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Analyse : Cours et exercices corrigés
Livre numérique Analyse : Cours et exercices corrigés

par Cottet-Emard, François

De Boeck Supérieur

Résultat de Cairn Sciences

  • Consultable à la Bpi

Livre numérique

Analyse : Cours et exercices corrigés

Auteur(s) : Cottet-Emard, François
  • Éditeur(s)
  • Date
    • 2005
  • Notes
    • Cet ouvrage regroupe l'analyse enseignée en seconde année de licence/bac de mathématiques, depuis les intégrales généralisées jusqu'aux séries entières, sans tomber dans une abstraction trop théorique.Cet ouvrage regroupe l'analyse enseignée dans l'année L2 de licence de mathématiques, depuis les intégrales généralisées jusqu'aux séries entières, sans tomber dans une abstraction trop théorique, car l'auteur a souhaité rester très proche du lecteur. Un résumé des prérequis de l'analyse, de l'année L1 de licence, situé en début d'ouvrage, permet à l'étudiant de vérifier ses connaissances préalables. Les séries entières peuvent être abordées sans aucune connaissance de la convergence uniforme, les démonstrations étant faites par des majorations directes. Certaines parties peuvent être admises en première lecture sans nuire à une bonne assimilation des notions nouvelles. La délicate notion de borne supérieure est rappelée en début de volume, mais elle est utilisée avec parcimonie. À la fin de chacun des chapitres concernés, une liste récapitulative des techniques permet d'avoir une vue synthétique et ordonnée des tests à effectuer pour l'étude des convergences d'intégrales et de séries.Chaque notion nouvelle est illustrée par de très nombreux exemples détaillés. Le livre contient environ 60 % de cours et 40 % d'exercices soigneusement corrigés, permettant au lecteur de s'assurer de la bonne assimilation du contenu enseigné.
  • Langues
    • Français
  • ISBN
    • 9782804149079
  • Droits
    • copyrighted
  • Résultat de :
  • Quatrième de couverture

    • Cet ouvrage regroupe l'analyse enseignée dans l'année L2 de licence de mathématiques, depuis les intégrales généralisées jusqu'aux séries entières, sans tomber dans une abstraction trop théorique, car l'auteur a souhaité rester très proche du lecteur. Un résumé des prérequis de l'analyse, de l'année L1 de licence, situé en début d'ouvrage, permet à l'étudiant de vérifier ses connaissances préalables. Les séries entières peuvent être abordées sans aucune connaissance de la convergence uniforme, les démonstrations étant faites par des majorations directes. Certaines parties peuvent être admises en première lecture sans nuire à une bonne assimilation des notions nouvelles. La délicate notion de borne supérieure est rappelée en début de volume, mais elle est utilisée avec parcimonie. À la fin de chacun des chapitres concernés, une liste récapitulative des techniques permet d'avoir une vue synthétique et ordonnée des tests à effectuer pour l'étude des convergences d'intégrales et de séries.

      Chaque notion nouvelle est illustrée par de très nombreux exemples détaillés. Le livre contient environ 60 % de cours et 40 % d'exercices soigneusement corrigés, permettant au lecteur de s'assurer de la bonne assimilation du contenu enseigné.


