Introduction à l'analyse complexe

320 exercices corrigés avec rappels de cours

Cet ouvrage est une introduction à la théorie des fonctions d'une variable complexe qui s'adresse aux étudiants de Licence 3, de Master 1 et à ceux préparant l'agrégation.

Après des rappels complets du cours, une grande place est réservée à la résolution détaillée de près de 320 exercices.

Le chapitre I débute par l'étude des structures algébrique et topologique du corps des nombres complexes. L'extension de la notion de dérivée pour les fonctions d'une variable complexe fait l'objet du chapitre II.

La définition de plusieurs fonctions élémentaires est étendue au chapitre III : exponentielle, sinus, logarithme, etc.

Le chapitre IV traite des développements en séries entières et les fonctions analytiques.

Le chapitre V introduit l'outil d'intégration complexe qui révélera les propriétés fondamentales des fonctions holomorphes, en particulier, l'égalité entre l'algèbre des fonctions holomorphes et celles des fonctions analytiques.

Le chapitre VI s'intéresse aux conséquences des formules de Cauchy : formule de la moyenne, principe du maximum, lemme de Schwarz, etc.

Le chapitre VII énonce des extensions des théorèmes de Cauchy.

Le chapitre VIII est consacré aux singularités d'une fonction holomorphe, aux séries de Laurent et comme point d'orgue le théorème des résidus et ses conséquences.

Le chapitre IX examine les notions de séries de fonctions méromorphes, les produits infinis et certaines fonctions spéciales.

Le chapitre X, enfin, aborde le sujet des géométries non euclidiennes et son lien avec les fonctions d'une variable complexe