Systèmes dynamiques : Cours et exercices corrigés
- Éditeur(s)
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Date
- 2016
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Notes
- Cet ouvrage s’adresse aux élèves ingénieurs et aux étudiants des licences ou masters de physique et de mathématiques appliquées.L’étude mathématique des systèmes dynamiques débouche sur des applications variées en mécanique, en physique, en astronomie voire en économie.Cet ouvrage présente les notions fondamentales de la dynamique des systèmes : systèmes différentiels, état, flot, équilibres, portraits de phases, bifurcations locales, systèmes à temps discret, introduction au chaos. Les systèmes linéaires sont présentés de façon détaillée et les phénomènes spécifiquement non-linéaires sont décrits.Le sujet est traité avec la rigueur mathématique qui s’impose mais dans le langage le plus concret possible, au plus proche des applications et de nombreux exemples illustrent les notions théoriques. Cet ouvrage comporte 50 exercices et problèmes qui sont tous corrigés en fin d’ouvrage.Cette deuxième édition accorde une place plus large aux systèmes à temps discret. Elle approfondit certains thèmes dont la suite logistique qui est une introduction efficace au chaos en temps discret. Enfin elle comporte 15 nouveaux exercices et problèmes par rapport à la première édition.
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Langues
- Français
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ISBN
- 9782100742615
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Droits
- copyrighted
- Résultat de :
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Quatrième de couverture
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Cet ouvrage s'adresse aux élèves ingénieurs et aux étudiants des licences ou masters de physique et de mathématiques appliquées.
L'étude mathématique des systèmes dynamiques débouche sur des applications variées en mécanique, en physique, en astronomie voire en économie.
Cet ouvrage présente les notions fondamentales de la dynamique des systèmes : systèmes différentiels, état, flot, équilibres, portraits de phases, bifurcations locales, systèmes à temps discret, introduction au chaos. Les systèmes linéaires sont présentés de façon détaillée et les phénomènes spécifiquement non-linéaires sont décrits.
Le sujet est traité avec la rigueur mathématique qui s'impose mais dans le langage le plus concret possible, au plus proche des applications, et de nombreux exemples illustrent les notions théoriques. Cet ouvrage comporte 50 exercices et problèmes, tous corrigés en fin d'ouvrage.
Cette deuxième édition accorde une place plus large aux systèmes à temps discret. Elle approfondit certains thèmes dont la suite logistique qui est une introduction efficace au chaos en temps discret. Enfin, elle comporte 15 nouveaux exercices et problèmes par rapport à la première édition.
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Tables des matières
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Systèmes dynamiques
Cours et exercices corrigés
Jean-Louis Pac
Dunod
- Avant-propos VII
- Chapitre 1. Généralités sur les systèmes différentiels 1
- 1.1 Introduction1
- 1.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz7
- 1.3 Symétries orbitales14
- Chapitre 2. Flot et conjugaison en temps continu 17
- 2.1 Flot d'un système dynamique17
- 2.2 Conjugaison des systèmes dynamiques21
- 2.3 Quelques propriétés générales du flot30
- Chapitre 3. Équilibres 33
- 3.1 Introduction33
- 3.2 Stabilité des équilibres : exemple et définitions33
- 3.3 Autres notions40
- Chapitre 4. Stabilité des systèmes linéaires 43
- 4.1 Réduction des endomorphismes43
- 4.2 Flot et stabilité des systèmes linéaires44
- 4.3 Stabilité structurelle et conjugaison52
- 4.4 Trajectoires génératrices d'un système linaire56
- Chapitre 5. Propriétés élémentaires en dimensions 1 et 2 65
- 5.1 Propriétés de base des systèmes de dimension 165
- 5.2 Portraits de phases d'un système linéaire de dimension 266
- 5.3 Courbure d'une trajectoire plane69
- 5.4 Critère de Bendixson71
- 5.5 Évolution d'un portrait de phases73
- Chapitre 6. Propriétés locales du flot 79
- 6.1 Introduction79
- 6.2 Généralités et exemples79
- 6.3 Théorie de Liapounov de la stabilité83
- 6.4 Linéarisation autour des équilibres88
- 6.5 Linéarisation autour des équilibres hyperboliques90
- Chapitre 7. Structuration du flot 97
- 7.1 Ensembles-limites98
- 7.2 Orbites périodiques104
- 7.3 Variétés remarquables107
- Chapitre 8. Flots hors de Rn 113
- 8.1 Dérivation hors de Rn113
- 8.2 Flot sur un cercle114
- 8.3 Flot sur la sphère S2115
- 8.4 Flot sur la sphère Sn117
- 8.5 Flot sur le tore119
- 8.6 Thème d'étude : le pendule121
- Chapitre 9. Bifurcations locales 129
- 9.1 Introduction129
- 9.2 Stabilité structurelle des équilibres130
- 9.3 Bifurcations locales en dimension 1133
- 9.4 Bifurcations locales en dimension supérieure à 1137
- Chapitre 10. Systèmes à temps discret : équilibres et cycles 141
- 10.1 Introduction141
- 10.2 Notions de base142
- 10.3 Équilibres144
- 10.4 m-cycles152
- 10.5 Exposant de Liapounov155
- 10.6 Autres notions157
- Chapitre 11. Introduction au chaos en temps continu 159
- 11.1 Ensembles-limites en dimension 2159
- 11.2 Théorème de Poincaré-Bendixson168
- 11.3 Introduction au chaos170
- Chapitre 12. Introduction au chaos en temps discret 179
- 12.1 Les équilibres de la suite logistique pour r > 0180
- 12.2 Les cycles de la suite logistique pour 3 < r </= 4184
- 12.3 Le chaos dans un système à temps discret191
- Chapitre 13. Annexes 197
- Annexe 1 : Systèmes et mécanique céleste197
- Annexe 2 : Topologie et autres structures199
- Annexe 3 : Théorème de Cauchy et déterminisme207
- Annexe 4 : Réduction des endomorphismes210
- Annexe 5 : Deux compléments mathématiques215
- Annexe 6 : Fractales219
- Annexe 7 : Schéma numérique225
- Chapitre 14. Corrigés des exercices et problèmes 227
- Bibliographie 269
- Index 271
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