  • Tables des matières

      • Analyse

      • François Cottet-Emard

      • De boeck

      • Avant-proposIII
      • Chapitre 1 Rappels et compléments d'analyse
      • 1. Borne supérieure 2
      • 1.1 Un exemple2
      • 1.2 Partie majorée de R3
      • 1.3 Théorème de la borne supérieure3
      • 1.4 Suite croissante de réels4
      • 2. Borne inférieure 5
      • 2.1 Partie minorée de R5
      • 2.2 Théorème de la borne inférieure6
      • 2.3 Suite décroissante de réels6
      • 2.4 Un exemple pour se détendre7
      • 3. Suites adjacentes de réels 8
      • 3.1 Suites adjacentes8
      • 3.2 Théorème des segments emboîtés9
      • 4. Théorèmes sur les fonctions monotones 10
      • 4.1 Fonction majorée, minorée, bornée sur (...)10
      • 4.2 Fonction croissante sur un intervalle (...)11
      • 4.3 Fonction décroissante sur un intervalle (...)12
      • 4.4 Remarque fondamentale concernant ces quatre théorèmes12
      • 4.5 Exemples13
      • 5. Fonction intégrable au sens de Riemann 15
      • 5.1 Aire sous une courbe15
      • 5.2 Fonction intégrable sur un segment16
      • 5.3 Cas des fonctions continues sur un segment20
      • 5.4 Définition pratique de Intbaf(t) dt pour f continue21
      • 6. Propriétés de l'intégrale des fonctions continues sur un segment 22
      • 6.1 Linéarité23
      • 6.2 Inégalité de la moyenne23
      • 6.3 Positivité de l'intégrale23
      • 6.4 Compatibilité avec la relation d'ordre23
      • 6.5 Intégrale et valeur absolue24
      • 6.6 Relation de Chasles24
      • 6.7 Théorème fondamental du calcul intégral25
      • 6.8 Calcul pratique d'une intégrale26
      • Exercices 27
      • 1. Limite, continuité, suite et intégrale27
      • 2. Borne supérieure ou inférieure32
      • Chapitre 2 Intégrales généralisées
      • 1. Introduction 40
      • 1.1 Historique40
      • 1.2 Ce que nous allons faire41
      • 1.3 Interprétation géométrique42
      • 2. Intégrales généralisées sur un intervalle borné 44
      • 3. Intégrales généralisées sur une demi-droite [a, + Infini[ 47
      • 4. L'exemple fondamental des intégrales de Riemann 50
      • 5. Intégrales généralisées aux deux bornes 51
      • 6. Cas des fonctions de signe constant sur l'intervalle (...) 54
      • 6.1 Théorème général55
      • 6.2 Comparaison des intégrales généralisées de deux fonctions positives57
      • 6.3 Intégrales généralisées de deux fonctions positives équivalentes62
      • 7. Intégrales généralisées absolument convergentes 67
      • 8. Intégrales généralisées dont on n'a pas pu montrer qu'elles étaient absolument convergentes 71
      • 8.1 Utilisation de l'intégration par parties72
      • 8.2 Utilisation d'un changement de variable76
      • 8.3 Utilisation d'un développement limité ou asymptotique78
      • 8.4 Montrer avec la définition qu'une intégrale diverge81
      • 9. Récapitulatif des techniques 82
      • Exercices 85
      • 1. Intégrales généralisées85
      • 2. Exercices théoriques108
      • 3. Intégrales dépendant d'un paramètre113
      • 4. Exercices supplémentaires120
      • Chapitre 3 Séries numériques réelles
      • 1. Idée de sommation infinie 126
      • 1.1 Le gâteau idéal126
      • 1.2 La balle parfaite126
      • 1.3 Combien d'enfants ?127
      • 2. Définition 127
      • 2.1 Définition127
      • 2.2 Exemples divers128
      • 2.3 Reste d'une série convergente131
      • 2.4 Opérations sur les séries132
      • 2.5 Une condition nécessaire de convergence d'une série132
      • 2.6 Une notation condensée133
      • 3. C.N.S. de convergence des séries à terme positifs 133
      • 4. Séries un = f(n) avec f positive décroissante vers 0 134
      • 4.1 Théorème fondamental135
      • 4.2 Exemples fondamentaux137
      • 4.3 Encadrement du reste137
      • 5. Comparaison de deux séries à termes positifs 139
      • 5.1 Série majorée par une autre série139
      • 5.2 Séries positives équivalentes141
      • 6. Règles de d'Alembert et de Cauchy pour les séries positives 142
      • 6.1 Règle de d'Alembert143
      • 6.2 Règle de Cauchy146
      • 7. Séries absolument convergentes 147
      • 8. Règles de d'Alembert et de Cauchy pour des séries de signe quelconque 150
      • 9. Séries alternées 151
      • 9.1 Définition et théorème151
      • 9.2 Signe et encadrement de la somme d'une série alternée153
      • 9.3 Exemples153
