17.2 Problème 2374
- 17.3 Problème 3375
- 17.4 Problème 4376
- 17.5 Problème 5378
- 17.6 Problème 6379
- 17.7 Problème 7381
- 17.8 Problème 8382
- 17.9 Problème 9384
- 17.10 Problème 10386
- 17.11 Problème 11387
- VI Solutions des exercices et réponses aux QCM389
- 18 Solutions des exercices 391
- 19 Réponses aux QCM 421
- Bibliographie 425
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Origine de la notice:
- Abes ;
- Electre
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Disponible - 517.8 BRI
Niveau 2 - Sciences