      • 9.4 Majoration du reste d'une série alternée vérifiant ce critère156
      • 10. Critère d'Abel 158
      • 11. Utilisation des développements limités 161
      • 12. Sommation par paquets 163
      • 13. Sommation exacte ou approchée 164
      • 13.1 Sommation exacte165
      • 13.2 Sommation approchée167
      • 14. Récapitulatif des techniques 169
      • 15. Peut-on changer l'ordre des termes dans une série convergente ? 171
      • 15.1 Étude de cet exemple172
      • 15.2 Un exemple bien pire où il y a divergence172
      • 15.3 Conclusion174
      • 16. Annexe culturelle 175
      • Exercices 177
      • 1. Étude de la convergence de séries177
      • 2. Calculs de sommes et encadrements184
      • 3. Exercices théoriques190
      • 4. Fonctions définies par une série192
      • 5. Exercices supplémentaires199
      • Chapitre 4 Convergence uniforme des suites et séries de fonctions
      • 1. Présentation 206
      • 1.1 Suite de fonctions206
      • 1.2 Attention à ne pas confondre n et x206
      • 1.3 Vocabulaire du chapitre207
      • 1.4 Une motivation parmi d'autres207
      • 1.5 Borne supérieure207
      • 2. Distance de deux fonctions sur une partie D de R208
      • 2.1 Définition208
      • 2.2 Calcul pratique de cette distance208
      • 3. Convergence simple d'une suite de fonctions 209
      • 4. Convergence uniforme d'une suite de fonctions sur un domaine D211
      • 4.1 L'idée d'uniformité211
      • 4.2 Convergence uniforme sur D211
      • 4.3 Convergence uniforme et convergence simple211
      • 4.4 Technique pratique d'étude212
      • 4.5 Interprétation géométrique212
      • 5. Théorèmes fondamentaux 217
      • 5.1 Continuité de la limite uniforme217
      • 5.2 Intégration et limite uniforme218
      • 5.3 Dérivation et limite uniforme218
      • 6. Un exemple d'utilisation de la convergence uniforme 220
      • 7. Convergence uniforme d'une série de fonctions sur D221
      • 7.1 Convergence simple d'une série de fonctions sur D222
      • 7.2 Convergence uniforme d'une série de fonctions sur D222
      • 8. Une condition suffisante de convergence uniforme : convergence normale d'une série de fonctions sur D229
      • 8.1 Définition et théorème229
      • 8.2 Une condition nécessaire et suffisante de convergence normale sur D231
      • 8.3 Technique pratique pour étudier la convergence normale232
      • 9. Que d'adjectifs pour qualifier la convergence des séries de fonctions ! 234
      • 10. Théorèmes généraux sur les séries de fonctions 236
      • Exercices 247
      • 1. Suites de fonctions247
      • 2. Exercices théoriques253
      • 3. Séries de fonctions254
      • 4. Utilisation de la transformation d'Abel277
      • 5. Exercices supplémentaires279
      • Chapitre 5 Séries entières
      • 1. Suites et séries à valeurs complexes 294
      • 1.1 Convergence d'une suite de complexes294
      • 1.2 Attention, la monotonie n'a plus de sens294
      • 1.3 Séries à termes complexes295
      • 2. Définition. Lemme d'Abel 296
      • 2.1 Définition d'une série entière296
      • 2.2 Lemme d'Abel297
      • 3. Rayon de convergence d'une série entière 298
      • 3.1 Définition298
      • 3.2 Un cas simple de calcul de R301
      • 3.3 Rayons de convergence de et303
      • 3.4 Terminologie304
      • 4. Continuité et dérivabilité de la somme d'une série entière 304
      • 4.1 Introduction304
      • 4.2 Continuité de la somme304
      • 4.3 Dérivabilité de la somme306
      • 4.4 Intégration d'une série entière309
      • 4.5 Généralisation310
      • 4.6 Un corollaire important311
      • 4.7 Continuité au bord de l'intervalle de convergence312
      • 5. Développement d'une fonction en série entière 314
      • 5.1 Conditions nécessaires315
      • 5.2 Une condition suffisante315
      • 5.3 Les fonctions sinus et cosinus316
      • 5.4 La fonction exponentielle316
      • 5.5 La fonction logarithme316
      • 5.6 La fonction Arc tangente317
      • 5.7 La fonction f(x) = (1 + x)a317
      • 5.8 Fractions rationnelles319
      • 5.9 Identifier des sommes de séries entières320
      • 6. Application à certaines équations différentielles 322
      • Exercices 325
      • 1. Rayons de convergence325
      • 2. Calculs de sommes ou de développements330
      • 3. Exercices théoriques335
      • 4. Applications diverses336

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